代数学基礎論 第 7 回 Exercise
Exercise 6.25.
(1) 3 次対称群 S3 の部分群 H = {e, s1 s2 s1 } を考え，H を S3 に左乗法で作用させたとき，
その軌道をすべて決定せよ．
(2) 正五角形の薄板の持つ回転対称性の群 D5 の共役類を決定せよ．
Exercise 6.26. 4 次対称群 S4 の部分群 H として 4 を固定し 1, 2, 3 のみを動かす置換から
なるものを考える．これは 3 次対称群 S3 に同型である．S4 に H を左乗法で作用させたと
き，S4 の軌道をすべて決定せよ．
Exercise 6.27. 4 次対称群 S4 ，4 次交代群 A4 の共役類をそれぞれ決定せよ．
Exercise 6.28. 正六角形の薄板の持つ回転対称性の群 D6 において，N = {1, c3 } は正規
部分群であった．剰余群 D6 /N の乗積表を作り，それらがどのような群と同型か調べよ．
Exercise 6.29. 正方形の薄板の持つ回転対称性の群 D4 の部分群をすべて求め，そのうち
正規部分群となっているものをすべて指摘せよ．さらにそれぞれの正規部分群 N に対し，
剰余群 D4 /N の乗積表を作り，それらがどのような群と同型か調べよ．
Exercise 6.30. 位数 10 の群を分類せよ．
Exercise 6.31. 複素数を成分とする 8 個の 2 × 2 行列からなる集合
{
[
]
[
]
[
]}
0 1
0 i
i 0
Q = ±E2 , ±
,±
,±
−1 0
i 0
0 −i
を考える．
（ここで i は虚数単位，E2 は 2 次 単位行列である．
）
(1) Q は，行列の積に関して群をなすことを示し，乗積表を作れ．
(2) Q の共役類を決定せよ．
(3) Q の部分群をすべて求め，それらがすべて正規部分群となっていることを示せ．
(4) 各正規部分群 N に対し，剰余群 Q/N の乗積表を作り，それらがどのような群と同型
になるか調べよ．
(5) この群 Q は，次のような分子の「対称性の群」とみなせることを説明せよ．
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