Technische Universit¨
at Dortmund
Fakult¨at Statistik
Roland Fried
Paul Kinsvater
Vorlesung Stochastische Prozesse
Sommersemester 2015
¨
Ubungsblatt
4
Pr¨
asenzaufgaben
Aufgabe 1:
Betrachten Sie den Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B ∩ [0, 1], P ) mit P = R[0, 1] der Gleichverteilung auf [0, 1] und X(ω) = ω die Identit¨at, d.h. X ∼ R[0, 1] (wie in Beispiel 2.14).
a) Es sei Y : [0, 1] → R definiert durch Y (ω) = 1[0,3/4] (ω). Bestimmen Sie σ(Y ).
b) Bestimmen Sie E [X| Y ] und E [Y | X].
Aufgabe 2:
Es sei X = (Xt )t≥0 ein homogener Markov-Prozess, S und T zwei Stoppzeiten von X.
a) Zeigen Sie, dass auch min{S, T }, max{S, T } und S + T Stoppzeiten von X sind.
b) Begr¨
unden Sie, dass Differenzen von Stoppzeiten im Allgemeinen keine Stoppzeiten sind.
(1)
Betrachten Sie dazu die konstante Stoppzeit S = 1 und die erste R¨
uckkehrzeit T = Tj
nach j ∈ E. Warum ist T − 1 keine Stoppzeit?
Hausaufgaben
Aufgabe 3:
Wir betrachten wieder die Situation aus Aufgabe 1. Bestimmen Sie E X 2 | Y und E Y | X 2 .
Aufgabe 4:
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, P
X1 , X2 , . . . unabh¨angig und identisch verteilte
Zufallsvariablen mit E [|X1 |] < ∞ und Sn = ni=1 Xi . Zeigen Sie E [X1 | Sn ] = n1 Sn . Pr¨
ufen
Sie dazu die beiden definierenden Eigenschaften einer bedingten Erwartung, d.h. die σ(Sn )messbarkeit und
Z
Z
1
Sn dP =
X1 dP
A n
A
f¨
ur alle A ∈ σ(Sn ).
Aufgabe 5:
Es sei S eine Stoppzeit des homogenen Markov-Prozesses (Xt )t≥0 . Leiten Sie Folgerung 2.22 her,
d.h. zeigen Sie
P (XS+t = j| X0 , . . . , XS ) = p(t) (XS , j).
Verwenden Sie zun¨
achst Satz 2.20 mit einer passenden Funktion f . Anschließend verwenden
Sie Satz 2.21 mit einer passenden Funktion g. Achten Sie dabei auf eine mathematisch exakte
Argumentation.
Bemerkung: Folgerung 2.22 bedeutet, (XS+t )t≥0 gegeben XS ist ein homogener Markov-Prozess
¨
mit Startverteilung δXS und die zugeh¨orige Ubergangsmatrix
P ist dieselbe wie die von (Xt )t≥0 .
Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 8. Mai 2015 um 12:00 Uhr in Briefkasten 142.
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