Institut f¨
ur theoretische Physik
Universit¨
at zu K¨
oln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
¨
Quantenphysik – Ubungsblatt
2
Abgabe bis 22.04.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 2.1. Orthonormalbasen (ONB)
Seien {e1 , e2 } und {f1 , f2 } ONB von C2 mit Standardskalarprodukt.
a. Was l¨
asst sich allein aufgrund von Orthogonalit¨at und Normierung u
¨ber die Komponenten
von f1/2 bez¨
uglich {e1 , e2 } sagen?
b. Sei g : C2 → C2 die komplex lineare Abbildung, die durch g(e1 ) = f1 und g(e2 ) = f2
definiert ist. Zeigen Sie, dass g † g = 12 wobei 12 die 2x2 Einheitsmatrix bezeichnet und g †
die komplex konjugierte und transponierte Matrix von g.
Hinweis: Verwenden Sie die Bedingungen an die Koeffizienten von g aus Teil a. Sie k¨onnen
alternativ die Matrixkoeffizienten von g † g auch als
g†g
= hg(ei ), g(ej )i
(1)
i,j
berechnen.
c. Zeigen Sie, dass eine beliebige complex lineare Abbildung g : C2 → C2 genau dann
{e1 , e2 } auf eine ONB abbildet, wenn g † g = 1.
Hinwes: Auch hier ist Gleichung (1) m¨oglicherweise hilfreich.
Aufgabe 2.2. Stern-Gerlach mit mehr Zust¨
anden
Betrachten Sie den Stern-Gerlach Versuch mit einer anderen Atomsorte. Die zu untersuchende Atomsorte habe die Eigenschaft, daß der Strahl im Stern-Gerlach-Magneten in drei
Teilstrahlen aufgespalten werden, wieder einer in + Richtung, einer in − Richtung und
zus¨atzlich einer, der auf die Magnetfelder gar nicht reagiert (0-Richtung). Benutzt man die
in der Vorlesung eingef¨
uhrte Notation, so kann dieser Stern-Gerlach-Magnet repr¨asentiert
werden wie in Abb.1.
+
0
−
Abbildung 1: Schematische Darstellung des Stern-Gerlach Magneten mit anderer Atomsorte
a. Ist der Stern-Gerlach-Magnet in z-Richtung orientiert, ordnen wir den drei Teilstrahlen
die Atomzust¨
ande ψ + , ψ − und ψ 0 zu. Mit welchen experimentellen Anordnungen von
Stern-Gerlach-Magneten k¨
onnte man zeigen, daß diese Zust¨ande paarweise orthogonal
sind?
1
b. Analog zur Vorlesung werden wieder drei Stern-Gerlach-Magnete hintereinander geschaltet. Die Aufspaltung des Strahls im ersten und letzten Magneten erfolgt entlang der
z-Achse des Systems, die Aufspaltung im mittleren Magneten erfolgt entlang der y-Achse.
In den folgenden drei Skizzen sind jeweils Teile des Strahls blockiert, wodurch die Anzahl
der Teilchen, die den jeweiligen Versuchsteil passieren, abnimmt. Stellen Sie die in den
Skizzen in Abb.2 definierten nicht negativen
Koeffizienten
β, γ, δ, , ζ (alle ≤ 1) durch
+ −
α,
0
+
−
0
geeignete Skalarprodukte der Vektoren ψ , ψ , ψ und ϕ , ϕ , ϕ dar, wobei letztere
den Teilstrahlen eines in y-Richtung orientierten Magneten entsprechen.
Ν
αΝ
βαΝ
Ν
γΝ
δγΝ
Ν
εΝ
ζεΝ
Abbildung 2: Skizzen zur Definition der sechs Koeffizienten
Aufgabe 2.3. Stern-Gerlach in x-Richtung
Neben der Polarisation in z- und y-Richtung senkrecht zum Strahl, die Sie aus der Vorlesung
kennen, ist es auch m¨
oglich die Silberatome in Strahlrichtung zu polarisieren, d.h. senkrecht
zu sowohl z- als auch y-Richtung.
a. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein in Strahlrichtung polarisiertes Atom in einem in
z-Richtung ausgerichteten Stern-Gerlach Magneten nach oben oder unten abgelenkt? Wie
sind die Wahrscheinlichkeiten f¨
ur Ablenkung nach Rechts/Links in einem Stern-Gerlach
Magneten in y-Richtung?
Hinweis: Rotationssymmetry
b. Zeigen Sie, dass die beiden Polarisationsrichtung parallel und anti-parallel zum Strahl
(“vorw¨arts” und “r¨
uckw¨
arts”) eine weitere Orthonormalbasis, Bx = {ϑ± }, zus¨atzlich zu den
beiden bekannten Bz = {Ψ± } und By = {ϕ± = √12 (Ψ+ ± Ψ− )} bilden und geben Sie die
¨
Komponenten von Bx bzgl. Bz an. Uberpr¨
ufen Sie Ihr Ergebnis anhand von Aufgabe 2.1 c.
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