第6章力積と運動量 6–1,2 力積と運動量質量と速度の積，p ⃗ = m⃗v を運動量と呼ぶ．運動量を用いると運動方程式は d⃗p = F⃗ dt 時間で積分して p⃗f − p⃗i = ∫ tf ∫ tf F⃗ (t)dt ti F⃗ (t)dt を力積と呼ぶ．運動量の変化は力積に等しい． ti 6–3 運動量保存の法則（衝突する二つの物体）衝突 · · · 二つの物体が短い時間内で相互作用すること物体 1 の最初と最後の運動量を p ⃗1i および p⃗1f ，物体 2 の最初と最後の運動量を p⃗2i および p⃗2f とする．衝突の際，物体 1 から 2 に働く力を F⃗1→2 ，物体 2 から 1 に ⃗2→1 とすると運動量の変化と力積の関係から働く力を F p⃗1f − p⃗1i = p⃗2f − p⃗2i = ∫ tf ti ∫ tf ti F⃗2→1 (t)dt F⃗1→2 (t)dt ⃗2→1 = −F⃗1→2 だから上式を辺々足し合わせる．作用反作用の法則より F p⃗1f + p⃗2f = p⃗1i + p⃗2i 衝突前後で運動量の総量は変化しない．これを運動量保存の法則という． 6–4 運動量が保存しない系とは？運動量は閉じた系（内力のみが働く系，外力の合力がゼロの系）でしか保存しないことに注意．地上に落下する物体の運動量は保存していない．物体と地球で構成される閉じた系では保存している． 6–1 6–5∼7 衝突 • 跳ね返り係数 e V2 − V1 v2 − v1 ここで v1 および v2 は衝突前の物体 1 および 2 の速度，V1 および V2 は衝突後の物体 1 および 2 の速度 e=− • 完全非弾性衝突 · · · 全く跳ね返らない（跳ね返り係数がゼロの）衝突質量 m1 と m2 の二つの物体の完全非弾性衝突．最初の全運動量は Pin = m1⃗v1 + m2⃗v2 衝突後跳ね返らないから同じ速度 ⃗v で運動．衝突後の全運動量は Pout = (m1 + m2 ) ⃗v 閉じた系であるから Pin = Pout ．よって ⃗v = m1⃗v1 + m2⃗v2 m1 + m2 • 完全弾性衝突 · · · 跳ね返り係数が 1 の衝突．エネルギーが保存 1 1 1 1 m1 v1 + m2 v2 = m1 V1 + m2 V2 , m1 v12 + m2 v22 = m1 V12 + m2 V22 2 2 2 2 V2 ，V1 を消去して ( ) ( ) ( ) ( ) m1 − m2 2m2 2m1 m2 − m1 V1 = v1 + v2 , V 2 = v1 + v2 m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2 m1 = m2 のとき V1 = v2 , V 2 = v1 m2 >> m1 のとき V1 ≈ −v1 + 2v2 , V 2 ≈ v2 6–9 ビリヤード静止しているボール 2 にボール 1 を速度 ⃗v1 で衝突させる．運動量保存則より m⃗v1 = mV⃗1 + mV⃗2 → 完全弾性衝突とするとエネルギー保存則より 1 2 1 ⃗2 1 ⃗2 m⃗v = mV1 + mV2 → 2 1 2 2 ( V⃗1 + V⃗2 )2 ⃗v1 = V⃗1 + V⃗2 ⃗v12 = V⃗12 + V⃗22 = V⃗12 + 2V⃗1 · V⃗2 + V⃗22 だから V⃗1 · V⃗2 = 0 → 衝突後の二つのボールの運動方向は互いに直交する 6–2 6–10 質量中心の運動多数の質点の集まりからなる系の全運動量 P⃗ = p⃗1 + p⃗2 + p⃗3 + · · · = m1⃗v1 + m2⃗v2 + m3⃗v3 + · · · d (m1⃗r1 + m2⃗r2 + m3⃗r3 + · · ·) = dt ⃗rcm = ∑N i=1 mi⃗ri /M ，M = ∑N i=1 mi とすると d⃗rcm = M⃗vcm P⃗ = M dt 全運動量は全質量と質量中心の速度の積 6–11 連続的な物体の重心全質量を M = ∫ dm として ⃗xcm = 1 ∫ ⃗xdm M 直角三角形の板の場合，dm = ρ(b/a)xdx だから ∫a ∫ xcm ( ) b x2 dx xdm 2 0 a = ∫ = ∫a (b) = a dm 3 0 ρ a xdx ρ dm = ρ(a/b)(b − y)dy だから ∫ ∫ ycm [ ( ) ]b b 1 a by 2 − 13 y 3 ydm 1 0 ρ b (b − y)ydy 2 0 = ∫ b (a) = [ = ∫ ]b = b dm 3 by − 12 y 2 0 ρ b (b − y)dy 0 6–12,13 衝突と重心座標系重心に対する相対速度 u1 = v1 − vcm = v1 − u2 = v2 − vcm = v2 − m2 (v1 − v2 ) m1 v1 + m2 v2 = m1 + m2 m1 + m2 m1 v1 + m2 v2 m1 (v1 − v2 ) =− m1 + m2 m1 + m2 完全非弾性衝突では U1 = U2 = 0 完全弾性衝突では U1 = − m2 (v1 − v2 ) , m1 + m2 6–3 U2 = m1 (v1 − v2 ) m1 + m2 Ex. 6-1 一直線上を運動する 2 つの球 A および B がある．質量はそれぞれ m および M である．はじめ B が静止していて，これに A が速度 u で衝突するものとする．衝突が完全に弾性的であるとして，球 A から球 B に移るエネルギーを求めよ．また移るエネルギーが最大となるのはどのような場合か？そのときどれだけのエネルギーが移るか？ Ex. 6-2 質量 2M の物体が速度 V で飛んできて棒に当り 2 つに割れ，どちらも速度 V /2 で進行方向から 60 度の方向に飛んで行った．棒が受けた力積を求めよ． Ex. 6-3 質量 m の球が壁面に直角に V の速さで飛んできたとする．完全弾性的に跳ね返って飛び去った場合に壁が受ける力積はどれだけか？また，跳ね返らずに壁にめり込んだ場合に壁が受ける力積はどれだけか？同じ球が 1 秒間に N 個飛んできて，完全弾性的に跳ね返って飛び去った場合，跳ね返らずに全て壁にめり込んだ場合それぞれについて壁が受ける力はどれだけか？ Ex. 6-4 右図のように，床の上に置かれた鎖の一方の端に力を加え一定の速さ v で鉛直上方に引き上げる．鎖の単位長さ当りの質量が ρ であり，鉛直の部分の長さが x になっている時，鎖を引き上げるのに必要な力 F を次の手順で求めよ． (1) 鎖の鉛直部分の長さが x であるとき，微小時間 dt の間に鎖に与えられた力積を求めよ． (2) 鎖の鉛直部分の長さが x であるとき，微小時間 dt の間に変化した運動量を求めよ． (3) 鎖を引き上げるのに必要な力 F を，x および v ，ρ と重力加速度 g を用いて表せ． 6–4 F v x Ex. 6-5 次の手順で半径 a，厚さ d，密度 ρ の半円盤の重心の位置を求めよ． (1) 半円盤上の微小要素の面積を極座標 (r, θ) で表すと rdθdr となる．このとき，この微小要素の質量 dm を求めよ． (2) 半円盤の中心を原点とし，中心から弧に向かう対称軸を y 軸とする座標系を取る．このとき半円盤上の位置 (x, y) を極座標 (r, θ) で表せ． ∫ ∫ (3) 重心の位置の x 座標および y 座標が xcm = xdm/ dm，ycm = で表されることを用いて，重心の位置を求めよ． 6–5 ∫ ∫ ydm/ dm