Q&A Q:水色の液体酸素、見たいです。 A：窒素と酸素の沸点の差は１３度と大きくないので、前回のように空気から作る液体酸素には窒素もかなり混ざっていて、水色は確認できませんした。今度は酸素のみで液体酸素を作ってみます。乾燥空気の成分と沸点窒素 78.084% －196℃ 酸素 20.948% －183℃ 実験：右の写真のように酸素の缶のノズルを試験管の中に入れ、試験管を液体窒素の入ったデュワーに入れて冷やす。十分に冷えた後に、酸素を試験管に注入して液化させる。観察：試験管にたまった液体酸素の色を確認実験：試験缶をネオジム磁石に近づけてみる。（液体酸素は常磁性体です。後期の物理学IIで学びます。）右の写真のように、液体酸素がネオジム磁石に引きつけられて、せり上がってっています。 Q:液体窒素はいくらですか？ A:ジュースと同じか少し高いくらいだと思います。大学では１リットル２００円か３００円くらいです。 Q：試験ではベクトルを A:どちらでもOKです。 F と F のどちらで書けばよいですか？ Q：cal とJ、どちらを使って答えるのがよいでしょうか？ A：cal はMKS単位（国際単位）ではありません。物理学においては基本的に国際単位である J を使った方がよいと思います。計算の際も、J を使えば、答えも国際単位で出てきます。cal で答えるように指定のないかぎり J でよいと思います。 Q：ニュートリノって速いんですか？ A：ほぼ光速です。光速と有意に異なる結果は得られていません。以前、光より速いという結果がでましたが、その後間違いであることがわかりました。後期の現代物理学入門ではニュートリノの話もします。第13回（6/12）１ページ面積速度１秒間 v∆t P d ∆S 点Oと物体を結ぶ線分が単位時間に通過する面積をこの物体の点Oに対する面積速度 F O 問題：左上の図のように、点Pにある質量 m の質点が，速度 v で運動している。この質点の点Oに対する角運動量 L と面積速度はいくらか？また、角運動量 L と面積速度の関係式を書け。図にある記号は用いてもよい。面積速度一定の法則上の解答より、面積速度は角運動量に比例 ↓ 角運動量が保存するなら、面積速度も保存する ↓ 中心力の作用だけを受けて運動する物体の力の中心に対する面積速度は一定である。第13回（6/12） 2 ページという。 6.2 惑星，衛星の運動とケプラーの法則 p76 ケプラーの法則面積速度は等しい第１法則惑星の軌道は太陽を１つの焦点とする楕円である。楕円とは２つの焦点からの距離の和が一定な点の集まりである。速い 7月遅い楕円の焦点 1月第２法則太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は等しい。（面積速度一定の法則）第３法則惑星が太陽を１周する時間（周期） Tの２乗と軌道の長軸半径aの３乗の比は、すべての惑星について同じ値をもつ。 a3 = 一定 T2 太陽の輻射：近日点と遠日点で約6.9％（距離で3.4%）の違い：南半球の夏・冬厳しい？豆知識楕円の書き方：実演参照楕円：２つの点（焦点）からの距離の和が一定な点の集合ケプラーの第１法則：証明省略（難しいので）ニュートンが最初に証明した。ケプラーの第２法則：惑星に作用する万有引力は、太陽を力の中心とする中心力なので角運動量保存則，面積速度一定の法則が成り立つ r3 ケプラーの第３法則（円軌道の場合、楕円軌道の長軸半径 a = 円軌道の半径 r ）： T2 = 一定ヒント：惑星（質量m）に働く向心力＝太陽（質量M）と惑星間の万有引力問題：証明せよ。 mrω2 = G r( )2 = G 惑星が太陽を１周する時間（周期）T の２乗と軌道の半径 r の３乗の比は一定（すべての惑星について同じ値である）ケプラーの第３法則（楕円軌道の場合）：証明省略（難しいので）第13回（6/12） 3 ページ例題１（p75）：鉛直な細い管を通したひもの先端に質量 m の小石をつけ水平面内で半径 r0、速さ v0 の等速円運動をさせる。小石に働く重力は無視せよ（１）小石の細い管のまわりの角運動量はいくらか？（２）ひもをゆっくりと引っ張って回転半径を半分にしたら、以下の物理量はどのように変化するか？（実演参照：手がぶれるので、あまり理想的な実験でない。）回転半径 r 小石の細い管のまわりの前後何倍になった？ r0 r0 2 1 2 mv0r0 mv0r0 1 保存する角運動量 L （１）の答え小石の速さ v v0 2v0 2 ½ mv02 2mv02 4 mv02/r0 8mv02/r0 8 小石の運動エネルギー K ひもの張力 S 第13回（6/12） 4 ページ（３）ひもをゆっくりと引っ張って回転半径を半分にしたときのひもの張力 S(r) を求め図に示せ。また、ひもが小石にした仕事を求めよ。 F 変位張力S r r0/2 r0 ひもが小石に作用する力は－r方向で r 小石の移動方向も－r方向なのでひものした仕事は正である。大きさは F-s図（S-r図）の面積ひもが小石にした仕事は、（２）の表で求めた運動エネルギーの増加分に等しい。（ひもがした仕事の分だけ小石の運動エネルギーが増えた。）スケートのスピンも例題１と同じ原理である [実験] 回転板をつかった実験 [ビデオ] 毛利衛さんの宇宙科学実験フィギュアスケート第13回（6/12） 5 ページ 6.3 ベクトル積で表した回転運動の法則モーメント：原点 O から点 P へ向かう位置ベクトル r と、点 P におけるベクトル量A とのベクトル積 r×A を原点O のまわりの A のモーメントモーメントという。モーメント p77 A r P O P F1 右図の場合、Οのまわりの力 F1 のモーメントは r1×F1，大きさは r1F1 sinθ = F1r1 sinθ sin(π－θ ) = sinθ であり、これまでの N = F1l1 = F1r1sinθ に一致する。力Fのモーメント：N = r×F 運動量 p のモーメント（角運動量）：L = r×p = r×mv ベクトルとしての C ベクトル積 C = A×B C の方向は A, B に垂直。（A,Bを含む面に垂直） C の向きはAからBに右ねじを回した時に右ねじの進む向き、 C の大きさは |A| |B| sin θ （θ はAとBのなす角） C = (AyBz－AzBy , AzBx－AxBz , AxBy－AyBx ) B θ 一般のねじは皆右ねじ A 大きさ：ABで定まる平行四辺形の面積 Fy y 問題：xy平面上の力F のモーメント N （３次元ベクトル）を成分で求めて、N = xFy－yFx（教科書6.3式）と比べよ。 F プリント前回10ページ物体作用線 Fx y O x x 力のモーメントをベクトルで考えるとき、大きさは今までどおり。方向は回転軸方向。（r, F に垂直）向きは r の先から F の先の方向に右ねじをまわしたときに右ねじのすすむ向き z 例：地球コマ N やL をベクトルで考えないといけないのは、こまのみそすり運動（歳差運動）等のN と L が平行でない場合（８章）そうでなければ、これまでどおり大きさ（正負の符号は含む）のみ考えていればよい。第13回（6/12） 6 ページ回転運動の法則（ベクトル表示） ( L = r×p ) L = r×mv の両辺を t で微分すると、 v L F m dL = v×mv + r×ma = r×F = N dt r O dL dt = N N |A×A| = A2sinθ = 0 (θ=0) （ベクトルでも同じ形）質点の角運動量の時間変化率は、その物体に働く力のモーメントに等しい質点が中心力だけの作用を受けて運動する場合は、N = 0 なので L = r×mv = 一定（角運動量保存則）（ベクトルでも同じ） L = r×p v, p L 質点の位置ベクトル r（ Oが始点）は常に角運動量 L に垂直 ↓ 質点は力の中心 O を含みLに垂直な平面上を運動する m r F （この平面に垂直な方向の初速度も力も 0） N = r×F = 0 O 遇力力の中心大きさが等しく、平行で異なる２本の作用線上で作用し、逆向きであるような１対の力 F と－F を遇力というすべての点に関する遇力のモーメントは一定でその大きさは Fh である。h は作用線間の距離姿勢制御用ロケットエンジン問題：長方形の宇宙船の隅に、姿勢制御用のロケットエンジンがついている。このエンジンの推力は |F| = 20 N である。エンジンを左図のように作動させたとき、宇宙船に働く力（遇力）のモーメントを求めよ。支点はどこに選んでもよい。－F 宇宙船 15 m F 10 m h 作用線第13回（6/12） 7 ページ回転台で遊ぼう自転車のリム回転台中華料理屋のテーブルみたいなもの実験①スケートのスピンに挑戦手におもりをもって回転し、伸ばした手に持ったおもりを体に近づける。（手だけでは効果が小さいので、おもり（各1.5kg ）を持って行う。）参考：今日の４・５ページの問題、毛利さんの動画問題①：回転している車輪を水平に持って回転台に立ち、その車輪を上下さかさまにするとどうなる？実験②上の問題の動作を実際にやってみる。（解説はいずれ授業で行う。）問題②：この回転台が理想的なものと仮定し、摩擦が全く無く滑らかに回転するとする。この回転台に立ち、後ろを向くにはどうすればよいか？（解答は、いずれ授業でします）ブランコの問題とともに、回転台の問題も、授業で解説するまでに考えてみて下さい。（ラトルバックも）第13回（6/12） 8 ページ学科学生番号：氏名：この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。面白い物理の情報や、取り上げてほしい話題、不思議に思っていること等あったら書いて下さい。この紙で今日の出席を確認します。第１３回６月１２日学科学生番号：氏名：この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。面白い物理の情報や、取り上げてほしい話題、不思議に思っていること等あったら書いて下さい。この紙で今日の出席を確認します。第１３回６月１２日