公式 9) の逆変換 - 電気電子工学科

「制御工学」第５回
ラプラス逆変換（続き）
ラプラス逆変換（続き）
部分分数展開（重根の場合）
たたみ込み
公式 9) の逆変換
伝達関数（板書）
ラプラス変換の応用（板書）
（2015.5.15, rev.1）
鹿児島大学・工・電気電子田中哲郎
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(3) 部分分数展開（重根の場合）
p1 = p2
D(s) = (s − p1 )2
のとき
F (s) =
(3) 部分分数展開（重根の場合）
定数
p1 = p2
のとき
A1 , A2
◎ の決め方（続き）
b1 s + b0
A1
A2
=
+
(s − p1 )2
(s − p1 )2
s − p1
s に関する恒等式
部分分数展開の形が異なる
A1 , A2
◎ の決め方
(s − p1 )
(1) 両辺にをかける
L
b1 s + b0 = A1 + A2 (s − p1 )
(2) とおく
s − p1 = 0
A1 = b 1 p 1 + b 0
… 線形性
変換表
−1
2
35
b1 s + b0
A1
=
+ A2
s − p1
s − p1
(4) とおく
s − p1 = 0
おけない
A1 tep1 t + A2 ep1 t
逆変換の結果
s − p1
(3) 両辺にをかける
s
(3) (1) の結果の両辺をで
微分
く
り
か
え
す
b 1 = A2
のとき
n=2
はこれで終了
(4) とおく
s − p1 = 0
36
37
公式 9) の逆変換
公式 9)
!
"
L tn e−at =
L−1
!
L
!
"
−at
tn e
n!
=
1
(s + a)n+1
L
!
tn−1 e−at
(n − 1)!
"
1
=
(s + a)n
A1
(s − p1 )2
練習
n!
(s + a)n+1
"
= A1
L−1
!
A1
(s − p1 )3
"
−1
!
A1
(s − p1 )4
"
L
たたみ込み（資料 doc-1）
たたみ込み（合成積）の定義
フーリエ変換におけるたたみ込み
ラプラス変換におけるたたみ込み
t2−1 ep1 t
= A1 tep1 t
(2 − 1)!
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たたみ込み（まとめ）
〈定義〉
資料 doc-1 を参照
〈性質〉
※ たたみ込みは積の性質を持つ（合成積）
f ∗g =g∗f
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
※ たたみ込みのラプラス変換は，
それぞれの関数のラプラス変換の積
L {f ∗ g} = L {f (t)} · L {g(t)} = F (s) · G(s)
合成積
四則の積
40

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