No.5
数学Ⅲレポート
(2016)
1. (コーシーの積分定理)
f (z ) が単純閉曲線 C 内の領域で正則であれば， C に沿った周回積分はゼロである．

C
f ( z )dz  0
（留数定理）
f (z ) は単純閉曲線 C の内部に孤立特異点 c1 , c 2 ,  , c N を持つほかは C の内部および
周を含めて正則とする．このとき次式が成り立つ．

N
C
f ( z )dz  2i  Re s f ( z )dz
j 1
z c j
(留数計算)
孤立特異点 c j が単純極の場合，留数は次式で与えられる．
Re s f ( z ) dz  lim ( z  c j ) f ( z )
z c j
z c j
（例）
つぎの複素積分を計算せよ．

1
dz
C z 1
2
C : z i 1
（解）
z 2  1  0 から， z  i ，領域内の孤立特異点は単純極の z  i である．

1
1
1
dz  2i Re s f ( z ) dz  2i lim( z  i ) 2
 2i lim

C z 1
z i
z i 2 z
z i
z 1
2
（問題）
例を参考にしてつぎの複素積分を求めよ．
(1)

1
dz
C z  z 1
C : z i 1
(2)

1
dz
C z  3z 2  2
C : z  2i  2
(3)

z
dz
C z 1
C : z 1 i  1
(4)

sin z
dz
C z2 1
C: z 2
(5)

cos z
dz
C z4 1
C : z 1  1
2
4
3

解答例

逆ラプラス変換

null

Document 7404474