Divergenz: Aufgaben
8­A
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Aufgabe 17
Bestimmen Sie die Divergenz folgender Vektorfelder
 = x y ⋅ i  x z ⋅ j  x 2 y z 2 ⋅ 
a) F
k
 =
b) F
 1  x 2  y 2 ⋅  i  j  z 4 ⋅ k


 = y i x j
c) F
x2  y 2
 = x ⋅ i  2 y ⋅ j  3 z ⋅ k
d) F
 = 3 x ⋅ i  2 y ⋅ j − 5 z ⋅ 
e) F
k
 = x y ⋅ i  y z ⋅ j  x z ⋅ 
f ) F
k
 = y z ⋅ i  x z ⋅ j  x y ⋅ k
g) F
8­1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 17
 = y  2 x2 y z
a ) div F
 =
b ) div F
x y
 1  x2  y2
 =−
c ) div F
 4 z3
4x y
 x 2  y 2 2
 =6
d ) div F
 =0
e ) div F
 =x  y z
f ) div F
 =0
g ) div F
8­2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Aufgaben 18­21
In welchen Punkten der x, y­Ebene verschwindet die Di­
vergenz des Vektorfeldes in den folgenden Aufgaben?
Aufgabe 18:
Aufgabe 19:
Aufgabe 20:
Aufgabe 21:
9­A1
 =
F

 =
F

yx
 =
F

xy
x2y − 2y
 =
F
 
x y2
x2 y − 4 y
xy
2
3

2
3
−2
2
3
y


x4
4
y4
− 3 x y2
4
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Aufgabe 22
Aufgabe 22:
9­A2
 =
F

x y2
− x
5
x2 y
2 y3
−
5
15

Divergenz: Lösung 18
Abb. L18­1: div F (x, y) ist gleich Null längs des Kreises mit dem Radius 2
 = x y 2 ⋅i   x 2 y − 4 y  ⋅j
F
 =
div F
∂
∂
 x y2  
 x 2 y − 4 y = y 2  x 2 − 4
∂x
∂y
 =0
div F
10­1
⇒
x 2  y2 − 4 = 0
⇒
x2  y2 = 4
Die Divergenz des Vektorfeldes verschwindet längs des Mittelpunktkreises
mit dem Radius r = 2.
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 18
Abb. L18­2: Das Vektorfeld der Funktion F (x, y) = (x y², x² y – 4y) und
der Kreis mit dem Radius 2, längs dessen div F (x, y) = 0
10­2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 19
 =
F
 
 = ∂ xy
div F
∂x
2
3
∂

∂y
 = 0 :
div F
2
3

2
3
xy
yx
2
3
y x
y
2
3
2
3
−2
2
3
2
3
−2
 x
2
3
y
2
3


y = y
−2
2
3
2
3
 x
2
3
−2
2
3
=0
2
3
y  x =2
Die Gleichung ist die implizite Gleichung der
Astroide, auch Sternkurve genannt.
11­1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 19
Abb. L19­1: div F (x, y) ist gleich Null längs der Asroide A (vorgeschlagen von Michel Jürgensen)
11­2
A :
y
2
3
 x
2
3
=2
2
3
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 19
Abb. L19­2: Das Vektorfeld und die Feldlinien der Funktion F (x, y)
11­3
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 20
Abb. L20­1: div F (x, y) ist gleich Null längs der Parabel y = f (x)
 =
F
 =
div F

∂
∂
x 2 − 2 y = y − 2  x 2
 x y 
∂x
∂y
 = 0 :
div F
12­1

xy
x2y − 2y
y − 2 x2=0
⇒
y =2− x2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 20
Abb. L20­2: Das Vektorfeld und die Feldlinien der Funktion F (x, y)
12­2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 20
Abb. L20­3: Das Vektorfeld und die Feldlinien der Funktion F (x, y)
12­3
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 21
 =
F
 =
div F
∂
∂x
 
x4
∂

4
∂y
 = 0 :
div F
 
x4
4
y4
− 3 x y2
4

y4
− 3 x y2
4

= x3  y3 − 6 x y
x3  y3 − 6 x y = 0
Divergenz des Vektorfeldes ist gleich Null längs der Kurve
x3  y 3 = 6 x y
Diese Kurve ist eine ebene Kurve 3. Ordnung, die auch als das kartesi­
sche Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) bekannt ist. Die Kur­
ve ist nach dem französischen Mathematiker René Descartes benannt.
13­1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 21
Abb. L21­1: div F (x, y) ist gleich Null längs der ebenen Kurve 3. Ordnung, dem kartesischen
Blatt (vorgeschlagen von Konstantin Lühe)
13­2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 21
Abb. L21­2: Das Vektorfeld und die Feldlinien der Funktion F (x, y)
13­3a
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 21
Abb. L21­3: Das Vektorfeld und die Feldlinien der Funktion F (x, y)
13­3b
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 21
Das kartesische Blatt ist eine algebraische Kurve, die durch die
Gleichung
C :
x3  y3 − 3 a x y = 0
bestimmt wird. Im ersten Quadrant ist sie eine Schleife mit einem
doppelten Punkt im Ursprung. Sie hat die Asymptote lA :
x ya=0
Die Kurve ist symmetrisch bezüglich der Geraden y = x. In unserem
Fall ist der Parameter a = 2 :
C :
13­4
x3  y3 = 6 x y ,
lA :
y = −2 − x
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 22
 =
F
 =
div F
∂
∂x


x y2
− x
5
x2 y
2 y3
−
5
15

x y2
∂
− x 
5
∂y


x2 y
2 y3
−
5
15

=
y2
x2
6 y2
x2
y2
=
−1
−
=
−
−1
5
5
15
5
5
 = 0 :
div F
14­1
x2
y2
−
−1 = 0
5
5
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 22
Abb. L22­1: div F (x, y) ist gleich Null längs der ebenen Kurve 2. Ordnung (vorgeschlagen
von Sebastian Stang)
2
2
14­2
x
y
−
=1
5
5
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 22
Abb. L22­2: Das Vektorfeld und die Feldlinien der Funktion F (x, y)
14­3
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Divergenz: Lösung 22
Abb. L22­3: Das Vektorfeld und die Feldlinien der Funktion F (x, y)
14­4
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya

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