Tipps: Blatt 11 - Uni

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Tipps: Blatt 11
Aufgabe 51:
Erstmal eine kurze Bemerkung zu f ε (x): f ε (x) nimmt das Supremum der f (y) aus
der offenen Kugel mit Radius ε um den Punkt x. D.h. ihr habt einen Mittelpunkt
x in Rn und bildet die offene Kugel mit Radius ε um x. In dieser Kugel schaut
ihr euch die Bilder von f an und nehmt das Supremum davon. Ihr müsst hier das
Supremum nehmen, weil das Maximum auf einer offenen Kugel nicht existieren
muss.
Um zu zeigen, dass f ε S-messbar ist, muss für jedes c ∈ R die Menge
B = {x ∈ Rn : f ε (x) ≤ c} S-messbar sein. Hierzu müsst ihr eine geeignete Menge
A definieren, die in der σ-Algebra S ist. Diese Menge sollte eine Abhängigkeit von
f haben und die Messbarkeit von f ausnutzen. Also sollte klar sein wie A aussieht.
Jetzt müsst ihr zeigen, dass B gleich der Menge aller Mittelpunkte ist, sodass die
offene Kugel mit Radius ε drin liegt. Mit Aufgabe 24 folgt dann die Behauptung
(kurze Begründung notwendig).
S-Messbarkeit von fε geht analog. Da muss jedoch eine andere Menge B betrachtet werden.
Aufgabe 52:
(a) Benutzt Aufgabe 51. Also schreibt f¯(x) bzw. f (x) mit f ε bzw. fε um.
(b) f ist stetig in x genau dann, wenn f (x) = f¯(x) = f (x).
Jetzt ausnutzen, dass die Differenz von Borel-Funktionen eine Borel-Funktion
ist.
Aufgabe 53:
Der Beweis dieser Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Ihr braucht eine Folge von
Elementarfunktionen, die monoton wachsend ist, und gegen eure messbare Funktion konvergiert. In Lemma 2.12 in der Vorlesung, habt ihr eine Folge gefunden,
die punktweise konvergiert. Jedoch muss hier die Folge von Elementarfunktionen
monoton wachsend sein. Ihr wählt euch eine geeignete Folge von Elementarfunktionen, die monoton wachsend sind. Dann imitiert ihr im ersten Teil den Beweis von
Lemma 2.12, jedoch für eure Elementarfunktionen angepasst. Im zweiten Schritt
zeigt ihr dann, dass eure Folge ϕn (x) für alle n und x monoton wachsend ist, d.h.
Wintersemester 2013/2014
Maß- und Integrationstheorie
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ϕn+1 (x) ≥ ϕn (x).
Aufgabe 54:
Hier sind ausreichend Tipps auf dem Übungszettel.
R
R
Eine kurze Bemerkung zu Teil (a): Ihr dürft nicht die Differenz M fk dµ − M f dµ
betrachten, denn die beiden Integrale können unendlich sein.
Wintersemester 2013/2014
Maß- und Integrationstheorie

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