Zusammenfassung: Beugung und Interferenz - Lehrer-Uni

LGÖ Ks
Ph 12 2-stündig
30.04.2015
Zusammenfassung: Beugung und Interferenz
Inhaltsverzeichnis
Mehrdimensionale Interferenz bei zwei Erregern ..............................................................................
Beugung von Wellen an Spalten ........................................................................................................
Interferenz beim Doppelspalt .............................................................................................................
Interferenz beim Gitter .......................................................................................................................
Mehrdimensionale Interferenz bei zwei Erregern
Zwei Erreger E1 und E2 schwingen gleichphasig mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude
und erzeugen Kreis- oder Kugelwellen der Wellenlänge .
Beispiele:
 Zwei starr miteinander verbundene Stifte tauchen periodisch in Wasser.
 Zwei Lautsprecher sind an denselben Frequenzgenerator angeschlossen.
Die beiden Wellen überlagern sich, und es tritt Interferenz auf.
Bekannt: Auf der Strecke zwischen den Erregern bildet sich eine stehende Welle mit Bewegungsknoten im gegenseitigen Abstand

2
und jeweils in der Mitte dazwischen Bewegungsbäuchen.
Die in einem beliebigen Punkt P ankommenden Wellen haben den Wegunterschied
  E1 P  E2 P .
Man kann sich anschaulich überlegen, dass der Wegunterschied höchstens so groß sein kann wie
der Abstand der Erreger,
Sonderfälle:
1. Ist der Wegunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge:
  k   ( k  0, 1, 2,  ),
dann sind die Wellen in Phase (anschaulich: Wellenberg trifft auf Wellenberg), und die
Wellen verstärken sich maximal. Dieser Fall heißt konstruktive Interferenz. Die Punkte, in
denen der Wegunterschied   k   ist, bilden das Maximum k-ter Ordung.
2. Ist der Wegunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge:
   2k  1 

( k  1, 2, 3, ),
2
dann sind die Wellen gegenphasig (anschaulich: Wellenberg trifft auf Wellental), und die
Wellen löschen sich aus. Dieser Fall heißt destruktive Interferenz. Die Punkte, in denen der
Gangunterschied    2k  1 

2
ist, bilden das Minimum k-ter Ordnung.
Zweidimensionales Interferenzfeld zweier Erreger:
Auf der Mittelsenkrechten der Strecke zwischen den Erregern ist der Gangunterschied   0 ; dort
ist das Maximum 0. Ordnung. Je weiter man sich von der Mittelsenkrechten entfernt, umso größer
wird der Gangunterschied. Es folgen zwei symmetrische Hyperbeln mit den Punkten mit dem
Gangunterschied  

(Minimum 1. Ordnung), dann zwei symmetrische Hyperbeln mit den
2
Punkten mit dem Gangunterschied    (Maximum 1. Ordnung) usw.
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Max. 1. Ordnung
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Auf einer Parallelen zu E1 E2 also:
E1
E1
Max. 1. Ordnung
Min. 1. Ordnung
Min. 1. Ordnung
Max. 0. Ordnung
Max. 0. Ordnung
Min. 1. Ordnung
Min. 1. Ordnung
E2
E2
Max. 1. Ordnung
Max. 1. Ordnung
Beugung von Wellen an Spalten
Wir betrachten nur zweidimensionale (ebene) Wellen. Sie lassen sich beschreiben durch
 die Wellenfronten; das sind die Verbindungslinien benachbarter Wellenberge;
 die Wellenstrahlen; sie geben die Ausbreitungsrichtung der Welle an.
Die Wellenstrahlen sind stets orthogonal zu den Wellenfronten.
Die beiden wichtigsten Arten von zweidimensionalen Wellen sind Kreiswellen und gerade Wellen:
Kreiswellen:
Die Wellenfronten bilden Kreise um den Erreger.
Die Wellenstrahlen zeigen radial vom Erreger weg.
Beispiel:
 Wasserwellen, die von einem Stift erzeugt werden
Gerade Wellen:
Die Wellenfronten bilden zueinander parallele Strecken.
Beispiele:
 Wasserwellen, die von einem geraden Blechstreifen
erzeugt werden
 paralleles Lichtbündel
Wenn eine gerade Welle auf einen schmalen Spalt trifft,
dann geht von dem Spalt eine Kreiswelle aus.
Man sagt, die Welle wird an dem Spalt gebeugt.
Für Experten: Das gilt auch, wenn eine beliebige Welle
auf einen schmalen Spalt trifft.
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Interferenz beim Doppelspalt
Paralleles Licht der Wellenlänge  fällt senkrecht auf zwei schmale Spalte, deren Spaltmitten den
Abstand g haben. Im Abstand a befindet sich ein zur Spaltebene paralleler Schirm.
P
Wir setzen stets voraus, dass der
Schirmabstand a viel größer als der
Spaltabstand g ist. Dann verlassen die
Lichtstrahlen, die sich in einem Punkt
P des Schirms treffen, die Spalte
näherungsweise parallel.
Für den Winkel , unter dem der
Punkt P von den Spalten aus
gegenüber der Schirmmitte M
erscheint, gilt
d
tan   .
a
d

g
M

a
Für den Gangunterschied  der
Wellen gilt
sin  

g
g
.




Damit kann man die Winkel berechnen, unter denen die Maxima bzw. Minima auf dem Schirm
gegenüber der Schirmmitte M erscheinen:
 In der Schirmmitte M ist   0 , also das Maximum 0. Ordnung.
 Ist der Punkt P ein Maximum k-ter Ordnung, dann ist der Gangunterschied   k   . Für
den zugehörigen Winkel  max, k gilt also
sin  max, k 
k 
g
( k  1, 2, 3,  ).
 Ist der Punkt P ein Minimum k-ter Ordnung, dann ist der Gangunterschied  
Für den zugehörigen Winkel  min, k gilt also
sin  min, k 
 2k  1  
2g
 2k  1
2
 .
. ( k  1, 2, 3,  )
Einschub: Kleinwinkelnäherung:
Für kleine Winkel  gilt näherungsweise sin   tan  .
Begründung am rechtwinkligen Dreieck:
h
g
g
g
Es ist sin   und tan   , und für kleine Winkel  ist h  a .

h
a
a
sin 
Andere Begründung: Es ist tan  
, und für kleine Winkel  ist cos   cos 0  1 .
cos 
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Für kleine Winkel gilt also näherungsweise für den
 Abstand d max, k eines Maximums k-ter Ordnung vom Maximum 0. Ordnung:
tan  max, k  sin  max, k
d max, k

a
k 
g
d max, k  k 
 Abstand d min, k
a
( k  1, 2, 3,  )
g
eines Minimums k-ter Ordnung vom Maximum 0. Ordnung:
tan  max, k  sin  max, k
d min, k
a

 2k  1  
2g
d min, k   2k  1 
a
2g
( k  1, 2, 3,  )
In der Kleinwinkelnäherung sind die Maxima äquidistant mit dem gegenseitigen Abstand
a
g
;
jeweils in der Mitte dazwischen sind die Minima.
Interferenz beim Gitter
Paralleles Licht der Wellenlänge  fällt senkrecht auf ein Gitter, d. h. auf viele parallele schmale
Spalte im gegenseitigen Abstand g. Im Abstand a befindet sich ein zur Gitterebene paralleler
Schirm.
Wir setzen stets voraus, dass der
Schirmabstand a viel größer als die
Gitterkonstante g ist. Dann verlassen
die Lichtstrahlen, die sich in einem
Punkt P des Schirms treffen, die
Spalte näherungsweise parallel.
Für den Winkel , unter dem der
Punkt P von den Spalten aus
gegenüber der Schirmmitte M
erscheint, gilt (wie beim Doppelspalt)
d
tan   .
a
P
d
g

g
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.
M
g

a
Für den Gangunterschied  der
Wellen benachbarter Spalte gilt
(analog zum Doppelspalt)
sin  

g
g



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 In der Schirmmitte M ist   0 , also das Maximum 0. Ordnung.
 Ist der Wegunterschied   k   , dann sind alle Wellen in Phase und verstärken sich; dort
ist ein Maximum k-ter Ordnung. Für den zugehörigen Winkel  max, k gilt
sin  max, k 
k 
g
( k  1, 2, 3,  ).
Bis hierher ist alles analog zum Doppelspalt.
Zwischen den hellen und scharf ausgeprägten Maxima ist Dunkelheit; man kann nicht von
„Minima“ reden.
Achtung: Bei Interferenz am Gitter treten im Allgemeinen große Winkel zu den Maxima auf; man
darf deshalb nicht die Kleinwinkelnäherung sin   tan  verwenden!
Mithilfe eines Doppelspalts oder (einfacher) eines Gitters kann man die Wellenlänge von Licht
bestimmen. Das Ergebnis ist: Sichtbares Licht hat eine Wellenlänge zwischen 400 nm (violettes
Ende des Spektrums) und 800 nm (rotes Ende des Spektrums).
Das Licht einer Glühlampe hat ein kontinuierliches Spektrum, während das Licht einer
Quecksilberdampflampe ein Linienspektrum hat.
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