Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe Aufgaben

Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe
Aufgaben
10-E
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: Aufgaben 9-13
Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen
konvergieren oder divergieren
Aufgabe 9:
∞
∑
n =1
Aufgabe 10:
∞
∑
1
n
−1 n1 ⋅
n =1
Aufgabe 11:
∞
∑
n =1
Aufgabe 12:
∞
∑
n =1
Aufgabe 13:
∞
∑
n =0
10-A
1
n
n5
2n
n!
5n
2n − 1
3n  2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: Lösung 9
Harmonische Reihe:
∞
∑
n =1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 1         ...
n
2
3
4
5
6
7
8
Das Quotientenkriterium versagt bei der harmonischen Reihe
lim
n∞
∣ ∣
an  1
an
= lim
n∞
n
= lim
n1
n∞
1
1
1
n
= 1
Wir zeigen mit Hilfe einer Vergleichsreihe, dass die
harmonische Reihe divergiert.
10-1a
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: Lösung 9
Die Glieder der Reihe fassen wir wie folgt zu Gruppen zusammen:
∞
∑
n =1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 1         ... =
n
2
3
4
5
6
7
8
=1

 

1
1
1
1
1
1
1



  
 ...
2
3
4
5
6
7
8
In jeder Klammer ersetzen wir nun jedes Glied durch das jeweils
kleinste Glied und erhalten damit die folgende Vergleichsreihe:
1

 

1
1
1
1
1
1
1



  
 ... =
2
4
4
8
8
8
8
=1
1
1
1
   ... = ∞
2
2
2
Die Vergleichsreihe ist divergent. Deswegen divergiert auch die harmonische Reihe, da ihre Glieder größer sind als die entsprechenden
Glieder der divergierenden Vergleichsreihe.
10-1b
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: Lösung 9
Abb. L9-1: Zur Divergenz einer harmonischen Reihe
Dass die harmonische Reihe divergiert, kann man auch
auf andere Weise zeigen.
10-1c
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: zur Lösung 9
Abb. L9-2: Zur Divergenz einer harmonischen Reihe
Wir bilden mit Rechtecken der Breite 1 und Höhe 1/n mit n = 1, 2, 3, . . . eine
Stufenfunktion und vergleichen sie mit der Kurve y = 1/x (siehe Abb. L5-2).
10-1d
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: zur Lösung 9
Die Stufenfunktion ist immer größer oder gleich der Funktion
y = 1/x. Die Gesamtfläche aller Rechtecke
A=1
1
1
1
1
1
1
1
       ...
2
3
4
5
6
7
8
ist deshalb größer als die Fläche unter der Kurve
∞
A 
∫
1
dx
∞
= [ ln x ]1 = ∞
x
A ist also unendlich und damit ist die harmonische Reihe also
auch unendlich.
10-1e
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: Lösung 10
Alternierende harmonische Reihe:
∞
∑
−1 n  1 ⋅
n =1
1
1
1
1
1
= 1 −  −  − ...
n
2
3
4
5
Diese Reihe konvergiert, da sie die Konvergenzbedingungen
∞
∑
−1n  1 ⋅ a n = a 1 − a 2  a 3 − a 4  a 5 − . . .
1.
a 1  a 2  a 3  ...  a n  a n 1  . . .
n =1
2.
lim a n = 0
n ∞
erfüllt.
10-2
1.
1 
2.
lim
n ∞
1
1
1
1



 ...
2
3
4
5
1
= 0
n
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: Lösungen 11, 12
∞
∑
Lösung 11:
n =1
lim
n∞
∣ ∣
a n 1
an
n5
1
32
243
=


 ...
n
2
4
8
2
n  15
= lim
2 n 1
n∞

2n
1
1
⋅ 5 = lim
⋅ 1
n
n∞ 2
n

5
1
 1
2
=
Die Reihe konvergiert.
Lösung 12:
∞
∑
n =1
lim
n∞
∣ ∣
a n 1
an
n!
1
2
6
=


 ...
n
5
25
125
5
n  1! 5 n
1 n! n  1
= lim
⋅
=
lim
⋅
=
n1
n!
5
n!
n∞
n∞
5
= lim
n ∞
n  1
= ∞
5
Die Reihe divergiert.
10-3
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz: Lösung 13
∞
∑
2n − 1
1
1
3
5
7
= −   

 ...
3n  2
2
5
8
10
14
lim
∣ ∣
n =0
n∞
a n 1
an
= lim
n∞
2 n  1 − 1 3 n  2
2n  1 3n  2
⋅
= lim
⋅
=
3 n  1  2 2 n − 1
3
n

5
2
n
−
1
n ∞
1
3
n
⋅
5
3
2−
n
2
= lim
n ∞
2
n
2 3
= lim
⋅ = 1
1
3
2
n ∞
n
Eine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz mit dem Quotientenkriterium ist nicht möglich. Die notwendige Bedingung für die Konvergenz
einer unendlichen Reihe ist
1
2n − 1
n
2
2
lim a n = lim
= lim
= lim
= ≠0
2
3
n∞
n∞ 3 n  2
n∞
n∞ 3
3
n
2−
Die Reihe divergiert.
10-4
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya

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