逆ラプラス変換

制御数学5
Basic Mathematics for Control Engineers
逆ラプラス変換
Inverse Laplace transform
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
𝑋 𝑠 を𝑠の有理関数とする．
(𝑠 + 𝑧1 )(𝑠 + 𝑧2 ) ⋯ (𝑠 + 𝑧𝑚 )
𝑋 𝑠 =𝐾
,
(𝑠 + 𝑝1 )(𝑠 + 𝑝2 ) ⋯ (𝑠 + 𝑝𝑛 )
𝑛>𝑚
{𝑝𝑖 }と{𝑧𝑖 }は実数または複素数．
有理関数𝑋 𝑠 に対して（分母多項式） = 0の根を極（pole）といい，
（分子多項式） = 0の根を零点（zero）という．
{𝑝𝑖 }がすべて異なるとき，
以下のように部分分数展開（partial fraction expansion）できる．
𝑎1
𝑎2
𝑎𝑛
𝑋 𝑠 =
+
+ ⋯+
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2
𝑠 + 𝑝𝑛
{𝑎𝑖 }は−𝑝𝑖 における留数（residue）
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
部分分数展開
𝑎1
𝑎2
𝑎𝑛
𝑋 𝑠 =
+
+⋯+
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2
𝑠 + 𝑝𝑛
留数の計算
留数計算
𝑎𝑖 = lim 𝑠 + 𝑝𝑖 𝑋(𝑠)
𝑠→−𝑝𝑖
𝑎1
𝑎2
𝑎𝑛
𝑋 𝑠 =
+
+⋯+
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2
𝑠 + 𝑝𝑛
𝑥 𝑡 = ℒ −1 𝑋(𝑠)
逆ラプラス変換
= (𝑎1 𝑒 −𝑝1𝑡 + 𝑎2 𝑒 −𝑝2𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑒 −𝑝𝑛 𝑡 )𝑢𝑠 (𝑡)
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
例題）
𝑋 𝑠 =
部分分数展開
1
に対して 𝑥 𝑡 = ℒ −1 𝑋(𝑠) を求める．
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑎1
𝑎2
𝑋 𝑠 =
+
𝑠+1 𝑠+2
𝑎1 = 𝑠 + 1 𝑋(𝑠)
留数計算
𝑎2 = 𝑠 + 2 𝑋(𝑠)
𝑥 𝑡 = ℒ −1
逆ラプラス変換
𝑠=−1
𝑠=−2
=
1
𝑠+2
1
=
𝑠+1
=1
𝑠=−1
= −1
𝑠=−2
1
1
− ℒ −1
= (𝑒 −𝑡 − 𝑒 −2𝑡 )𝑢𝑠 (𝑡)
𝑠+1
𝑠+2
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
例題
重極がある場合）
𝑋 𝑠 =
部分分数展開
留数計算
𝑠+3
に対して 𝑥 𝑡 = ℒ −1 𝑋(𝑠) を求める．
2
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝑎
𝑏1
𝑏2
𝑋 𝑠 =
+
+
2
𝑠 + 1 (𝑠 + 2)
𝑠+2
𝑎 = 𝑠 + 1 𝑋(𝑠)
𝑠=−1
𝑠+3
=
(𝑠 + 2)2
=2
𝑠=−1
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
𝑠+3
=
𝑠+1
2
留数計算
𝑏1 = 𝑠 + 2 𝑋(𝑠)
𝑠=−2
d
𝑏2 =
𝑠 + 2 2 𝑋(𝑠)
d𝑠
=
−2
(𝑠 + 1)2
𝑥 𝑡 =
逆ラプラス変換
ℒ −1
𝑠=−2
= −1
𝑠=−2
d 𝑠+3
=
d𝑠 𝑠 + 1
𝑠=−2
= −2
𝑠=−2
𝑋(𝑠) =
ℒ −1
2
1
−
𝑠+1
𝑠+2
= (2𝑒 −𝑡 − 𝑡𝑒 −2𝑡 − 2𝑒 −2𝑡 )𝑢𝑠 (𝑡)
2
−
2
𝑠+2
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
ヘビサイドの部分分数展開定理
𝑞(𝑠)
𝑋 𝑠 =
𝑠 − 𝑝1 𝑙 (𝑠 − 𝑝𝑙+1 ) ⋯ (𝑠 − 𝑝𝑚 )
𝑎1,𝑙
𝑋 𝑠 =
𝑠 − 𝑝1
𝑎1,𝑙−1
𝑎1,1
𝑎𝑙+1
𝑎𝑚
+
+ ⋯+
+
+ ⋯+
𝑙
𝑠 − 𝑝1 𝑙−1
𝑠 − 𝑝1
𝑠 − 𝑝𝑙+1
𝑠 − 𝑝𝑚
留数の計算
𝑎1,𝑙 =
𝑎1,𝑙−1 =
𝑠 − 𝑝1 𝑙 𝑋(𝑠)
d
𝑠 − 𝑝1 𝑙 𝑋(𝑠)
d𝑠
⋮
𝑎1,𝑙−𝑖
𝑠=𝑝1
1 d𝑖
=
𝑠 − 𝑝1 𝑙 𝑋(𝑠)
𝑖
𝑖! d𝑠
⋮
𝑎1,1
𝑠=𝑝1
𝑠=𝑝1
1
d𝑙−1
𝑙 𝑋(𝑠)
=
𝑠
−
𝑝
1
(𝑙 − 1)! d𝑠 𝑙−1
𝑠=𝑝1
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
例題） 𝑋 𝑠 =
1
−1 𝑋(𝑠) を求める．
に対して
𝑥
𝑡
=
ℒ
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 1)3
𝑋 𝑠 =
部分分数展開
𝑎1
𝑎2
𝑏1
𝑏2
𝑏3
+
+
+
+
𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 1 (𝑠 + 1)2 (𝑠 + 1)3
𝑎1 = 𝑠𝑋(𝑠)
留数計算
𝑠=0
1
=
2
𝑎2 = 𝑠 + 2 𝑋(𝑠)
𝑏3 = 𝑠 + 1 𝑋(𝑠)
𝑏2 =
d2
3 𝑋(𝑠)
𝑠
+
1
d𝑠 2
𝑠=−2
𝑠=−1
d
𝑠 + 1 3 𝑋(𝑠)
d𝑠
1
=
2
𝑠=−1
1 d2
𝑏1 =
𝑠 + 1 3 𝑋(𝑠)
2
2 d𝑠
= −1
=0
𝑠=−1
= 2𝑏1
𝑠=−1
= −1
第5回
ラプラス変換
5.1 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換の計算
部分分数展開
1
1
1
1
𝑋 𝑠 =
+
−
−
2𝑠 2(𝑠 + 2) 𝑠 + 1 (𝑠 + 1)3
𝑥 𝑡 = ℒ −1 𝑋(𝑠)
逆ラプラス変換
1 1 −2𝑡
1 2 −𝑡
−𝑡
=
+ 𝑒
−𝑒 − 𝑡 𝑒
𝑢𝑠 (𝑡)
2 2
2
第5回
ラプラス変換
5.2 ラプラス変換を用いた微分方程式の解法
d2 𝑥(𝑡)
d𝑥(𝑡)
+
5
+ 4𝑥 𝑡 = 0,
2
d𝑡
d𝑡
𝑡≧0
d2 𝑥(𝑡)
ℒ
= 𝑠 2 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥
2
d𝑡
1
𝑥 0 =0 𝑥
1
𝑛−1
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠)
𝑠 2 + 5𝑠 + 4 𝑋 𝑠 = 1
初期値代入
1
1
1
1
=
−
𝑠 2 + 5𝑠 + 4 3 𝑠 + 1 𝑠 + 4
𝑥 𝑡 =
逆ラプラス変換
ℒ −1
(0)
(0) + 5 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥(0) + 4𝑋 𝑠 = 0
ラプラス変換
𝑋 𝑠 =
0 =1
(0)
d𝑛 𝑥(𝑡)
ℒ
= 𝑠 𝑛 𝑋 𝑠 − 𝑠 𝑛−1 𝑥 0 − ⋯ − 𝑥
𝑛
d𝑡
𝑠 2 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥
1
1 −1
𝑋(𝑠) = 𝑒 − 𝑒 −4𝑡 𝑢𝑠 (𝑡)
3
第5回
ラプラス変換
5.2 ラプラス変換を用いた微分方程式の解法
d2 𝑥(𝑡)
𝑚
= −𝑘𝑥(𝑡)
2
d𝑡
𝑥 0 = 𝑥0
𝑘
𝑚
𝑥 0 =0
𝑥
d2 𝑥(𝑡)
+ 𝜔𝑛2 𝑥 𝑡 = 0
2
d𝑡
ラプラス変換
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠)
逆ラプラス変換
𝜔𝑛 =
𝑘 𝑚
𝑠
𝑋 𝑠 = 2
2 𝑥0
𝑠 + 𝜔𝑛
𝑥 𝑡 = ℒ −1 𝑋(𝑠) = 𝑥0 cos 𝜔𝑛 𝑡
固有角周波数
第5回
ラプラス変換
5.2 ラプラス変換を用いた微分方程式の解法
𝑡=0
d𝑖(𝑡)
𝐿
+ 𝑅𝑖 𝑡 = 𝐸,
2
d𝑡
𝑡>0
𝐸
𝑖 0 =0
ラプラス変換
ℒ 𝑖(𝑡) = 𝐼(𝑠)
𝑅
SW
𝑖(𝑡)
𝐸
(𝐿𝑠 + 𝑅)𝐼 𝑠 =
𝑠
𝐸
𝐸
1
𝐸 𝑎1
𝑎2
𝐼 𝑠 =
=
=
+
𝑠(𝐿𝑠 + 𝑅) 𝐿 𝑠 𝑠 + 𝑅
𝐿 𝑠 𝑠+𝑅
𝐿
𝐿
𝑎1 = 𝐿 𝑅 𝑎2 = − 𝐿 𝑅
留数計算
逆ラプラス変換
𝑖 𝑡 =
ℒ −1
𝑅
𝐸
−𝐿 𝑡
𝐼(𝑠) =
1−𝑒
,
𝑅
𝑡≥0
𝐿

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