Lambacher Schweizer 10 Schülerbuch BW Seite 92_K3

GFS-Thema
Kugelgeometrie
Wenn man eine Flugroute von Frankfurt nach San Francisco auf einer normalen Weltkarte
betrachtet, wundert man sich vielleicht, warum die Fluglinie einen so großen „Umweg“ über
Grönland macht. Dass diese Route aber tatsächlich die kürzeste Entfernung darstellt, wird klar,
wenn man auf einem Globus eine Schnur von Frankfurt nach San Francisco spannt.
Tatsächlich folgen Flugzeuge nicht exakt der kürzesten Verbindung. Das
hat mit dem Jetstream
(Windströmung) und mit
Flugkorridoren zu tun.
Problem 1
Wie erhält man die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel?
Erarbeitung 1
Man grenzt zunächst die Vielzahl von möglichen Verbindungsstrecken
zwischen zwei Punkten auf einer Kugel auf solche Strecken ein, die
auf einem Kreisbogen verlaufen. Kreisbögen auf einer Kugeloberfläche
entstehen, wenn man eine Kugel mit einer Ebene schneidet.
Definitionen
Gegeben ist eine Kugel mit Radius R und Mittelpunkt M.
1. A
uf der Kugeloberfläche entsteht ein Großkreis, wenn die Kugel von
einer Ebene geschnitten wird, die durch den Kugelmittelpunkt M
geht (Fig. 1). Der Radius jedes Großkreises ist gleich R.
2. A
uf der Kugeloberfläche entsteht ein Kleinkreis, wenn die Kugel von
einer Ebene geschnitten wird, die nicht durch den Kugelmittelpunkt
M geht. Der Radius jedes Kleinkreises ist kleiner als R.
Satz
Gegeben sind zwei Punkte A und B, die nicht Endpunkte eines Kugeldurchmessers sind. Dann geht durch A und B genau ein Großkreis, aber
unendlich viele Kleinkreise (Fig. 2).
Fig. 1
Fig. 2
Endpunkte eines
Kugeldurchmessers heißen auch
Gegenpunkte.
Begründung
Es gibt genau eine Ebene, in der die Punkte A und B sowie der Kugelmittelpunkt M liegen. Der
zugehörige Schnittkreis ist ein Großkreis. Es gibt hingegen unendlich viele Ebenen, welche die
Punkte A und B, aber nicht den Punkt M enthalten. Zu jeder dieser Ebenen gehört ein Kleinkreis.
Alle Verbindungsstrecken zwischen zwei Punkten A und B auf einer Kugeloberfläche, die die Form
eines Kreisbogens haben, liegen auf einem Kleinkreis oder auf dem Großkreis durch diese Punkte. Es wird nun untersucht, welcher der zugehörigen Kreisbögen von A nach B am kürzesten ist.
Betrachtet man in der Ebene verschiedene Kreise durch zwei Punkte A und B, so stellt man fest,
dass derjenige Bogen am kürzesten ist, dessen Radius am größten ist (Fig. 3). Da auf einer Kugel
der Großkreis von allen Kreisen durch zwei Punkte der Kreis mit dem größten Radius ist, gilt:
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Fig. 3

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