Mathematik * Jahrgangsstufe 10 * Bestimmung des Kugelvolumens Eine Zylinder ohne Doppelkegel (Höhe 2 r , Radius r) und eine Kugel (Radius r) werden jeweils im Abstand d von der Mittelebene von einer Ebene geschnitten. Als Schnittfiguren treten dabei ein Ring bzw. ein Kreis auf. Zeigen Sie, dass für jedes d der Flächeninhalt des Ringes genau dem Flächeninhalt des Kreises entspricht! Nach dem Cavalierischen Prinzip gilt daher: VKugel = VZylinder – VDoppelkegel Zylinder ohne Doppelkegel T E S E T r S d M M r r r TE ES F Ring = Kugel r E A B A E d M M r r r AE 2 d2 AE 2 F Kreis = F Kreis = V Kugel = V Zylinder – VDoppelkegel = Volumen einer Kugel mit Radius r : V Kugel = B Mathematik * Jahrgangsstufe 10 * Bestimmung des Kugelvolumens Zylinder ohne Doppelkegel T E S E T S r d M M r Dreieck ETM ist gleichschenklig r r F Ring = r 2 d2 TE ES EM d Kugel r E A B E A B d M M r r r AE 2 d2 r 2 AE 2 r 2 d2 V Kugel = V Zylinder – VDoppelkegel = F Kreis F Kreis = AE 2 = (r 2 d2 ) r 2 d2 r 2 2r 2 1 r 2 r 4 r3 Volumen einer Kugel mit Radius r : 3 3 V Kugel = 4 r3 3
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