¨ Ubungen zur Einfu orperphysik WS 2014/2015 ¨ hrung in die Festk¨ Lehrstuhl f¨ ur Experimentelle Physik II, TU Dortmund Prof. Dr. Markus Betz Blatt 5 Abgabe bis 07.11.2014 12:00 Uhr (Besprechung am 11./12.11.2014) Aufgabe 1: Madelungkonstante von Natriumchlorid in drei Dimensionen (6 Punkte) Berechnen Sie die ersten beiden Folgenglieder (n = 1, 2) der Madelungkonstante α = limn→∞ αn f¨ ur das dreidimensionale Natriumchlorid-Gitter (Abbildung 1). 2a 2a Abbildung 1: NaCl Struktur. Der W¨ urfel zur Berechnung von α1 ist in grau gekennzeichnet (gestrichelte Linien). Es werden die Nachbarn zum ebenfalls in grau gekennzeichneten Ion in der Mitte des Ausschnitts aus der Kristallstruktur betrachtet. Damit die Madelungfolge schnell konvergiert, ber¨ ucksichtigen Sie in jedem Iterationsschritt n die Coulombwechselwirkung des i-ten Ions mit denjenigen Ionen, die innerhalb oder auf dem Rand eines W¨ urfels der Kantenl¨ ange 2na um das in der Mitte liegende i-te Ion liegen (Abbildung 2). Gewichten Sie die einzelnen Beitr¨ age mit dem Anteil, zu dem die jeweiligen Nachbarionen zum betrachteten W¨ urfel geh¨ oren (also z.B. Faktor 0,5 f¨ ur ein Ion, das in einer Seitenfl¨ache des W¨ urfels sitzt). (Der Literaturwert f¨ ur die Madelungkonstante von NaCl ist α = 1, 7476; wenn man sich die Zeit nimmt, um α3 zu berechnen, kommt man mit der hier verwendeten Methode bereits auf auf α3 = 1, 7470.) Aufgabe 2: Kompression von Kaliumchlorid (7 Punkte) Das Wechselwirkungspotential in einem Ionenkristall wie Kaliumchlorid (KCl, kristallisiert in der NaCl-Struktur) setzt sich, wie aus der Vorlesung bekannt, aus einem anziehenden Coulomb-Anteil UC = −N e2 α 4π 0 r und einem abstoßenden Born-Mayer-Anteil UBM = N ZBe −r ρ zusammen. Dabei sind r der Abstand n¨achster Nachbarn, α die Madelungkonstante, Z die Koordinationszahl und N die Gesamtzahl der Ionenpaare im Kristall. B ist ein Maß f¨ ur die St¨arke des abstoßenden Potentials, ρ beschreibt seine Reichweite. (a) Im Gleichgewichtszustand (Abstand n¨achster Nachbarn r = r0 ) m¨ ussen sich Anziehung und Abstoßung gerade kompensieren. Zeigen Sie, dass daraus folgt: ZBe −r0 ρ = ρ e2 α. r0 4π 0 r0 (b) Bestimmen Sie die Koordinationszahl Z von KCl und das Kristallvolumen in Abh¨angigkeit von N und r0 . (c) Bei einer Kompression des KCl-Kristalls unter ¨außerem Druck p erh¨oht sich das Wechselwir¨ kungspotential U um dU = −pdV , wobei dV die Anderung des Kristallvolumens ist. Geben Sie 1 dV die Kompressibilit¨ at κ = − V dp in Abh¨angigkeit von r0 , B, ρ und α an. 2 2 2 2 d U d U dr d r Hinweis: dV + dU 2 = dr 2 dV dr dV 2 . ˚ die Kompressibilit¨at κ = 5, 75 · 10−11 m2 . Benut(d) Die Gitterkonstante von KCl ist a = 3, 147A, N zen Sie diese Angaben und Ihre Ergebnisse aus den bisherigen Teilaufgaben, um explizit die Werte f¨ ur B und ρ f¨ ur KCl auszurechnen. Aufgabe 3: Eigenschwingung einer endlichen Punktkette (7 Punkte) Betrachten Sie eine Kette aus 3 Punktmassen m, die mit masselosen Federn der Federkonstante D gekoppelt sind und deren Enden fixiert sind. Die Bewegung der Massen erfolgt nur in Richtung der Kette. D m x1 D m x2 D m D x3 (a) Stellen Sie die 3 Bewegungsgleichungen f¨ ur die Auslenkung xn der Massen n auf, wobei Sie annehmen, dass jede Masse nur die Kr¨ afte der/des direkten Nachbarn erf¨ahrt. (b) Stellen Sie die Gleichungen aus (a) in einer Matrix-Form dar und verwenden Sie als Ansatz f¨ ur die Zeitabh¨ angigkeit x ∝ eiωt , um die Matrix-Differentialgleichung in ein Eigenwertproblem umzuformen. Bestimmen Sie aus den Eigenwerten der Matrix die Eigenschwingungsfrequenzen der Kette. Bestimmen Sie zus¨ atzlich die Eigenvektoren und damit die Form der Eigenschwingungen dieser linearen Kette.