自然対流場における流れのモード変化・安定性とカオス性石田秀士*，木本日出夫* １．はじめに相的推移的であり，かつ(3)周期点が稠密である，ときカオスであると定義している．ここで(1)は V “カオス”は非線形力学の分野では 1980 年以内部の任意のある点を初期値として採用し，その降主要なテーマとして頻繁に扱われるようになっ点を含む領域を考えたとき，その内部の適当な点たが，我々熱流体工学分野の研究者・技術者にと（全てではない）を別の初期値として選択すると，ってあまり馴染みのある言葉とはいえない．そのその領域の大きさ(すなわち初期値の誤差)がいく理由として“カオス”を扱うためには非定常現象ら小さくてもその初期値の差違に基づいて有限時を扱う必要があるのに対し，工学的には時間(アン間内(有限回の写像)にある一定の差違を生じさせサンブル)平均的な特性が重要であり，複雑な非定ることが可能であることを示しており，これはす常現象をそのまま扱う必要はないことや，解析になわちその力学系の予測不能性を示している．次用いるべきナビエ・ストークス方程式を解くために(2)は V 内で定義された任意の(開)領域 A から任の計算機の能力不足，さらには時間・空間分解能意の領域 B まで有限時間内に動く点が領域 A 内にの高い測定方法の問題等々が挙げられるだろう．必ず存在することを示しており，これはすなわちしかし近年の DNS(直接数値シミュレーション)に力学的な意味での V 内部の分解不可能性を示して象徴されるような計算機・計算法の発達や PIV をいる．一方(3)は(1)(2)のような複雑性に加えてな始めとする計測技術の発達により，方法論的にはお V 内部の不動点，すなわち有限時間内に元の状熱流体場のカオスをかなり詳しく調べることが可態に戻るような点が V 内部で，実数の集合の中の能となってきた．有理数の集合と同じような密度で存在するような本稿では熱対流場のカオスについて一通り述べある種の規則性を有することを示している．このた後，“カオス”を乱流や流れの安定性といった定義の中で最も重要視されるのは(1)の SDIC であ我々に馴染みのある概念の中で捉えることを目的り，この性質を有する力学系は一般にカオス的ととして，自然対流場を対象に加熱量等のパラメー呼ばれる2)．本稿において“カオス性”はこの意味タの値の変化に伴う現象の変化をカオスもしくはで用いている．カオス的性質を判別する指標の変化から考察する 2.2 散逸系とアトラクタことを試みる．質点系における位置と運動量(速度)のようにそ２．熱対流場におけるカオスの運動の状態を定める変数を座標に用いて空間を構成するときこれを位相空間(状態空間)と呼ぶ． 2.1 カオスの定義位相空間と状態空間は空間の構成方法が少し違う “カオス”の定義は研究者によって異なるのがのであるが本稿では区別しない．このような空間現状であるが，Devaney1)は対象としている力学上ではある時点での運動の状態は一点（状態点）系(写像)について，それが定義されている領域(区で表され，ある初期値からの運動は一本の曲線（軌間)V 内で(1)初期値鋭敏依存性(SDIC: Sensitive 道）で表現される． Dependence on Initial Conditions)を持ち，(2)位熱対流現象をはじめ，多くの物理現象において * 大阪大学大学院基礎工学研究科システム人間系専攻機械科学分野 (Hideshi Ishida，Hideo Kimoto) はラグランジュの意味で安定3)，すなわち時間的に速度，温度といった物理量は時間的に常に有限値を保っており(有界)，さらに位相空間上の状態点石田・木本：自然対流場における流れのモード変化・安定性とカオス性で構成された領域の体積は時間の経過と共に一定数が正の要素があると，前述の有界性を保つため値を保っているか，減少傾向を示す．このとき前に必ずリアプノフ数が負となる要素が存在し，こ者は Hamilton 系，後者は散逸(的)系と呼ばれる．の方向について軌道は接近（折り畳み）することある初期値に基づく運動は位相空間上である図形になる．この引き延ばしと折り畳みはカオスの特を描くが，ラグランジュの意味で安定な散逸系で徴であるが，上述の理由によりアトラクタが存在は前述の体積の減少に対応して，十分時間が経っする系では，このカオス的な特徴の存在証明にはたところでアトラクタと呼ばれる図形に漸近する． N 個のうち最大のリアプノフ指数λが正になるこそして多くの熱対流場はこの性質を満たしている．とを示すだけで十分であり，このとき系は SDIC このような系でカオスの性質を調べるためにはアを有すると判断される．この最大リアプノフ指数トラクタの性質を調べるだけで十分である．を効率的に計算する方法をWolf5)が提案している．ただし熱対流場は偏微分方程式系によって支配次に一般化次元であるが，この説明の前にフラされており，有限個のパラメータ(温度・速度など) クタル次元（容量次元）を説明しておくと分かりを抽出することでその熱対流場の状態を一意に決やすいだろう．位相空間上に構成されたアトラク定することはできない．また多くの実験では特定タについて，それを構成する軌道に沿って一定のの点における特定のパラメータの値についての時時間間隔で取り出した軌道上の状態点の集合を考系列データしか得られないのが普通である．える．もしこの図形が１次元的であればある軌道 4) この点に関し，Takens は一つの量 x(t)から遅上の点を中心として半径 r の(超)球内部に入る状れ時間τを用いて次のような m 次元（疑似）位相態点の数は r に比例するだろう．そしてもしこの空間図形が２次元的であればその数は r2 に比例すると (x(t), x(t+τ),・・・,x(t+(m-1)τ) 考えられる．このように半径 r の球内部の状態点を構成するとき，この空間内に形成されたアトラの数が rαに比例するときその図形の次元をα次元クタが，元のアトラクタの特徴を保有(再構築)しと定めることができ，このように定義された次元ていることを示した．これは埋め込みの方法をフラクタル次元と呼ぶ．非整数次元の図形はフ (embedding technique)と呼ばれ，上記の m は埋ラクタルと定義され，一般にカオス的変動を表すめ込み次元と呼ばれる．まさにこの方法により熱アトラクタ(ストレンジアトラクタ)はフラクタル対流場のカオスが分析可能になったと言っていいとなる．この他にも与えられたアトラクタの軌道だろう．に沿って一定時間間隔で抽出された状態点の組み以下では上述のアトラクタが存在する力学系に合わせのうち，与えられた距離より短いものの割ついて，そのカオス的特徴を抽出するための指標合を算出した相関積分と呼ばれる量を用いて定義について述べる．される相関次元もよく用いられる．こういった次 2.3 カオスの指標元を一般化し，パラメータ q を含む形で表されたカオスは幾つかの指標を組み合わせて判断する次元が一般化次元(レニイ次元)で Dq で表現される．が，本稿に関連するものとしてリアプノフ(指)数ここで D0 はフラクタル次元に一致し，D2 は相関と一般化次元を説明しておく．次元に一致する．一般にアトラクタの次元が２以リアプノフ数は位相空間上の近接する２点につ上になるとフラクタル次元は通常のアルゴリズムいてその距離の拡大率の対数をとったものを時間 (Box-Counting 法)で求めにくくなるが，相関次元平均したものである．N 次元位相空間では N 個のは比較的簡単に求まり，この計算法を独立な方向に対応して N 個のリアプノフ指数が Grassberger ら 6)が提案している．フラクタル次存在する．この指数が正の場合，対応する方向に元，相関次元の間には D0≧D2 の関係があるが，ついて近接する二点間の距離は時間的に指数関数多くの場合これらは非常に近い値をとると考えて的に引き延ばされ，結果として SDIC が生じるこよい．リアプノフ数と一般化次元は，SDIC に加とになる．アトラクタが存在する系でリアプノフえて Devaney のカオスの定義の所で述べた周期石田・木本：自然対流場における流れのモード変化・安定性とカオス性点の稠密性をも包括した概念であるコロモゴロフ Lyapunov の意味での安定な系(Lyapunov の意味エントロピーを媒介にして相互に関連づけられるで不安定でない系)と比べて条件が厳しく，説明はことが知られている．省略するが大域的指数漸近安定 3)や完全安定 3)8)に 2.4 安定性と SDIC との関連対応する概念になっている．ここで本稿のテーマの一つである SDIC と安定よって線形安定性解析の意味での不安定性と性との関連について補足しておきたい． SDIC の比較のためには本来の SDIC とは別の概 Lyapunov は常微分方程式の解 x(t)ついて，あ念を導入する必要がある．る t0>0 に対する値 x(t0)を含む領域を考えたとき，一般に SDIC を測る手段として位相空間上の近 7) その内部の適当な点（全てではない）を別の t=t0 接する２点間の距離が近似的にある（狭義）単調での値として選択すると，その領域の大きさ(すな増加関数のべき乗に従って増加するとき，そのべわち t=t0 での値の誤差)がいくら小さくてもそのき指数が正の場合に SDIC 有りと判別する方法が t=t0 での値の差違に基づいて有限時間内(有限回考えられる．この指数のマイナスをとったものはの写像)にある一定の差違を生じさせることが可２点間距離における与えられた単調増加関数に対能であるとき，その系を不安定と定義している 3)．する特性数と定義されるこれを 2.1 節の SDIC の定義と比較していただ味での不安定と対応づけるためにはこの単調増加きたい．SDIC ではある位相空間上の領域 V 内の関数として指数関数を選択すればよい．この場合全ての初期値を対象にし，ある決められた時点以の特性数は最大リアプノフ数に-1 をかけたものに降の解の振る舞いを問題にしているのに対して，一致する．そこで本稿では安定性とカオス性を比 Lyapunov の意味での不安定では考察の対象をあ較する際の指標として最大リアプノフ指数を用いる t=0 での決められた初期値に基づく解の周辺にている．限定する代わりに t=t0>0 の全ての時点で誤差が存在した場合の振る舞いを問題にしている以外は 9) ．線形安定性解析の意３．カオス性から見た自然対流場両者は一致しており，この SDIC と Lyapunov の 3.1 振動する密閉容器内部の自然対流場意味での不安定性，すなわち本稿の意味でのカオさて熱対流場のカオスについて一通り説明したス性と不安定性は定義上はよく対応している．しところで実際の自然対流場をカオス性の観点からかしながらカオス性が不安定性に含まれるのか，調べてみよう．一致するのかといった包含関係については別途検討する必要がある．この検討に関して一つ注意しておかなければな Air Hot wall Th Cold wall g らない．一般に安定性の解析の際よく用いられる線形安定性解析では，ある解に対して加えられる微小擾乱が指数関数的に増幅，減衰するときそれ b sin( Ω t) y x Tc Adiabatic wall ∂T =0 ∂y ぞれ不安定，安定と判別しそれ以外は中立と定める．しかしこの意味での不安定は上で定義した図１計算モデル Lyapunov の意味での不安定の条件と比べて明らかに厳しい．すなわち Lyapunov の意味での不安まず最初の例として図１に示されるような縦横定では適当な時点で対象とする解との間に差違が比が１の矩形密閉容器を考える．この容器の向か生じさえすればよいのに対して，線形安定性解析って左面，右面は鉛直面でそれぞれ温度 Th,Tc[℃] の意味での不安定では常にある解の近傍の点はそ (Th>Tc とする)で固定されており，上下面は断熱との解から離れる，それもべき乗の関数ではダメでする．また紙面に垂直な方向は一様であるとして指数関数的に離れることを要求するのである．同現象の２次元性を仮定する．この現象を支配する時に線形安定性解析の意味での安定な力学系は無次元パラメータは高温壁・低温壁間の温度差に石田・木本：自然対流場における流れのモード変化・安定性とカオス性基づく浮力を無次元化したグラスホフ数 Gr と流体の粘性係数と熱拡散係数の比であるプラントル数 Pr であるが，これをそれぞれ 1.4×104，0.71(常温常圧の空気)に固定するとき，内部に形成される流れ場は単なる時計回りの循環流である．タから埋め込みの方法により６次元位相空間を構 7 6 T .S .A .N u 4 3 É 2 成し，この空間上で再構築されたアトラクタを図 JJ JJJ É J ÉÉÉ É JÉ É É JÉ É J J ÉÉ J J JÉJ J JÉJ É É É É 5 É JÉÉ É É ÉÉ ÉJ ３に示している 11)．ただし図では遅れ時間τを 0.01 とし，基準となる時間からτ,3τ,5τ後の値から図を ÉÉJÉ É 描いている．図中でω=10,40,991,2560, 5120 はそ Fu J 石田・木本(1999) 1 れぞれ流れのモード・,・,・,・,・に属している． 0 1 10 102 103 104 ω[ -] 105 図２時間・壁表面平均ヌセルト数ではこの容器に b sin(Ωt)で表現される鉛直方向振動を加え，その周波数を変化させたときどのような流れ場の変化が生じるであろうか．振動を加える際に，容器や流体に与える平均運動エネルギーを固定するため上下方向の最大速さ bΩを無次 (a) ω=10 (b) ω=40 元化した振動グラスホフ数G を固定した場合に， Fu ら 10)はこの値が 106 の時，無次元振動角速度ω の変化に伴って静止状態での重力と振動による重力の干渉により５つの流れのモードが発生することを数値計算により示した．この変化について著者らの数値計算結果に基づいて若干の修正を加えたものを表 1 にまとめている．また左右の伝熱面 (c) ω=991(準定常状態) (d) ω=991 (初期状態) について各点の熱伝達率を無次元化した局所ヌセルト数を面全体で平均したものを壁表面平均ヌセルト数(S.A.Nu)，その時間平均値を時間・壁表面平均ヌセルト数(T.S.A.Nu)とするとき，ωの変化に伴う T.S.A.Nu の変化を図２に示している．この図と表１を比較すると T.S.A.Nu の勾配の変化と流れのモード変化の間に対応が見られる． Fu らはこのような T.S.A.Nu の変化や容器内部の (e) ω=2560 (f) ω=5120 図３ ωの変化に伴うアトラクタの変化渦度の最大値の変化，熱対流場の定性的な変化等により表１に示している類型化を提案しているが，モード・(ω=10),モード・(ω=40)では流れ場は容次に示すように S.A.Nu から求まるアトラクタの器の振動に合わせて周期変動するため，アトラク幾何学構造により定性・定量的に分類が可能であタは閉曲線(リミットサイクル)を構成しているが，る．モード・の流れ場は常に時計周りの循環流である S.A.Nu の十分時間が経過した後の時系列デーのに対して，モード・では回転方向の反転に伴っ表１流れのモード変化て一時的に別の渦構造が形成され１周期内部に２石田・木本：自然対流場における流れのモード変化・安定性とカオス性つの S.A.Nu のピークが現れるため，モード・のてのベークライト板とアクリル側壁並びに整流化ような単純な円形とはならない．またモード・のための上面・前面のナイロンメッシュシートで (ω=991)では最終的(quasi-static state:図 3(c))に構成されている．熱源として素線径 0.2mm のニはモード・と同じ循環流であるが，振動の初期でクロム線をベークライト板上に水平に設置し，印不規則変動が現れる場合が多く，特に加する電圧を調整することで 40W/m の熱量を発 ω=1496,1778 では t<10 で規則変動が観測されな生させた．網箱内部の温度分布は素線形 0.1mm 12) ．このような不規則変動状態でのアトラのクロメル・アルメル熱電対のプローブを用いてクタ(図 3(d))を見ると極めてランダム性の強い形測定したが，その際トラバーサーを用いて外部か状となっているのが分かる．モード・(ω=2560)でら移動させながら各測定点に対してサンプリングは再びリミットサイクルが現れ，さらにモード・周波数 10Hz で 100 秒間の測定を行った．かった (w=5120)では加振周波数に無関係な場に固有の振動数による振動が発生し，この周波数と振動周波数が非有理数比をとることからリミットサイク Wall Plume Mesh Screen Sheet ルとはならず，ここではメビウスの輪で知られる形状（ツイスト）が現れている．このように流れつく．これらのアトラクタから相関次元を求めるとリミットサイクルでは 1 次元，ツイストでは２次元 Urea Resin Plate という値が得られ，ω=1496,1778 の不規則変動データからはそれぞれ 3.3, 2.8 次元という非整数次元が得られた．不規則変動状態のデータからはま 1100 のモード変化はアトラクタの形状の変化に対応が C-A Thermocouple X Line Heat Source Vibratory Frame た最大リアプノフ指数が正の値が得られ，このよ Copper Wire 0 うな変動がカオス性を示すことが確認された． Y 350 さてこの不規則変動状態であるが，これは Fu ら 10)も述べているように容器内部に形成された複 180 数の渦が不規則に移動することによって維持されており，この渦は代表長さ(容器の大きさ)と同じ図４網箱及び水平線熱源空間スケール，並びに代表時間(加振周期)と同じ時間スケールを持っていることから，変動量から流れ場の安定性を実験的に判別するため線熱源定義される代表スケールと異なる時間・空間スケの 5mm 上方に素線径 0.2mm の銅線を水平に張り，ールに支配された状態であるいわゆる乱流とは異これをコンピュータ制御されたパルスモーターをなる．このような状態は静止状態で温度差(Gr)を用いて水平方向に振幅約 3mm の一定周波数(0.5 大きくしたケース 13)や縦横比を大きくしたケース ∼2.0Hz)で振動させ，その振動に対応する(無次 14) 元)温度振幅を FFT を用いて抽出し，この高さ方でも確認されている．すなわちカオスは乱流よりも広い概念 8)であると言えるのである．向変化を調べた．温度測定は温度場の２次元性を 3.2 水平加熱体上方の自然対流場あらかじめ確認した上で専ら図に示される熱源中次に鉛直断熱壁に埋め込まれた水平線熱源上方央を通る x-y 鉛直面上で行い，また得られた量のの自然対流場を考える．この熱対流場の安定性と誤差を評価するため，同一条件での実験を 10 回カオス性を実験的に扱うため約 4m 四方の実験小繰り返し行った．部屋の内部に制振性に優れた台を設置し，その上上述の水平線熱源上方に形成される自然対流場に図４に示す網箱を設置した．網箱は鉛直壁としは，熱源からの高さ X，並びに X 軸上の温度から石田・木本：自然対流場における流れのモード変化・安定性とカオス性周囲温度を引くことによって得られる温度差をそ小さい方向へシフトしているが，これは田中られぞれ代表長さ，代表温度差とした修正グラスホ 16)が指摘しているようにブシネスク近似に基づフ数 G，無次元周波数βによって支配されておりく解析による影響であると考えられる．βが小さ (Pr は固定)，安定性及びカオス性(最大リアプノフい領域では逆に中立領域が中立曲線の内側に張り指数λ)は同一の G-β空間上に図示できる．出しているが，これはこの領域の増幅率が小さい X XX X XX X X X X X X 安定 X X X XX X X X X X X X X X X X C 中立 X X X X X XX X X X X X X J 不安定 X X X X C CCC C b r un ch cu t C JJ 0 .2 5 0 .2 β f=2.0Hz f=1.4Hz JJJJJJJJJJ JJJJJJJJJJJ JJJJJJJJJJJ J JJ J C C C C JJJJJ f=1.0Hz XCCCC X X X X JJJJJJJJJJJJJJJJJ CC CCCC JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ C C C C CCJ XCCCCCC XX XXXX JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ f=0.7Hz CJJJJJJJJJJJJJJJJ CCCCCCCCC X X X X JJ X X X X X CCJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ X XXX CC CCCCCCCC f=0.5Hz CCCCCCCCCCCCC CCCCCCCC 0 .1 5 0 .1 0 .0 5 ために実験的に安定性を判別することが難しいことが原因である． α= 0 0 .0 0 3 α= 0 .0 2 α= 0 .0 4 α= 0 .0 6 α= 0 .0 8 0 .0 0 2 .. 0 .0 0 1 f =0 .7 Hz f =1 .0 Hz f =1 .4 Hz 0 20 0 20 40 60 80 40 60 G 80 100 120 100 120 140 160 図７プルームの温度分散 G 図５壁面プルームの安定・不安定特性次に同じく加振状態の温度変動の時系列データから最大リアプノフ指数λを計算し，計算の際の 0 .3 5 X C 0 .3 J 0 .2 5 β f =0 .5 Hz f =2 .0 Hz Vθ 0 .3 λ<0 X X XXX X X 中立 X XX X X X XX X X X X X X X X X X X J f=2.0Hz X X X J J X λ>0 JXCC XC XX X XC X XX XX XX W a kiXXXtXXX aXX ni XXX XXXX XXX XXX 0 .2 誤差 0 .1 0 .0 5 や実験誤差を考慮してαと同様の符号の判別を行った．結果を図６に示している．この図を見ると加振周波数βにかかわらずカオス性はおおよそ 70<G<85 の範囲で発生している． f=1.4Hz これは加振周波数以外の周波数成分の増幅による XC X X X X X X X X X XX X X X X X X X X X X X X XXX JJJJJJJJJJJJX C J C J X X X X X X XX XX X XJ XC X XC XX X X X X XXXXXXXX X XC X X X X X X X X X X X X X X XCJXX XXXXXXX X XC X XJC XXC XX f=1.0Hz XXXXXX XXXX XXXX XXXX X X X X X X X X X X X X XX X X X X XX XX X X X XX XXXXXXX X X XX CXX XX XC X X XX X XCC X XX X XX X XX X XX X X XX X XX XXXXXJJJXX X X XX X X X X JX XXXXX X X X X XX JX XX XXC X X XX JCJJ X X X C XXX X X X X X X X X XXX X X X X X X f=0.7Hz XXXXXXXXXXXX 0 .1 5 13) ものであるが，このカオス性の発生する G=70 は線形安定性解析の意味で不安定な周波数成分が存在し始める臨界修正グラスホフ数(本実験では G=50 前後)よりはるかに大きく，カオス的変動を f=0.5Hz 示す領域は上述の意味での不安定領域に含まれて 0 20 40 60 G 80 100 120 図６壁面プルームのカオス性いることに注目すべきである．図７に示す温度の分散（温度の変動エネルギー）の変化のグラフを見ると，この 70<G<85 は温度の分散がある程度大きくなったところからそれが減衰するまでの領実験的に得られた無次元温度振幅の高さ方向増域に対応しており，これらの結果はカオス性が線幅率を指数換算したものをαとすると，実験誤差形メカニズムによって増幅された変動エネルギーを考慮してもなおα>0 の場合不安定，α<0 の場合が非線形メカニズムによって散逸する過程で生じ安定それ以外を中立と判別した．判別結果を図５る２次流れ構造の生成(この場合は乱流)と関係がに示している．図中で実線は Wakitani15)が線形安あることを示唆している．すなわちカオス性は線定性解析によって求めた中立曲線を示しており，形安定性解析の意味での不安定よりも狭い（含ま曲線の内部が不安定領域である．図の中立曲線とれる）概念であると言える．G>85 では温度分散実験的に得られた中立領域(△印)を比較すると，β はほとんど０か加振の影響と思われるほぼ一定値が大きい領域で実験的に得られた中立領域がG の石田・木本：自然対流場における流れのモード変化・安定性とカオス性に落ち着いており，流れは中立的・層流的である．従ってカオス性の消滅は流れの再層流化に対応しており，ここでも流れのモード変化をカオス性の変化により分類することが可能であることが示された．４．おわりに本稿では乱流や安定性といった我々に比較的馴染みのある概念とカオスとの関係ついて述べ，カオス性は乱流より広く，線形安定性解析の意味での不安定よりも狭い概念であることを示した．また流れのモード変化をカオスとそれに関連する指標により分類できることを示した．ではこれらの結果をどのように応用するか．残念ながらこの問いに対する明快な答えを著者らは持ち合わせていない．ただ言えることは，従来の周波数分析のような方法では複雑な時間変動からは連続スペクトルが得られるだけで定量化が不可能であるのに対し，本稿で紹介したカオス性に関連する指標を用いれば極めて多くの情報が得られ，時間変動の複雑性の定量化や指標の変化を通じての現象の分類等々が可能となる．このことにより似通った条件下（同一系列の製品と置き換えてよい）でおこる現象間の定量比較や過去のデータとのより詳細な比較が可能となることが期待される．また本稿で示したようにカオスは不安定に含まれる概念であるので，カオス性を減じる方向の設計はシステムを安定化する方向性と一致しており，本稿で紹介した指標はこのための指針となりうる．いずれにせよ今後は時系列データ解析ツールとして従来の周波数分析等に本稿で紹介した指標を加え，技術者全体でその有効性について検討し，経験を蓄積する必要があるのではないかと考えている．参考文献 1) R. 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