問の解答

第１章．ベクトルに関する基本事項
１．１
問 1.1
スカラー量：電荷、質量、エネルギー、温度
ベクトル量：力、速度、加速度、運動量、電場、モーメント
１．２
問 1.2
A
は明らかに点Ｐの位置ベクトル A と同じ方向を向く。単位ベクトルの大きさは１
A
であるから、その点Ｐの位置ベクトルを自身の大きさで割ることにより、 A 方向の単
位ベクトルを得る。
問 1.3
er
r
r
1
xi
r
er
er
x
i
r
yj zk
x2
r2
y2
r2
z2
r2
y
j
r
x2
y2
r2
z
k
r
z2
1
よって、大きさ 1 であることが確かめられる。
問 1.4
A// OP より A = Kr とおける。（ K
r = xi yj zk より
A = K xi
yj
zk
A
また、 r
x2
y2
z 2 より
r
= K x2
r
y2
z2
A
K xi
yj zk
Kx
2
Ky
1
x2
y2
0）
z2
xi
Kr = A
問 1.5
1
2
Kz
yj
2
zk
K x2
y2
z2
A
A
r
r
r1
OP
x1i
r2
OQ
x2 i
また
K
r2
A
なので
A
r
r
A
K r
r2 r
問 1.6
y1 j z1k
y 2 j z2 k
（１）
PQ = OQ OP
PQ = r2 r1
x2
x1 i
y2
y1 j
z2
z1 k
PQ = r2 r1
x2
x1 i
y2
y1 j
z2
z1 k
x2
x1 i
y2
y1 j
z2
z1 k より
（２）
PQ = r2 r1
PQ = r2 r1
x2
x1
2
y2
2
y1
z2
2
z1
点Ｐと点Ｑとの距離は点と点の距離の公式より
x2
x1
2
y2
y1
2
z2
よって、(1.10)式は確かめられた。
（３）
A// PQ なので
A= A
PQ
また
A= A
PQ
K
A=
PQ
PQ
r2 r1
2
r2 r1
x2
K
=
=K
より
PQ
r2 r1
x2
2
PQ
2
K
=
K
x1
2
y2
x2
x1 i
x2
x1
2
y1
2
z2
y2
y1 j
y2
y1
2
z1
z2
z2
x1 i
2
x2
x1
z1 k
z1
2
2
3
2
y2
2
y2
y1 j
y1
2
z2
z2
z1 k
z1
2
z1
2
１．３
問 1.7
A 3i ( 1) j 2k , B ( 2)i ( 5) j 6k
（１）
A B
3
（２）
A B
2 5 11
2
1
5
2 6 11
3 2 5
問 1.8
（１）
（２）
A i j 0k , よって
B i 0 j 0k
A i
j k, B
j
i
1 k
A B 1
2, B
A
A B
A B
cos
1
A B 1
よって
3, B
A
cos
3
A B
A B
2
2
1
3
問 1.9
2 j k, A 4i
B
3i 3 j
よって
A B 12 6 6 0
6 k
0 このとき
cos
90
問 1.10
交換法則：
A B
Ax , Ay , Az
Bx , B y , Bz
Ax Bx
Ay By
Az Bz
Bx Ax
By Ay
Bz Az
Bx , By , Bz
Ax , Ay , Az
B A
分配法則：
A B+C
Ax , Ay , Az
Ax Bx
Ax Cx
Ax , Ay , Az
Bx C x , By C y , Bz C z
Ay B y
Ay C y
Bx , By , Bz
Az Bz
Ax , Ay , Az
3
Az Cz
Cx , C y , Cz
A B
A C
問 1.11
x 方向への仕事
以上より W
Fx x 、y 方向への仕事
Fx x Fy y Fz z
Fy y 、z 方向への仕事
Fx , Fy , Fz
Fz z 、
x, y, z = F
r
問 1.12
（１） A
B
B
1,1, 2
（２） A
B
B
2,1, 2
1,1, 0
2
2
12 12 0
0, 0, 2
2
4
2
0 0 22
2
問 1.13
ベクトル A を平行方向と垂直方向に分解して
したがって、 A = A
A = A Ar
Ar
ここで、 Ar
A B
eB = A
B
A
A = Ar + A
A cos eB
A B
eB
B
B
eB = A
B
A e B eB
A
問 1.14
（１） F を単位接線ベクトル t に投影する。 Ft
F t
（２）問 1.13 の概念を使う。 Ft
F t t
F
Ft
F
問 1.15
F を位置ベクトル r の方向に投影する。つまり、 F と r 方向の単位ベクトルとの内
積をとればよいので
Fr
F
r
r
Fx
x
r
Fy
y
r
Fz
z
r
問 1.16
h の屋根に垂直な成分 hn は、 h を屋根に垂直な単位ベクトル n に投影すればよいの
で、 hn h n
4
１．４
問 1.17
（１）
i
3
2
A B
j k
1 2
5 6
6
= 4i 22 j 17k = 4,
（２）
i j
2 1
5 1
A B
k
3
2
2
= 5i 19 j 3k
10 i +
22,
19,
15
2 k
17
3 i+
5,
4 18 j +
15 4 j + 2 5 k
3
問 1.18
外積の大きさについて
A B
A B sin
が成立するので
A B
A B
sin
により計算する。
i
（１） A B
j k
1 1
0
1,
1, 0 , A B
2, A
2, B
1, 0 0 1
sin
2
1
2 1
i
（２） A B
sin
j
k
1 1
1
1 1
1
2 2
2 3
2 2
3
2, 2, 0 , A B
5
2 2, A
3, B
3, ，
問 1.19
両方のベクトル A ， B に垂直な方向を向くベクトルは、それらの外積をとることに
より得られる。その方向は２種類あり、互いに逆向きの方向をもつ。
A B
n1
i
j
k
3
1 2
2
5 6
A B
A B
4,
22,
17 ，
22,
17
4
,
789
789
逆向きのベクトル B
n2
4,
22
,
789
789
17
789
A = A B も考えて、
4
,
789
n1
A B
22
,
789
17
789
問 1.20
i
（１） A B
j
k
1 0
2
0
3 ，面積： A B
6, 0,
3 5
3 0
（２）内側を向くベクトルを得るためには、 A B という順序で外積をとらなくては
ならない。 n
A B
A B
6, 0,
3
3 5
2
, 0,
5
問 1.21
図にあるように、方向の接線ベクトルは k r である。
6
1
5
問 1.22
（解１）
粒子の速度を v で表すと、その大きさは v となる。
v （円軌道の半径）・（単位時間当たりの回転角）で表され、
（円軌道の半径）
r sin
（ただし、
は粒子の位置ベクトルと z 軸とのなす角）
（単位時間当たりの回転角）
ゆえに
v
r sin
の単位ベクトルは、
以上から
v
v
。一方、 v の方向は円軌道の接線方向。問 1.21 から接線方向
k r
である。
k r
k r
k r
r sin k r
r sin
k r
k r
r sin
k r
（解２）
粒子の速度 v は位置ベクトル r の時間変化と捉えることができるので、r を円柱座標
系で表せば、速度ベクトルは
v=
dr d
r cos i r sin j
dt dt
d
d
r sin i +
r cos j
dt
dt
yi
xj
i
確かめたい式は、v
j
となる。
k
k r= 0 0
x
y
y, x, 0
であり、先の式と一致する。
z
問 1.23
角運動量、力のモーメント、ポインティングベクトルなど。
7
問 1.24
A
B+C
i
Ax
j
Ay
k
Az
Bx C x
By
Cy
Bz C z
Ay Bz
Ay C z
Az By
Az C y i
+ Az Bx
Az C x
Ax Bz
AxC z j
+ Ax By
Ax C y
Ay Bx
Ay Cx k
Ay Bz
Az By i + Az Bx
Ax Bz j + Ax By
Ay C z
Az C y i + Az Cx
AxC z j + AxC y
A B+ A C
8
Ay Bx k
Ay C x k
１．５
１．５．１
問 1.25
A i 5 j , B
j , C
5i
i 2 j 5k
（１）
i
（２） A B
j
k
1 0
2
0
6, 0,
3 ， A B
26
3 0
A B
A B
（３）高さ： h
C
（４）体積： V
130
1, 2, 5
0, 0, 26
02 02 26 2
（５） A B C
0, 0, 26
9
5
1, 2, 5
130
１．５．２
問 1.26
（１） P = B C
i
j
k
Bx
Cx
By
Cy
Bz
Cz
B y Cz
Bz C y , Bz C x
BxC z , Bx C y
B y Cx
（２）
Q= A P
i
Ax
By C z
j
Ay
Bz C y
Bz C x
k
Az
Bx C z
Bx C y
By C x
Ay Bx C y
Ay By C x
Az Bz Cx
Az Bx C z i
+ Az By C z
Az Bz C y
Ax BxC y
Ax By C x j
+ Ax Bz C x
Ax Bx Cz
Ay By C z
Ay Bz C y k
Ax Bx C x i
Ay B y C y
Ay B y C y j
（３）
Q
Ax BxC x
Az Bz C z
Az Bz C z k
Ax Bx C x
Ay Bx C y
Az Bx C z
Ax Bx C x
Ay By C x
Az Bz C x
+
Ay By C y
Az By C z
Ax By C x
Ay By C y
Az Bz C y
Ax Bx C y
+
Az Bz C z
Ax Bz C x
Ay Bz C y
Az Bz C z
Ax BxC z
Ay B y C z
i
j
k
（４）
Q
A C Bx i
A B Cx i
( A C ) Bx i + By j + Bz k
A C By j
A B Cy j
( A B) Cx i + C y j + Cz k
( A C ) B ( A B )C
10
A C Bz k
A B Cz k
問 1.27
E+v B
B=0 B
E B+ v B
E B+ v B B
B=0
B B v=0
E B = B2v
E B
v=
B2
11
第２章．ベクトルの微分
２．１
問 2.1
（１）
f (2) f (1)
4 1
8 2
2
3
（２）
s
s (t
t ) s (t )
1
(t
2
1
2
t t
ds
（３）
dt
（４）
ds
dt
t
t t
lim
t
d
1 2
t
2
t )2
0
2
1
t
2
t
1 2
t
2
dt
2
lim t
t
0
1
t
2
t
t
（５）（瞬間の速さ）
t よりそれぞれ、2、4。これらの平均は
2 4
2
3 となる。
問 2.2
（１） t , f t
における微分係数
df t
は、 t , f t
dt
t が十分に小さいとき t , f t
f t
df t
dt
t
f t
t
f t
t
を通る直線の傾き
df t
とほぼ等しいと見ることができる。したがって、
dt
f t
df (t )
f (t
t ) f (t )
t
dt
t
t
d sin
d
t, f t
は、
（２）(2.6)式を用いる。 f
df
d
および t
における接線の傾きを表す。
の微分係数を求め、 t
cos ， sin
f (0
真値との比較は三角比の表を参照のこと。
12
0， t
) sin 0 cos 0
を代入する。
0 1
２．２
問 2.3
（１）
dA
dAx
2t , y a cos t
dt
dt
dA
2ti a cos tj
dt
dB
dBx
1, y
b exp
dt
dt
dB
i b exp t j
dt
dA
dt
dB
dt
2t 1 i
dA
dt
4t 2
dB
dt
1 b 2 exp
（２） C
dC
dt
a2
t2 t i
2
dB
t , z
dt
sin tk
a cos t b exp
t
j
sin tk
cos 2 t ，
2t
2
cos 2 t
a sin t b exp
2t 1 i
sin t
t
j + cos tk
a cos t b exp
t
j
sin tk
dC
dt
dA
dt
1 k
i
（３）
dA
2i + 2 cos
dt
dA
2i 2 j
dt
1 j = 2i 2 j
，
13
dB
i
sin
dt
dB
i
dt
dB
dt
問 2.4
（１）
dr
dt
r
d cos
d sin
j
dr
d
d
=r
sin i r
cos j
dr
dr
=r
sin i + cos j
（２） r t
i r
dr
r2
u t
cos sin
を計算する。
sin cos
0 r
u
（３）
du
dt
r
t
r
2
d
d d sin i cos j
sin i cos j r
dt
dt
d
2
2
cos i sin j
r cos i r sin j
r t
問 2.5
（１）
dr dx
, dt
dt
u vi gtj
u
（２） a
du
dt
（３） u
i
dy
v, dt
a
gj
より
gt
gj
u
9.8 1 j
2
12
9.8
y
1
x
g
2
v
9.9 、
g
（４）
t
x
v
y
1
x
g
2
v
2
14
2
1
gx 2
2
2v
9.8
２．３
２．３．１
問 2.6
df
dt
dA
dt
ae
at
cos ti
d ( fA)
dt
sin tj
df
dA
A f
dt
dt
at
ae sin ti cos tj
at
e
e
at
a sin ti cos tj
cos ti sin tj
cos ti sin tj
問 2.7
（１） r (t )
u
r (t )e r
dr
dt
dr
er
dt
（２）極座標系では
よって
er =
r
r
de r
dt
r r cos i r sin j
r
r cos i r sin j
r
cos i sin j
（３）
de r
dt
d der d d cos i sin j
dt d
dt
d
d
sin i + cos j
sin
dt
d
i cos
dt
d
dt
（４）
der
dt
sin
d
i cos
dt
d
dt
j
d
e
dt
e
er
sin i cos j
cos i sin j より
15
d
dt
sin i cos j
j
e er
sin i cos j
cos i sin j
sin cos
cos sin
de
dr dr
（５）（１）より u
er r r
dt dt
dt
（３）より
der
dt
u
d
i cos
dt
sin
dr
dt
dr
er
dt
dr
er
dt
（６）一定半径であるから
0
r
dr
dt
r
d
dt
0
d
dt
j
よって
d
i cos
dt
sin
sin i cos j
さらに
16
d
dt
d
dt
dr
er
dt
なので
j
r
d
e
dt
u
r e
問 2.8
（１）
du
dt
d dr
er
dt dt
de r
dt
（２）(2.42)式より
d
e
dt
dr der
dt dt
dr d
e
dt dt
d 2r
er
dt 2
d 2r
er
dt 2
dr d
dr d
d2
d de
e
e r 2 e r
dt dt
dt dt
dt
dt dt
2
dr d
d
d de
2
e r 2 e r
dt dt
dt
dt dt
（４）
d 2d
r
dt
dt
d d
dt d
1d 2d
r
r dt
dt
よって
dS
dt
r2
du
dt
d 2d
r
dt
dt
d 2r
dt 2
r
d de
dt dt
r2
d2
dt 2
において
d
dt
r
d
er
dt
cos i sin j
より
F
d de
dt dt
1d 2d
r
r dt
dt
2
のとき、
d 2d
r
dt
dt
0
dr d
dt dt
r
d2
dt 2
0
const
1 2d
r
2
dt
2
dr d
dt dt
F
d
dt
（６）（５）より r
d2
r 2 e
dt
dr d
e
dt dt
sin i cos j
2r
d2
e
dt 2
r
これを（１）の右辺に代入して
dr der
dt dt
de
dt
a
d 2r
er
dt 2
der
dt
d 2r
er
dt 2
（３）
（５） m
r
const
d
dt
d
r
dt
d 2r
0、 2
dt
const. 、一定半径を考慮し、(2.47)式に適用する。
2
er
0
1d 2d
r
e
r dt
dt
なので
a
17
du
dt
において
d
r
dt
2
er
r
2
er
2
r
２．３．２
問 2.9
exp( t )i t 2 j
（１） A(t ) B (t )
（２）
1 3
t j
3
ti
d A(t ) B (t )
dt
d
t exp
dt
t
dA(t )
dt
t i 2tj ，
dB (t )
dt
exp
1 5
t
3
t exp
1 5
t ，
3
t
1 t exp
5 4
t
3
t
i t2 j ，
dA(t )
dB (t )
B (t ) A(t )
dt
dt
exp
t i 2tj
t exp
2 4
t
3
5 4
t
t
3
t
1 t exp
（３）
d ( A B)
dt
dA
B
dt
1 3
t j
3
ti
A
exp
dB
dt
1 t exp
dA(t )
dB ( t )
B (t ) A(t )
dt
dt
（２）より
d ( A B)
dt
i t2 j
t4
t
d A(t ) B (t )
dt
（１）より
exp( t )i t 2 j
t
5 4
t
3
1 t exp
t
5 4
t
3
2u
du
dt
dA
dB
B A
dt
dt
問 2.10
(2.51)式において、 A
d ( u u)
dt
du
u
dt
u
du
dt
よって
u，B
du
du
u u
dt
dt
u ， u2
2
du
dt
const とする。
du
du
u u
dt
dt
0
0
0 の両辺に質量 m をかけて
u
u m
F
18
du
dt
0
u F
0
問 2.11
運動方程式より
F u
(2.51)式
F u
m
du
u
dt
F
m
du
dt
両辺に u を内積して、 F u
1 du
1 du
m
u+ m
u とし、
2 dt
2 dt
d ( A B)
dt
dA
B
dt
1
du
du
m
u+ u
2
dt
dt
A
dB
を適用すると、
dt
1 du 2
m
2 dt
d 1
mu 2
dt 2
19
m
du
u
dt
２．３．３
問 2.12
1 2
t cos t i
2
（１） A(t ) B (t )
（２）
dC (t )
dt
t cos t
dA(t )
dt
i tk ，
1 2
t sin t t exp t
2
1 2
t sin t i
2
dB (t )
dt
t sin t
t cos t i + t sin t exp t
+
t cos t
1 2
t cos t exp t
2
t exp t
j + cos t t sin t k
cos ti sin tj + exp t k ，
dA(t )
dB (t )
B (t ) A(t )
dt
dt
=
j + t cos tk ，
j + cos t k
1 2
1
t sin t i + t 2 cos t t exp t
2
2
1 2
t sin t i + t sin t
2
1 2
t cos t exp t
2
t exp t
j+
t sin t k
j + cos t t sin t k
（３）（１）
（２）より右辺共通なので
dC (t )
dt
d A(t ) B (t )
dt
d ( A B)
dt
dA(t )
dB (t )
B (t ) A(t )
dt
dt
dA
dB
B A
dt
dt
問 2.13
d
A (B C )
dt
dA
(B C )
dt
A
d (B C )
dt
20
dA
(B C ) A
dt
dB
C
dt
B
dC
dt
問 2.14
（１）
dL
dt
（２） F
N
d r p
dt
dr
du
mu r m
dt
dt
sr （ s は定数）とおき、
dL
dt
N
r F = r sr = 0
u mu r m
du
dt
dL
を考えると、
dt
よって L
const
（３）中心力を考えると F の方向は r 方向である。ゆえに（２）と同様に考えること
ができるので L
L r
const
p
= rer mr eu
mr 2
er eu
mr 2 k
21
第３章．場の考え方と流束の概念
３．１
問 3.1
スカラー場の１つとして、温度分布がある。温度は場所によって変化し、空間
分布をもつので「場」を形成している。他にも、圧力、密度なども空間に遍在してい
るのでスカラー場を形成する。
問 3.2
ベクトル場の１つとして、風などの速度分布がある。風は、場所によって大き
さだけでなく、全ての場所で向きも変化する。大きさと向きの空間分布をもつので「場」
を形成している。ベクトル場の例は、他に電場、磁場などが挙げられる。
問 3.3
0 ： x2
y2
16
7 ： x2
y2
22
9
12 ： x 2
y2
4
３．２
３．２．１
問 3.6
（１） W f
hS
（２） h
5 10 50
Wf
S
100
5
20
問 3.7
a2 ，
（１）半径 a の円だから、 S
図より、その円の法線ベクトルは x 軸の正方向であるから、
n
1 i
0 j
0 k
（２） P 1, 0, 0 、 Q 0, 2, 0 、 R 0, 0,1
PQ
A
0, 2, 0
1, 0, 0
1, 2, 0
QR
B
0, 0,1
0, 2, 0
0, 2,1
PR
C
0, 0,1
1, 0, 0
1, 0,1
二つのベクトルについて
i
j k
A C= 1 2 0
1 0 1
2, 1,
2
A C =3
外積の計算によって三角形の面積を求めると
S
1
A C
2
法線ベクトルは、 A C 方向の単位ベクトルであるから
n
A C
A C
n
2
i
3
2, 1,
2
3
1
j
3
2 1 2
, , 3 3 3
2
k
3
23
3
2
問 3.8
（１）
S1
x yk, S2
x yk, S3
S5
y zi, S6
y zi
z xj, S 4
z xj
（２）
h1
S1
W f2
h2
S2
0, 0, 5 0, 0, 1
5, W f3
h3
S3
0, 10, 0 0, 1,
0
10,
4
f
h4
S4
0, 10, 0 0, 1, 0 10, W f5
h5
S5
10, 0, 0 1, 0, 0 10, W f6
h6
S6
20, 0, 0
W
（３)
0, 0, 2 0, 0, 1 2, W f1
Wf
W f1
W f2
W f3
1, 0, 0
W f4
20
W f5 W f6
（４）面積ベクトルのとり方を考えると、 W f
したがって、 W f
13
0 は流出、 W f
0 は流入を表す。
13 0 より、エネルギーは流入しているので増える。
24
問 3.9
（１）
Q
t
消滅項として、
Q
t
を
cell
W f の右辺に加えると
Q
t
（２）
2
上面部への流入は、面積が a1 であるので、
W fTOP
hT
S TOP
10 a12 ，
下面部からの流出は、光吸収セルの面積分を除いた面積を考えて、
W fBOTTOM
S BOTTOM
hT
10
a12 a22
（３）
Wf
W fTOP
Q
t
W
Q
t
W fBOTTOM
Q
t
0
10 a12 10
a12 a22
10 a22
Q
t
cell
10 a22
cell
25
cell
10 a22
W
Q
t
cell
問 3.10
（１）外積を用いて法線ベクトルを表現できるように、ベクトル A と B を定める。 A
を屋根沿い登りのベクトル、 B を屋根の下端沿い左方向へとる。
A=
, B
cos , 0,sin
A B
0, 1, 0
これは屋根表面に垂直なベクトルであるので、その
sin , 0, cos
法線ベクトルは
n
A B
A B
We
Wf
sin , 0, cos
sin 2
sin i 0 j cos k = sin i cos k
cos 2
（２）
h
S
h S
hx , 0, hz
S
n
sin , 0, cos
hx sin
S
hz cos
ただし、前問で法線ベクトルをパネルの外側向きに定義したため、 n ではな
く n を使う必要が生じる。その理由は太陽光線の向きを考慮したからである。
（３） W f
h
S
h nS
電気への変換効率
We
Wf
0.2
0, 0, 5
sin 30 , 0, cos 30
0.2 を考慮すると
25 3
5 3
26
25 3
問 3.11
（１）点光源から発生するエネルギーは、 W f である。そのエネルギーは球の表面積
4 r 2 を通過する。したがって、球面上でのエネルギー流速密度は、 h
（２）球面上での単位面積ベクトルは球面に垂直なので、 n
r
r
Wf
4 r2
とおける。エネル
ギー流速密度の大きさは（１）で求めてあるので、エネルギー流速密度ベクトル
は、
h hn
Wf r
4 r2 r
27
３．２．２
問 3.12
x 軸に垂直な面を横切るということは、x 軸方向のみを考えればよい。その流束は、
f i
fx
fx , f y , fz
1, 0, 0
Mx
t
vx t
fx
y z
vx y z
t
問 3.13
領域中で湧き出し、吸い込みはないとしているから、その領域に対する流出入につ
いて考えればよい。次の図１．１から１．３はその様子を表す。
問 3.12 からわかるように i 番目の壁における時間当たりの質量変化は、
M
t
vi
Si
で表される。しかし、この式は面積ベクトルのとり方によって右辺に正負の符号をつ
かる必要がある。図１．１から１．３を参考にすれば、
28
面積ベクトルが外向きの場合：
面積ベクトルが内向きの場合：
M
t
M
t
6
i 1
6
i 1
vi
Si
vi
Si
問 3.14
水の外部からの流入と、内部の湧き出し、吸い込みは独立におきると考える。した
がって、各々の効果を重ね合わせればよい。
M
t
i
fi
Si
M
t
source
第２項（湧き出し・吸い込み）の符号については、第１項（流れの項）を 0 として考
えればよい。例えば、水の流れがない場合には、内部から湧き出しがあれば質量は増
える。したがって、第２項の符号は正とすればよいことがわかる。
29
問 3.15
（１）速度場は、 z 軸上に一様に分布する湧き出し（線源）から、 ( x, y ) 平面上で放射
状に流れ出る速度場であり、原点から離れるほどベクトルの大きさは小さくなる。
v ( x, y , z ) vx ( x, y, z )i v y ( x, y, z ) j vz ( x, y, z )k = K
（２）
（解１）速度ベクトルを円柱座標で表すと
v
vx i v y j vz k
K
K
xi
yj 0k
r
r
K
= 2 r cos cos er sin e
r
K
K
cos 2
sin 2 er = er
2
r
r
K
v
r
=
r sin
（解２）速度ベクトル自身の内積を取ると
v2 = v v
=
K2
x, y , 0
r4
K
v
r
x, y, 0
K2 2
r
r4
K2
r2
30
sin er
cos e
x
y
, K 2 ,0
2
r
r
（３)（２）より、 v =
K
er
r
また
r
r
er
なので
v ( x, y , z )
K r
r r
（４）
K r
r r
v S
2
KL
K r
r r
S=
r
r
r
r
2
2 rL
r
r
KL
したがって流束は、半径 r に依存しないことが示せた。
（５） z 軸上の長さ L の範囲から湧き出した水 M f が前問で求めた高さ L の円筒形の
側面を通過するので、
Mf
2
KL
L
2
K
31
問 3.16
（１）速度場は、原点にある湧き出し（点源）から、空間に等方的に流れ出る速度場
であり、原点から離れるほどベクトルの大きさは小さくなる。
v ( x, y , z ) vx ( x, y, z )i v y ( x, y, z ) j vz ( x, y, z )k = K
x
y
z
,K 3 ,K 3
3
r
r
r
（２）速度ベクトル自身の内積を取ると
v2
v v=
v
K2 r r
r4 r2
K2
r4
K
r2
（３)
A
f dS =
v dS =
A
K r
r2 r
K r
r2 r
A
r
r
A
dS
dS
r
r
K
4 r2
2
r
4
K
（４）原点から湧き出した水は等方的に流れ出る。更に湧き出し・吸い込みがないこ
とを考慮すると、
（３）で求めたある任意の面を通る流束と同じであるといえる。
Mf
4
K
32
第４章．場の微分
４．１
問 4.1
（１）
f
x
x2
（２） r
f
x
（３)
f
10 xy 3 10 y , y
f
x
15 x 2 y 2 10 x 8 y 3
y 2 とおく
f r
r x
3 x2
y2
1
x
log x
log y
2
6 x x2
2x
log y
2
2
x log x
y2
f
, y
f
x
2sin x cos x cos 2 y
sin 2 x cos 2 y, f
y
sin 2 x
2sin 2 y
2sin 2 x sin 2 y
f
（５）
x
y x2
y2
f
y
x x2
（４）
x2
xy 2 x
y2
y2
x2
2
xy 2 y
y2
2
y3
x2 y
x2
y2
x3
xy 2
x2
y2
33
2
2
2
, f
, y
1
y log x
f r
r y
3 x2
y2
2
2y
問 4.2
1
1 2
x
r y
2
x y 2 2x
, 2
r
y r
r f x1 x
x
f
, 2
2
2
x r rr r
x y
y
r
（１）
x
f
（２）
x
y
x
2
y2
（３)
2
f
x
2
x2
1
y2
x
x2
y2
f
x2
y2
y2
x2
y2
2
（４）
2
f
x2
2
2 x2
1
2
1
x
x
2
y
x2
2 2
2x
2
y2
y 2 2 x2
x
2
y
y2
2 2
x
2
x2
y
2 2
, 2
f
y2
x2
y2
x2
y2
2
x2
y2
x2
y2
0
2
問 4.3
（１）
X
x
X
k , t
（２）
u
x
X u
x X
u
t
X u
t X
2
u
x2
k
u
x
kA sin kx
t
A sin kx
ku,
t
2
u
k 2u, 2
t
u
u
x
2
（３) （２）より V
u
,
k
x2
2
したがって u は、
t
u
2
2
u
2
2
2
k u 、V
2
u
x2
k
2
V2
u
x2
を満たす。
34
2
k 2u
2
u V 2
u
x2
2
u
t2
問 4.4
V
r
r
V
V
V
h,
h
V
r
2 rh,
a, b
b, c
c
a b
b c
c
V
h
r2
r2 h
2 rh r
問 4.5
V a, b, c
abc
（１）
V
V a
a
V a , b, c
abc
abc bc a ca b ab c c a b b a c a b c
bc a ca b ab c
（２）
V
a
V
bc, b
V
ca, c
V
bc a ca b ab c
V
V
V
a
b
c
a
b
c
ab
を（１）に適用する。
35
a b c abc
４．２
問 4.6
（１）
( x, y )
( x, y )
（２）
（３)
y
2 xi
x
i
x
i
j , 2 xi
1
x2
2 4
a
y2
, e
b4
2x
2y
i+ 2 j
2
a
b
2
x
y2
2 4
a
b4
2
2a
i
i
a
a2
=
=i
2
a2
2 4 0
a
a
j = 2 xi 2 yj, (1, 0) において e
j
2
j
2x
2y
j = 2 i + 2 j, y
a
b
y
4 x 2 1, e
4x
(a, 0) において e
( x, y )
( x, y )
x
j
(0, 0) において e
( x, y )
( x, y )
i
2i
=i
4
36
2 x2
y 2 , e
2 xi 2 yj
2 x2
y2
問 4.7
T ( x, y )
T
x
r2
4T0 1 2
a
4T0 1
2x
a2
8T0
T
x，
2
a
y
4T0
a
（１） T
,0
2
T
T
y2
より
a2
2y
a2
4T0
8T0
y
a2
8T0
8T0
8T0
T
j=
xi
yj =
xi + yj
2
2
y
a
a
a2
T
i
x
T
x2
4T0 1
a2
a
8T0 a
i 0
a2 2
2
4T0 1
4T0
i
a
1
4
3T0
i 方向
4T0
a
（２）点 Q に変位したときの温度差
TQ
T a, 0
T
a
,0
2
3T0
点 R に変位したときの温度差
TR
a a
T
,
2 2
a
T
,0
2
トル
2T0
点 Q に変位したときの方が T0 だけ大きい温度差を感じる。
2
（３) R
a a
, において
2 2
T
8T0 a
i
a2 2
T
16T02
a2
a
j
2
16T02
a2
4T0
i
a
j
4 2T0
a
37
4T0
i j
a
4 2T0
a
T
T
eT
1
i
2
j
問 4.8
8T0
xi + yj ， h
a2
T x, y =
T
（１）
8T0 a
a
,0 =
i+0j
2
a2 2
4 25
h
1.6 10 2
i = 1.6i
1
4T0
i
a
T
1.6 ， i 方向
h
（２）
T
h
h
8T0 a
a a
,
=
i
2 2
a2 2
1.6 10
1.6 12
1
4T0
i
a
a
j
2
2
100 = 1.6 i
2
1.6 2 ， i
j
j
j 方向
点光源から離れた点でのエネルギー流束密度は、h =
する。
38
Wf r
100
より h =
として計算
2
4 r r
4
問 4.9
（１）等高線は x
（２）
2
y2
2 の円となる。中心が原点、半径 2 の円。
2 xi 2 yj
（３） x, y
2, 0 では、
x, y
1, 1 では、
x, y
0, 2 では、
x, y
1, 1 では、
2, 0 では、
x, y
x, y
1, 1 では、
2 では、
x, y
0,
x, y
1, 1 では、
i方向、
2 2i
2i 2 j
i
2 2j
2i 2 j
2 2i
2i + 2 j
2 2j
2i + 2 j
39
i
j方向、
2 2
2 2
j方向、
2 2
j方向、
2 2
i方向、
i + j方向、
j方向、
i + j方向、
2 2
2 2
2 2
2 2
（４）各点で勾配ベクトルは原点の方向を向く。
40
問 4.10
( T / x) dx は、 y と z を固定して x を dx だけ変化させたときの T の変化分である。
( T / y )dy は、 x と z を固定して y を dy だけ変化させたときの T の変化分である。
( T / z )dz は、 x と y を固定して z を dz だけ変化させたときの T の変化分である。
dx, dy , dz が十分小さければ、x, y, z を同時に dx, dy , dz だけ変化させたとき T の全体の変
化分は、この３つの項の和で近似できる。
問 4.11
2x 2 y i
x, y,z
2 y 2 x j 2 zk
42
42
y2
z 2 2 x とおく
1,1,1
22
2 x
y i 2 x
y j 2 zk ，
4
問 4.12
x2
x, y, z
1 は曲面の式を与える。
2 xi 2 yj 2 zk 2i
点 ( x, y , z ) (1, 1,
1)
において
22 2 2
2 2
1
e
2i 2 j 2k 2i = 2 j 2k
2 2
1
j k
2
2 j 2k
問 4.13
r
x2
y2
z2
r
x
1 2
x
2
y2
z2
2x
x
r
x
i
r
y
j
r
z
xi
k=
r
yj
r
r
x2
1
2
y2
z2
1
2
同様にして
zk
r
r
41
r
y
y r
, r z
z
r
問 4.14
1
x r
r
x
r
1
x r r
1 r
r2 x
1
x r
x
r
1
r
1
xi
r3
x
r3
同様にして
r
r3
yj zk
1
r2
1
y r
y
1
，
3
r
z r
r
r
問 4.15
F
U F
mgk
問 4.16
K
r
（１）（２） E
よって方向
r
、大きさ E
r
問 4.14 の結果より E
K
r2
42
K r
r2 r
z
r3
４．３
問 4.17
ax x a y y az z
x
y
z
i ay
j az k = ax i a y j az k
x
y
z
ax
を得る。
問 4.18
（１）
a = A1A 2
a
a
0, 0,
d2
d
2
0, 0,
0,0, d
d
d ， k 方向
（２） a r
0, 0, d
a r
（３）
d
2
x, y, z
z
k = dk
z
d
K
K
a r = 3 zd
3
r
r
x
i+
= Kdz
+ Kd
zd
y
j+
3
2
x2
x2
y2
= 3Kdz x 2
y2
z
z
Kd
x2
y2
z2
Kd z x 2
3
2
y2
3
2
z2
k
y2
z2
5
2
3
2
z2
z2
3
2
5
2
xi
3
2
2 x i + Kdz
x2
y2
yj zk
3Kdzr 5 r Kdr 3 k
43
z2
5
2
Kd x 2
x2
y2
2z
k
y2
z2
z2
3
2
5
2
2y j
４．４
問 4.19
（２）
A = 2 x 2 y 2 z ( x, y , z ) (1, 1, 1) において
A = 0 ( x, y , z ) (1, 0, 0) において A = 0
（３）
A=
（１）
az
( x, y , z )
xz
exp
bx
xy
exp
(0, 0, 1) において
A=6
2cz
a
A=
2c
問 4.20
x
i
x
r=
y
j
y
z
k =3
z
問 4.21
（１）例えば電場ベクトル E =
r
r3
（２）
x
x r3
x2
r
x
x r3
K r
など。
r2 r
y
y r3
y2
z2
x2
1
r3
x
3 2
x
2
z
z r3
y2
1
2
z2
y2
z2
より
5
2
2x
1
r3
3x 2
r5
r 2 3x 2
r5
y , z についても同様に考える。
y
y r3
r
r3
r2 3y2
z
，
5
r
z r3
x
x r3
y
y r3
r 2 3z 2
r5
z
z r3
問 4.22
問 4.21 より
E=K
r
r3
0
44
3r 2 3 x 2
r5
y2
z2
0
問 4.23
（１）面 S3 上で流束密度は一様であるとする。
そこで h3 は面 S3 上の点 x
・ h3
x
,
2
h x
W f3
h3
hx ( x
W f4
h4
hx ( x
・ h5
W f4
h x,
W f5
h5
y, z
y
x
, y , z ) i 0 j 0k
y zi
2
x
, y, z ) y z
2
x
x
hx ( x
, y , z ) hx ( x
, y, z )
2
2
y
, z
2
S5
0i hy ( x, y
hy ( x, y
・ h6
h x,
y zi
S4
hx ( x
W f3
y, z
x
, y , z ) i 0 j 0k
2
x
, y, z ) y z
2
x
,
2
h x
y, z における流束密度の値で評価する。
S3
hx ( x
・ h4
x
,
2
y
y
, z ) j 0k
2
x zj
y
, z) x z
2
y
, z
2
45
y z
W f6
h6
S6
0i hy ( x, y
hy ( x, y
W f5
W f6
y
, z ) j 0k
2
x zj
y
, z) x z
2
y
, z ) hy ( x, y
2
hy ( x, y
（２）
hx ( x
hx ( x
hx ( x
W f3
x
, y , z ) hx ( x, y , z )
2
x
, y, z ) hx ( x, y, z )
2
x
, y , z ) hx ( x
2
W f4
hx
x y z
x
y
, z)
2
hy ( x, y, z )
hy ( x, y
y
, z)
2
hy ( x, y, z )
W f5
hx
x
x
x
, y, z )
2
hy ( x, y
hy ( x, y
hx x
x 2
hx x
x 2
hx
V
x
hy
y
y 2
hy y
y 2
hy
y
y
, z ) hy ( x, y
, z)
y
2
2
y
hy
hy
W f6
x y z
V
y
y
46
y
, z)
2
x z
（３）
W f1
W f2
W f3
W f4
W f5
W f6
hz
V
z
hx
V
x
hy
V
y
6
hj
W f1
Sj
j 1
W f2 l
hx
x
W f6
hy
y
hz
z
V
h
V
6
Wfj
hj
Sj
より
hj
Sj
j 1
問 4.24
この点においてエネルギーの生成・消滅がある。
問 4.25
（１） v
（２）エネルギー流束の場合（式(4.58)の導出）を参照のこと。
（３） (
f ) V は、この微小体積の表面における「質量の単位当りの正味の流出」
を表す。したがって、この微小体積内の質量は単位時間当たりこの分だけ減少
する。
式(4.60)と同様の考え方から
（４） M
M
t
Mf
一方、 M f
V
（５）ヒント：（４）を（３）の式に代入すると
V
f
t
t
（６）
t
f = 0 f
( v)
V t
v
SM
47
f f
V
問 4.26
問 4.25（６）より S M がある場合の密度連続の式は、
この式において、定常
0 でかつ
t
t
0 ならば S M
( v)
体の湧き出しも吸い込みもない。
問 4.27
( v)
vx
x
vy
y
vy
vx
x
vz
z
y
v+
vz
z
x
vx
y
vy
z
v
問 4.28
( v)
x
i
i
y
j
x
y
j
k
2
2
2
x2
y2
z2
z
k
z
x
i
y
j
z
k
問 4.29
2
1
r
1
r
1 r
r2 r
r
r3
問 4.14 および問 4.21 で導いた式を利用する。
48
( v)
0
vz
SM
0 。したがって流
問 4.30
（１）式(4.62)より
q
t
ここで
h
h=
q
t
（２） q
q
t
T
T より
h
2
T
T
2
T
CT
CT
t
T
T t
2
2
T
C
49
問 4.31
（１）微小体積表面に対して外向き法線を面積ベクトルの方向と考える。図４．１１
を参考にして
S1
r
r ez
r
S2
r
r ( ez )
re z
r
re z
（２）
・ h1
h r,
W f1
h1
0er
, z
S1
0e
hz r , , z
・ h2
h r,
W f2
h2
0er
z
2
, z
hz r , , z
z
ez
2
r
re z
z
r r
2
z
2
S2
0e
hz r , , z
hz r , , z
z
ez
2
r
re z
z
r r
2
（３）（２）より
W f1
W f2
hz r , , z
z
2
hz r , , z
50
z
2
r r
（４）
z
) hz (r , , z )
2
z
) hz (r , , z )
2
hz (r , , z
hz (r , , z
z
) hz (r , , z
2
hz (r , , z
hz z
z 2
hz z
z 2
hz
z
z
z
)
2
（３）で得られた式に代入して
W f1
hz
r r
z
W f2
z
（５）微小体積表面に対して外向き法線を面積ベクトルの方向と考える。図４．１１
を参考にして
S3
r
r
2
z
S4
r
r
2
z er
er
r
2
r
z
r
2
r
er
zer
（６）
・ h3
r
,
2
h r
W f3
h3
, z
S3
hr r
r
, , z er
2
hr r
r
, ,z
2
r
0e
0e z
r
2
r
r
2
z
z
ここで
hr r
W f3
r
, ,z
2
hr r , , z
hr r , , z
hr r
と近似できるので
r 2
hr r
r 2
r
51
r
2
z
er
W f4
h4
S4
r
, , z er
2
hr r
r
, ,z
2
hr r
r
0e
0e z
r
2
z
r
2
r
zer
ここで
r
, ,z
2
hr r
W f4
hr r
と近似できるので
r 2
hr r , , z
hr r , , z
hr r
r 2
r
r
2
z
（７）
W f3
W
4
f
hr r , , z r
hr r
r
r hr r , , z
r 2
2
hr r , , z r
hr r
r
r hr r , , z
r 2
2
hr r , , z r
hr r
r
r hr r , , z
r 2
2
hr r , , z r
hr r
r
r hr r , , z
r 2
2
hr
r
2
r
2
z
z
hr
r
r
2
2
z
z
これらから
W f3
W f3
W f4
hr
rr hr r , , z
r
hr r
W f4
r
r
r
z
hr
r hr r , , z
r
r
z
z
（８）
図４．１１を参考にして方向の外向き法線を面積ベクトルの方向と考える。
S5
r ze
S6
r z
e
52
（９）
W f5
h5
S5
0er
h
h
r,
r,
,z
2
h6
r ze
r z
2
S6
0er
h
h
r,
r,
2
,z
2
r
0e z
r ze
r z
r z
2
h
W f6
,z e
h
h r, , z
W f5
0e z
r z
h
h r, , z
W f6
,z e
2
z
（１０）
W f1
Wf
W f2
hz
r r
z
hz
z
（１１） V
r r
Wf
h
1
r
W f3
z
W f4
hr r
W f5
r
z
1 h
r
r r
z
1 h
r
hz
z
V
1 h
r
hz
z
hr r
r
r
W f6
h
r
z より
1
r
hr r
1
r
rhr
r
r
53
h
V
z
４．５
問 4.32
（１）
A= i
j
x
Ay
x
i
k
y
Az
i k
x
j
Ay
Az
y
Ax i
z
i+
z
Ay j
Az k
Ax
j i
y
Ax
z
Az
x
j+
Az
j k
y
Ay
x
Ax
k i
z
Ax
k
y
（２）
i
A=
=
j
x
Ax
k
y
Ay
z
Az
Ay
Az
y
A
Az
A
i+ x j+ y k
y
z
x
z
i+
Ax
z
Az
x
j+
Ay
x
Ax
k
y
Ay
Az
j
x
z
i
Ax
k
y
問 4.33
（１）
A=
i
j
k
x
yz
y
zx
z
xy
( x, y , z ) (1, 1, 1)
（２）
A=
= xi
において
i
j
k
x
ay 2
y
bx 2
z
cz 2
( x, y , z ) (1, 1, 1)
yj
zk
zk
yj xi = 0
A = 0 ，単位ベクトル： 0
= 2bxk 2ayk = 2 bx ay k
において
なので
なので
A = 2 b a ，単位ベクトル： k
54
Ay
z
k
j
問 4.34
i
r=
x
x
j
y
y
k
z
z
=
z
y
y
i+
z
x
z
問 4.35
（１）(a) 左回転の同心円状
(b) 放射状
55
z
j+
x
y
x
x
k=0
y
（２）(a)
v=
i
j
k
x
y
y
z
0
i
(b)
v=
x
j
x
x
r2
k
y
y
r2
y
x r2
y
x
y r2
x
= k+ k =2 k
=
z
y
k
x r2
x
k
y r2
0
2x
x2
y
2 xy
2 2
x2
2 2
2
2y
x
2
y
y2
2
2 xy
x
y2
2
v=0
v
(a)の場は、回転のある場である（
0 ）。
(b)の場合、速度ベクトルは空間の各点で位置ベクトル r の方向を向いている
（（１）の図 b 参）
。この場合発散は０にならない（
ベクトル（
v = 0 ）となる。
56
v
0 ）が回転はゼロ
問 4.36
（１）と r のなす角を
とすると
v
r = r sin
ただし、a
a
a はと垂直な面での回転半径となっている。
i
（２） v =
j
k
x
y
x
y
=
z
y
z
z
y i+
z
x
x
z j+
x
y
y
x k
z
（３）
v=
y
=
（４）
i
j
k
x
y
z
z
y
z
z
y
z
z
x
x
y i+
z
x
z
x
x
y
z j+
y
x
x
y
= 2 xi 2
y
j 2 zk
=2
x
i
y
j
i
y
j
z
k であるから（３）は、
x
z
y
x k
k
57
v=
となっている。
r sin
問 4.37
∼左辺∼
A+ B =
i
j
k
x
y
z
Ax
Bx
Ay
Az
=
By
Az
Ay
Bz
By
y
i
z
Ax
+
Bz
Bx
Az
z
Bz
Ay
j+
x
=
Az
y
Bz
y
Ay
By
z
z
+
Ax
z
Bx
z
Az
x
Bz
j+
x
By
Ax
x
Bx
y
i
Ay
By
x
x
Ax
y
Bx
k
y
∼右辺∼
i
A=
B=
A+
j
k
x
Ax
y
Ay
z
Az
i
j
k
x
Bx
y
By
z
Bz
=
Az
y
Ay
=
Bz
y
By
z
z
i+
Ax
z
Az
x
j+
i+
Bx
z
Bz
x
j+
B=
Az
y
Bz
y
Ay
By
z
z
+
Ax
z
Bx
z
Az
x
Bz
j+
x
58
Ay
x
By
Ax
k
y
x
Bx
k
y
Ax
y
Bx
k
y
i
Ay
By
x
x
k
問 4.38
A
i
j
k
x
Ax
y
Ay
z
Az
i
y
Az
Ax
y
y
Az
j
i+
Az
i + Ax
j+
y
z
k
Ax
k
y
Az
i+
Ax
z
Ay
Az
y
Az
Ax
y
y
z
j k
Ax
j i
Az
A
=
A
A
y
Ax
z
j
A
A
x
x
x
z
x
x
Ay
x
i k
Ay
y
i Az k +
z
z
y
Ax i + Ay j + Az k
z
z
A
59
Ay
x
Ay
i
z
i
z
k
i
i
j
k
j
k Ay j
Ax i + Ay j + Az k
j
z
Az
x
j Ax i
i
y
j
k Ax i
Ay j + Az k
i
Ax
Ax
k
y
x
x
i
x
Ay
Ay
Az
j+
x
z
y
Az
j
x
j
Ay
i Ay j +
k
Ax
j + Ay
k+
z
x
k i
j Az k +
y
x
k
k
k
j
Ax i + Az k
Ax i + Ay j + Az k
Ax i + Ay j + Az k
z
k
Ay i + Ay j
Ay
問 4.39
r
x2
y2
z2
x2
y2
z2
1
2
（１）
i
j
k
x
y
z
rx
ry
rz
( rr )
rz
ry
y
z
x
= z
2
y
i
2
z
x
+ x
y
x
y
y
2
z
2
z
2 x
y
1
2 2
2 x
2
2 x
2
2
2
y
1
2 2
x
x
2
z
2
2 x
2
y
2
y
2
2
y
2
y2
z2
z
z
2
2 x
2
2 x
2
y2
z2
2 xy
y2
60
z2
x
y
z
1
2 2
j
z
1
2 2
k
i
2 zx
2
rx
i
y
2 yz
2
z
ry
1
2 2
x
2 xy
y
x
z
2 zx
+
2
j
z
x
2
x
x
2 yz
=
z
y
z
2
rz
1
2 2
y
2
rx
j
k
0
k
（２）
r
r
xi + yj + zk
r
i
j
x
xr
k
y
1
z
1
yr
x
i
z
2
y
2
z
xr
1
2
2
y
x
2
y
z
x
y
2
z
y
2
x
z
z
x
1
x 2 z x2
2
y2
z2
1
y 2 x x2
2
y2
z2
y
2
2
y
2
x
z
2
1
2
j
z
1
2
2
1
y 2 z x2
2
k
y
2
z
2
3
2
3
2
1
z 2x x2
2
y2
z2
3
2
1
x 2 y x2
2
y2
z2
61
y
i
y
3
2
+
2
xr
1
2
2
x
x
2
2
1
yr
j
z
1
2
x
1
z 2 y x2
2
y
z
2
1
zr
x
2
1
2
2
z
2
x
y
2
1
z
y
+ x
=
1
yr
y
= z
1
zr
1
zr
x
y
z
i+ j+ k
r
r
r
i
3
2
3
2
j
k
0
1
k
（３）
K r
r2 r
Kr
r3
i
j
x
Kxr
y
Kyr
3
Kzr
y
= kz
K
xi + yj + zk
r3
3
Kx
Ky
Kz
i+ 3 j+ 3 k
3
r
r
r
k
3
z
Kzr
Kyr
3
3
i
z
3 r 4 2 y ky
Kxr
z
3 r 4 2z i
+ kx
3 r 4 2 z kz
3 r 4 2x j
ky
3 r 4 2 x kx
3 r 42y k
0
62
3
Kzr
x
3
j
Kyr
x
3
Kxr
y
3
k
問 4.40
（１）
(
A) (
A)
(
A
2
A)
A
（２） x 成分のみに注目して、
(
i
j
k
x
y
z
A)
Ay
Az
y
2
（x成分）
（y成分）
（z成分）
2
Ay
x y
Ax
z2
Ay
x
Ax
x
Ay
y
Ax
x
Ay
z
Ax
x
(
z
2
Ax
y2
y
y
(
2
Ax
y2
2
2
2
2
Ay
2
2
Az
x2
2
Ay
y
2
A)
Ax
x2
Ax
x2
x
Az
z
2
Ax
x2
2
Ax
y
x
2
Az
x z
Az
z
Ay
Az
x
2
Az
z
y
A)
Ax
z
2
Az
y2
A
63
Ax
z2
Ay
z2
(
A)
(
A)
(
A)
2
x
A
2
y
x
A
y
2
Az
z2
2
z
A
z
問 4.41
x 成分の計算を示す。
(B
)A (A
)B
( B
A(
B) B(
A)
) Ax i + Ay j + Az k
+(
(A
B ) Ax i + Ay j + Az k
) Bx i + B y j + Bz k
(
A) Bx i + By j + Bz k
この x 成分は
(B
) Ax ( A
Bx
Ax
x
By
By
Bx
x
Ax
y
) Bx
Ax
y
Bx
y
Bz
(
B ) Ax (
Ax
z
Bz
Az
Bx
y
Ay
Ax
x
Bx
y
Ay
Bx
x
Ax
Bx
Ax
z
Ax
z
A) Bx
Ax
y
Bx
z
Az
Bx
z
Ax
Bx
z
Ax
By
y
Bz
z
Bx
Ay
y
Az
z
一方
( A B)
x
y
By
Ax By
Ax
y
Ay Bx
Ax
By
y
z
Bx
Az Bx
Ay
y
として比較する。
64
Ay
Ax Bz
Bx
y
Bx
Az
z
Az
Bx
z
Bz
Ax
z
Ax
Bz
z
４．６
問 4.42
力の場： F
U
熱エネルギーの流れ場： h
静電場： E
T
など
問 4.43
（１）
x, y
ax 2 by 2
x2
y2
a
i b
j = 2axi 2byj
x
y
i
j
k
x
y
2ax 2by
（２）
x, y
a
a
x2
= ax x 2
a x2
y2
1 2
x
2
y
y2
0
z
0
3
2
2
3
2
1
2
y2
1 2
x
2
2x i a
i ay x 2
y2
i
ay
y2
3
2
x
2
ay x 2
y
2
5
2
65
2x
2y j
k
y
3
2
3
2
j
j
x
ax x 2
3
2
y
2
z
y2
3
2
0
ax
3
2
x
2
y
2
5
2
2y
k
0
（３）
a
x, y, z
x2
ax x 2
y2
z2
z2
3
2
y2
i ay x 2
1
2
z2
y2
z2
3
2
j az x 2
y2
i
j
k
x
y
z
ax x 2
+
y2
a x2
y2
z2
3
2
ay x 2
az
3
2
x2
y2
z2
ax
3
2
x2
y2
z2
ay
3
2
x2
y2
z2
5
2
5
2
5
2
y2
3
2
z2
az x 2
y2
2 y ay
3
2
x2
y2
z2
2 z az
3
2
x2
y2
z2
2 x ax
3
2
x2
y2
z2
0
66
z2
5
2
5
2
5
2
3
2
z2
3
2
2z i
2x j
2y k
k
４．７
問 4.44
（１） A
ayi ayj
i
A
j
x
ay
k
y
ay
ay
y
0
z
0
k = ak
a
=0
z
A
（２）
A
x
ay
y2
2
A
ax
j = ay x 2
2
2
y z
y2
i
j
k
x
y
z
z
2
i+
ay x 2
y2
0 ax
1 x2
+ ay
1 x2
a x2
y2
x
2
1
z2
ax x 2
y2
y2
z2
+
y2
z2
1
= 2axz x 2
y2
z2
2
2ax 2 x 2
y2
z2
1
z2
0
2z i
2z 0 j
ax
a x2
+
2
z2
1
2
z2
y2
1
z2
1 x2
y2
z2 2x
k
ay
1 x2
i 2ayz x 2
2
y2
y2
2ay 2 x 2
67
y2
z2 2 y
z2
z2
2
j
2
k
i + ax x 2
y2
z2
1
j
2az x 2
A
y2
+
2az x 2
+
2ax 2
2
z2
y2
2
z2
2 x2
2 x2
2axz
y2
2ayz
z2
3
y2
2 x2
z2
y2
2 z 2ay 2
2 x2
= 2az x 2
y2
z2
2
8ax 2 z x 2
y2
z2
3
2az x 2
y2
z2
2
8ay 2 z x 2
y2
z2
3
8ax 2 z x 2
y2
z2
3
8ay 2 z x 2
0
68
y2
z2
z2
3
3
2x
3
2y
y2
z2
3
2z
問 4.45
（１）
Bx2
B0
（２） B =
Bz
（３）
Ax
y
A
B0
Ay
Az
y
A=
,
z
By2
Az Ay
,
x
x
Ax
z
Bz2
Bz2
Bz
より Bx , By , Bz =
より
Bz
A
1
B0 , y
2
x
Ay
x
1
B0
2
Ax
y
Ay
Az
y
A
, x
z
z
Ax
, B0
y
Ay
より、
したがって（２）をみたす。
（４）左回転の同心円状となる。
69
x
Ay
Az Ay
, x
x
x
Ax
y
Ax
y
1
B0
2
1
B0
2
Ax
y
B0
第５章. ベクトルの積分
５．１
問 5.1
(1) xdx
0
(2)
(3)
C2
C1
1
1 2
x
2
1
A dr
1
2
0
xi
A dr
C2
2
yj zk dyj
1
2
2
A dr
0
1 2
y
2
ydy
2
2
0
5
2
問 5.2
（１） dr = dxi
A dr
C1
C1 上で y
Ax i
A dr
（２） dr = dyi
C2
A dr
Az k dxi = yi x 2 j xyk dxi = ydx 0
0
C2 上で x 1
yi 12 j
A
Ay j
0
yk
2
0
dy
A dr
y
2
0
yi
2
70
j
yk dyj = dy
問 5.3
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
問題文の＜手順＞より、 dr
（Ａ） A
yi
（Ｂ）
x 2 より A
xj 、 C 上で y
x2i
xj
x 2 dx 2 x 2 dx
A dr
C
dxi 2 xdxj
A dr
1
0
x
2
1
2
2 x dx
0
2
x dx
1 3
x
3
1
0
A = 2 xi 2 yj 、 C 上で y x 2 より
A dr 2 xdx 2 y 2 xdx 2 xdx 4 x 3 dx
C
A dr
また、
C
1
0
A dr
2 x 4 x 3 dx
P
0
x2
1
0
2
71
x4
1
0
1 1 2
1
3
1, 1 12 12
P
ただし
0
2
としてもよい。
0
（Ｃ） B は、 z 方向を向く。したがって、 B dr
C
A dr
0
0
問 5.4
(5.15)式の導出過程を参照して、変位を逆向きにとると
C
A dr
Q
P
A
dxi dyj
Q
P
A dxi + dyj
dr
Q
P
dxi dyj
A dr
積分の上限・下限、 dr の符号の両方を逆にしないように注意する。変位を逆向きにと
るとき、変位ベクトルを逆にとれば積分範囲を変える必要はない。
C
A dr
P
Q
A dr
Q
P
A dr
72
問 5.5
（１） C1 において
A dr
C1 :
dxi 、 A
dr
2 xi 2 yj dxi = 2 xdx
1
0
1
A dr
0
dr
1
1
0
A dr
0
x2
2
2
2 xdx
C2 において
C2 :
2 xi 2 yj
1
0
dyj 、 A dr
y2
2
2
2 ydy
よって、積分路１：
2 xi 2 yj dyj = 2 ydy
1
1
0
A dr
C1
C3 において
1
C2
1
A dr
0
1
2 xdx
0
2 ydy
dxi dyj 、
dr
A dr
2 xi 2 yj
dxi dyj = 2 xdx 2 ydy
2 xdx 4 x 3 dx
C3 :
1,1
0,0
A dr
1
0
2 x 4 x 3 dx
よって、積分路２：
C3
A dr
x2
1
0
2 xdx
（２）（１）で計算した結果を比較する。
（３）
1, 1 12 12
P2
P1
2
2、
2 0
0, 0 0
2
73
x4
1
0
1
0
1 1
4 x 3dy
2
0 2
2 xdx 2 x 2 2 xdx
問 5.6
r
r
（１） er
xi
yj
x
i
r
r
y
j
r
cos i sin j
（２）
方向の単位ベクトルは、 er と e z の両方に垂直でその大きさは１である。した
がって、 er と e z の外積を用いて、 e = e z
（３） er
er
と表現できる。
cos i sin j
e z er
i
j
k
0
0
1
cos
sin
0
0 sin
i
cos
0 j + 0k = sin i cos j
（４）
er er
e e
ez ez
er e
cos i sin j
sin i cos j
ez
sin i cos j
i
j
k
cos
sin
0
sin
cos
0
j
k
cos
0
0
1
sin
0
e z er
cos 2
sin 2
sin
2
cos
1
2
1
k k =1
i
e
cos i sin j
i
j
k
0
0
1
cos
sin
0
0 i
0 j + cos 2
cos
i
0 sin
74
sin
i
cos
sin 2
k=k
ez
j + 0 k = cos i + sin j
er
0 j + 0 k = sin i + cos j
e
（５）円周に沿っての微小変位であるからその方向は円周上の各点で円の接線方向を
向く。すなわち e の方向。また、微小角度 d に対応する円周の長さ、すなわ
ち微小変位の大きさは、dr
ad である。したがって dr
ad e 図も参照のこ
と。
始点：
0 のとき
a cos 0 a, y
x
r
終点：
2 のとき
2
a cos
x
r
2
2
a cos
a, y
a cos 2
a cos
a sin 0 0 より
a
(r , ) (a, 0)
0 より
a sin 2
2
a cos
なので
a
なので
(r , )
（６）
A x, y , z
Ax x, y , z i
=K
4
2
（８）
C
K
Az x, y, z k
y
j
r2
K
xi yj
r2
K
r cos i r sin j
r2
K
K
cos i sin j
er
r
r
=
（７）
x
i
r2
Ay x, y , z j
のとき、 A r
k
er
a
のとき、 A r
k
cos i sin j
a
2
2
A dr
2
0
k
er
a
ad e
k
cos i sin j
a
4
4
2
0
k
j
a
k er e d
75
k
i
2a
j
( a, 2 )
er e
cos i sin j
sin cos
sin i cos j
sin cos
C
0
76
A dr
0
問 5.7
B x, y , z
（１） B
B0
y
x
i B0 2 j
2
r
r
B02 y 2
r4
B
B02 x 2
r4
B02 2
x
r4
y2
B0
r2
よって r にのみ依存する。
（２）
B x, y, z
B0
r2
B
= 0
r
yi
B0
r2
xj
r sin i r cos j
sin i cos j
B0
e
r
（３）
C
B dr
0
B0
（４）
0
B0 d
B0
e
r
2
2
0
d
rd e
B0
2
0
2
0
B0 e e d
2 B0
B0
77
x2
y2
B0
r
r2
B0
r
問 5.8
（１）
B = B0
y
x
i + B0
j=
r
r
= B0 sin i cos j
C
B dr
2
0
aB0
B0 e
2
B0
sin i cos j
ad e
d
0
B0
B
r sin i + 0 r cos j
r
r
aB0
aB0
2
2
B0 e
e e d
0
2 aB0
0
（２）
B = B0
= B0
C
B dr
y
x
B
i B0
j = 0 r sin i
r
r
r
sin i + cos j
2
0
aB0
B0 e
2
0
d
B0
r cos j
r
B0 e
ad e
aB0
aB0
2
0
78
2
0
e e d
2 aB0
問 5.9
r
x2
r
（１）
y2
x, y, z
z2
1
Kr
K x2
K x2
y2
A=
z2
y2
1
2
1
2
z2
K x2
i
y2
x
1
K x2
2
= Kx x 2
y2
y2
= K x2
y2
1
r2
r
r
K
3
2
z2
3
2
z2
z2
3
2
1
2
z2
K x2
j
y
2 xi +
1
K x2
2
i + Ky x 2
xi
y2
y2
3
2
z2
3
2
z2
2 yj +
1
K x2
2
j + Kz x 2
y2
z2
y2
3
2
z2
A dr
K
r1
3
2
dr より、 A dr
3
2
0, z
0 から
xi dxi
= Kx 2 dx
C1
k
2 zk
yj + zk
・ C1 上、径方向では、 y
2 r1
1
2
k
従って、径方向の積分のみを考えればよい。
K x2
z2
z
（２）円周に沿っての積分路については、円周上で A
A dr
y2
2
x dx
・ C2 上、直線 P1P3 は、 y
K
x
x21
2 1
2 r2
1
2r1
K
r1
なので
79
dy
dx
1
r1
K
2r1
0 である。
K x2
A dr
3
2
x2
3
xi
xj
dxi dxj
3
= 2 2 Kx 2 i 2 2 Kx 2 j
3
dxi dxj
3
2 2 Kx 2 dx 2 2 Kx 2 dx
3
2
K 2
x dx
2
2 2 Kx 2 dx
C2
2 r1 2 r1
,
2 2
r1 r1
,
2 2
A dr
2 r1
A dr
2
r1
2
K 2
x dx
2
2 r1
K
1
x
2
K
2
2
r1
21
・ C3 上、直線 P4 P5 は、 x
3
2
K y2
A dr
2
2r1
2
r1
K
2r1
K
1
2r1
0 から
yj dyj
= Ky 2 dy
C3
A dr
K
以上より、
C1
2 r1
r1
2
y dy
A dr
K
C2
y21
2 1
A dr
C3
2 r2
r1
A dr
80
r2
r1
1
r1
K
2r1
dr / r 2 となる）
問 5.10
問 5.9 を参照する。
（１） W
Q
P
F dr
Q
（２） F = qE = q
W
Q
P
F dr
U dr
P
Q
P
q
K
r
q
K
r
U Q
dr
q
81
U P
K
rQ
K
rP
U P
qK
U Q
1
rP
1
rQ
問 5.11
（１）問 5.6（5）と同様。
（２）
A r
xi
yj 0k
xi
yj
= a cos i a sin j = a cos i sin j
（３） dr = ad e 、 A dr = aer
（４）
C
A dr
2
0
a2d
ez
a2d
ad e
2 a2k
82
ae r
er e
a 2 d ez
a2d k
５．２
問 5.12
h h0 1
2
x
a
k
（１）
Wf
S
h dS
a
b
0
0
面 S ：0
S
x
a
h0 1
2
x
a
h0 1
k dxdy
k
S
x
a
h0 1
2
dxdy
2
dxdy
a, 0 y b
x
（２）
Wf
b
a
0
0
x2
h0 1 2 dxdy
a
h0 a
y
3
h0 ay
（３） a
1, b
（４） h
h
Wf
2, h0
b
abh0
0
60 より、
b
0
a
h0 x 3
h0 x
a2 3
abh0
3
Wf
0
b
dy
0
h0 a
0
h0 a
dy
3
2
abh0
3
2
abh0
3
2
1 2 60 80 、よって８０Ｗ
3
k である。
S
h
h ds
a
0
dx
S
b
0
dy
h
k dxdy
k
abh
83
S
h
k
k dxdy
S
hdxdy
問 5.13
（１）
Wf
S
h0
h dS
a
0
hx i hy j hz ( k ) dxdy
y
b
dx exp
ah0 b
（２） h0
S
b
0
b
e
dy
h0 ab 1
100 、 a 1 、 b
h0 a
b exp
k
S
hz
2.7 のとき
84
k dxdy
b
y
b
ah0
0
1
e
2 、e
k
Wf
126 W
be
1
be0
問 5.14
（１）下の図で微小面積を近似的に台形とみなすと
1
rd
2
S
r dr d
dr
rd
> rd dr
drd
（２）z 軸方向になるので k
（３） f
S
v = v z k ， dS
f dS
rdrd k より
vz k rdrd k
S
S
r2
v0 1 2 rdr
0
a
a
2
a 1
2 3
v0 a
2
0
1
3
a
vz k k rdrd
d
v0
r2
2
0
1 r3
a2 3
vz rdr
2
0
d
a
2
0
v0 a 3a 2
（４）
f dS
Mf
a
2
0
0
vz rdrd
a
2
0
0
r2
rdrd
a2
v0 1
S
v0
2
a
0
0
2
a
2
v0
（５）
Mf
a
2
0
0
r
r3
drd
a2
v0
4
0
r2
2
2
1 a
2
a2 4
vz rdrd
2
a
2
4
v0
Mf
2
a
0
0
85
rdrd
1 r4
a2 4
a
2
a
d
0
v0
2
2
0
r2
2
a
d
0
2
a2
2
a2
問 5.15
（１）図５．１５に示した微小面積を考える。この面の法線ベクトルは、 r 方向を向
き、面積は rd dz 。
r
rd dz
r
dS
ndS
（２）
d
f dS
Mf
r
rd dz
r
K 2
r d dz
r2
K
1
r r rd dz
2
r
r
v dS = v
K
r r d dz
r2
f (r )rd dz [ただし、 f (r )
Kd dz
( K / r ) ]、
（３）
（２）を図５．１５の側面全体にわたって積分すると、
Mf
z L
2
z
0
Kd dz
K
z L
2
z
0
d dz
2
K
z L
2 L K。
z
上面、底面は流れに平行であり、面積分には寄与しない。また、定常状態では、
湧き出し量と面を横切る流束とは等しくなっているから、
Mf
Mf
（ M f は単位長さ当りの湧き出し量であることに注意）
。
L
2 L K
L
Mf
Mf
これから、 K
（４） d
となる。
A dS = K
Mf
Mf
2
z L
2
z
0
sin r r
rd dz
r r r
K sin d dz
K
K sin
z L
2
z
0
86
r2
rd dz
r
sin d dz
0
s
Kr sin d dz
2
0
sin d
0
問 5.16
（１）図５．１７を参照して、半径 a の球面上では位置ベクトルの大きさは、 r
r
r
また、
a
a
は径方向の単位ベクトルを表す。
K r
r2 r
E ( x, y, z )
a、
大きさは、 E
より
K
a2
K
r2
E
なので
a のとき、ベクトル E の
r
よって球座標系で、球面上の点 (a, , ) におけるベクト
ルEは
K a
a2 a
E
となる。
（２）図５．１８より dS
a 2 sin d d 。また、微小面積要素の中心の位置ベクトル
は a であるので、微小面積要素の表面に垂直方向の位置ベクトルは
よって、 dS
a
である。
a
a
dS ( )
a
（３）
K 2
a sin d d
a2
2
0
0
K
2
0
2K
sin d d
0
2
0
d
2
K
0
cos
0
d
4 K
（これから、ベクトル場 E がこの問のように与えられるとき、その球面上の面積分は、
2
球面の半径 a に依存しない。これは、 E の大きさが、 r に比例して減少するのに対し
2
て、球の面積は r で増大することによる。重要な結果である。）
（４）
S
A dS =
2
0
0
K cos cos a
a
dS ( )
2
a
a
a
2
0
K
0
2
0
K
2
K cos cos
a2
cos
2
0
K
4
0
0
cos sin d d
sin 2 d d
2 0 0
87
a a 2
a sin d d
a2
K
2
cos 2
2
2
0
0
cos d
５．３
問 5.17
ガウスの定理より
（表面を通過する流体の質量流束）＝（体積中における流体湧き出し量の合計）で
あるので１ｋｇ
問 5.18
（１）問 5.16（３）を参考にする。 E → E
4
K
（２）ガウスの定理より
4
K r
と考えるとよい。
r2 r
v
K
Mf
Mf
Mf
Mf
K
4
考え方は、前節問４（３）と同じ。定常状態では、点源における単位時間当た
りの湧き出し量と球面を横切る流束は釣り合っている。
（３）（２）より v
103 kg/m3
r 2 ) 、水の密度
M f /(4
流速の大きさ
v
v
K r
r2 r
1 Mf
r2 4
K
r2
1
r
1
2
0.1
2
103
（４）問 4.21（２）と同様に考えて
r
r3
3r 2 3 x 2
r5
y2
z2
0
88
を利用する。
0.1 ｍ/s
v
Kr
r3
( v)
K
r
r3
K
x
x r3
K i
j
x
y
y r3
r 2 3x 2
K
r5
k
y
z
xi + yj + zk
r3
z
z r3
r2 3y2
r5
r 2 3z 2
r5
K
3r 2 3 x 2
y2
z2
0
r5
意味：原点以外で湧き出しがない。
（５）原点を含まない任意の閉局面についてガウスの定理を適用し、前問（４）
( v)
0 を用いる。
Mf
v dS
S
( v )dV
V
0
問 5.19
（１）点源など
（２）
KE
r3
E
(E )
K
r
r3
K
x
x r3
K
（３）
S
j
x
y
y r3
3r 2 3 x 2
y2
EdV
S
z2
E dS
S
E dS
S
E dS
2
0
2K
0
2
0
E dS
S
y
xi + yj + zk
r3
z
S
K
r 2 3x 2
r5
r2 3y2
r5
r 2 3z 2
r5
0
E dS
E dS
S
E
n dS
K a 2
a a sin d d
a3 a
d
k
z
z r3
r5
V
0
K i
E ndS
S
K
2
0
4 K
89
0
2
0
sin d d
0
K a 2
a a sin d d
a3 a
K
2
0
cos
0
d
問 5.20
h h ( r )e r
（１） Stotal
V
SW dV
SW
L
0
SW V V
r 2 dL
r 2 L l①
（２）
Wf
Sin
h dS
Sin
L
2 rh(r )
0
dL
L
h(r )er er dS
0
h(r ) er er 2 rdL
2 rLh(r )
（３）ガウスの定理より(5.39)式は、
V
SW dV
Sin
h dS
SW V
2 rLh(r )
h(r )
SW V
2 rL
（４）①式で r
（５） h( r )
h( r )
1
SW r
2
a とする。 Stotal
Wf
2 rLh(r )
SW r 2 L
2 rL
Sin
h dS
SW a 2 L
2 rLh(r )
SW a 2 L h(r )
1
SW r
2
1
1
SW a 2
2
r
1
r
2
1
1
SW a 2
2
r
1
2 1
0.1
2
r
1 1
200 r
90
問 5.21
（１）(4.71)式より
v
A1
A1
u
v
v
u v
v
u
同様に
v
A2
2
u
2
v
v
u
u
v
v
u
（２）
V
V
A1dV
A2 dV
u v dV
V
S
v u dV
V
S
u v dS
v u dS
（３）
V
V
A1 dV
V
A2 dV
V
辺々引き算して
V
u
u
2
v
2
2
v
u
v dV
u
v
u dV
v v
2
u dV
S
91
S
S
u v dS
v u dS
u v v u dS
５．４
問 5.22
（１） C1 : dr
C1
dxi
C 2 : dr
C2
0
1
A dr
Ay j
Az k dxi
Ax i
Ay j
Az k dyj
Ax i
Ay j Az k
dxi
Ax i
Ay j
dyj
1
0
Ax dx
0
1
0
Ay dy
dxi
1
A dr
C 4 : dr
C4
Ax i
dyj
C3 : dr
C3
1
A dr
0
1
0
Ax dx
0
1
Ax dx
dyj
1
A dr
0
Az k
1
0
Ay dy
0
1
Ay dy
注意： C3 、 C4 については、積分の上限、下限に注意する必要がある。上のよう
に変位をベクトルとして扱い、その向き（正、負）まで考えた場合には、
積分の上限、下限は変位が正の向きとした場合のままでよい。
（２）
C
A dr =
C1 : y
C1
A dr
0
Ax
C2 : x 1
Ay
C3 : y 1
Ax
C4 : x 0
Ay
C
A dr = 0
C2
A dr
C3
A dr
C4
A dr
0
0
1
0
dy
0
1
dx 0
92
2
問 5.23
C1 : dr
C1
A dr
dxi
1
0
Ax i
C1 上では、 y
C2 : dr
C2
A dr
C3
A dr
Az k
1
dxi
0 であるから Ax
0
0
C1
1
0
Ax i
Ay j
1
Az k dyj
0 であるから Ay
0
C4
A dr
0
1
Ax dx
A dr
0
A dr
0
Ay dy
0
C2
dxi
1
0
Ax i
Ay j
Az k dxi
1
0
Ax dx
C3 上では、 y 1 であるから Ax
C4 : dr
Ax dx
dyj
C2 上では、 x
C3 : dr
Ay j
C3
1
A dr
0
dx
dyj
1
0
Ax i
Ay j
Az k
dyj
1
0
C4 上では、 x 1 であるから Ay
C
A dr =
Ay dy
C4
2
93
A dr
0
1
Ay dy
0
1
dx
問 5.24
（１） C1 上では、 y
0 より Ax
0
C1
C2 上では、 x 1 より Ay
C
x2
=
2x
0
C4
0
Ax dx 0
1
A dr
A dr
0
0
0
0
Ax dx
1
0
1
1
Ay dy
1
dy
dx
Ay dy 0
2
C1 上では、 y
Ax
0 より Ay
A dr =
（２） A =
C3
1
A dr
C2
C3 上では、 y 1 より Ax
C4 上では、 x
A dr
y2
したがって
2 xi + 2 yj
Ax
2 x, Ay
2y
0 より
C1
1
A dr
0
1
Ax dx
2 xdy 1
0
C2 上では、 x 1 より
Ax
2, Ay
2y
C2
1
A dr
0
2i 2 yj dyj
1
0
1
Ay dy 2 ydy 1
0
C3 上では、 y 1 より
Ax
2 x, Ay
2
C4 上では、 x
Ay
2y
C
（３） Ax
C3
1
A dr
0
2 xi 2 j
dxi
0 より
C4
1
A dr
0
A dr =1 1
1
1
B0 y , Ay
2
1
B0 x
2
1
Ay dy
1
2 ydy
0
0
94
1
1
0
Ax dx
1
2 xdx
0
1
B
A
=
Az
y
=
1
B0
2
Ay
z
i
Ax
z
1
B0
2
k
Az
x
j
= B0 k
B は常に積分路に垂直
C
A dr = 0
95
Ay
x
Ax
k
y
問 5.25
（１）速度場１： v x, y = vx i
vy j
速度場２： v x, y = vx i
vy j
x, y
1, 1 のとき、 v =
yi
xi
xj =
yj =
y, x
x, y
,
他いくつかの座標を代入し、位置ベクトルを図示する。
96
（２）速度場１：
C1
v dr
1
v dx
1 x
C1 上では、 y
C2
1 より、 vx
1
v dr
C
C3
C4
1
1
1
1
C4 上では、 x
以上より
C2
C3
v dr =
C1
C2
C3
C4
v dr
v dr
v dr
1
1
1
vx dx
v y dy
1
1
1
1
dx
1
2
1
dx
1
1
dx
1
2
v y dy
C4
v dr =
4 8
1
1
vx dx
1 より、 v y
2
v dr =
速度場２：
v dr
2
v dy
C3 上では、 y 1 より、 vx
v dr
dx
1
1 y
C2 上では、 x 1 より、 v y
v dr
1
v dr =
vx dx
v y dy
1
xdx
1
1
ydy
1
1
1
1
1
xdx
ydy
1
1
xdx 0
1
1
ydy
1
1
1
1
以上より 0
97
0
xdx 0
ydy
0
1
1
dy
1
1
dy
2
問 5.26
E
x
dr
i
y
j
z
k
dxi dyj dzk
E dr =
i
x
y
dx
x
j
y
z
dy
k
dxi dyj dzk
←(4.3)式より
dz
z
d
C を２点 P、Q を結ぶ任意の曲線と考えたとき
C
E dr
Q
P
d
Q
P
P
Q
C が閉曲線であるとき２点 P、Q は一致するので、
C
E dr
P
Q
0
0
問 5.27
図５．３１参照する。 C1 、 C2 に共通な積分路は、始点と終点が同じで、向きが逆
のため、互いに打ち消す。
C0 、 C0 に沿った線積分は
C0
v dr
C
v dr
C0
v dr
C0
v dr
C0
0
98
v dr
0 より打ち消すことが確認できる。
問 5.28
（１）図を参考にすると
C1
A dr
A
r1
x1
x
y1
y
A
r1
Ax x, y i
Ay x, y j
Ax x1 , y1
x
y
2
A dr Ax x1 , y1
C1
xi
y
2
Ax x, y
x
y
2
Ax x, y
Ax
y
Ax x, y
y
2
x
Ax y
y 2
Ax x, y
以上より
C1
A dr Ax x, y
y
2
x
Ax y
y 2
Ax x, y
（２）
C2 について、 r2
C2
yj
A dr A
x1
x
y1
y
C2
r2
Ay x2 , y2
x
2
A dr Ay x2 , y2
Ay x
y
x
,y
2
y
x
,y
2
Ay x
Ay x, y
Ay
x
x 2
99
y
x
C2
A dr
C3 について、 r3
x3
x
y3
y
Ay
x
x 2
Ay x, y
xi
y
2
A dr
Ax x3 , y3
Ax x, y
y
2
C3
C3
A dr
x
y4
y
y
2
x
x
,y
2
y
Ax y
y 2
Ax x, y
Ax y
y 2
x
x
2
Ay x
C4
Ax x, y
yj
A dr
C4
x
Ax x, y
C4 について、 r4
x4
y
Ay x4 , y4
x
,y
2
A dr
y
Ay x
Ay
x
x 2
Ay x, y
Ay x, y
Ay
x
x 2
y
（３）（２）の和をとる
C1
A dr
C2
A dr
Ax x, y
Ax y
x Ay x, y
y 2
x
Ax x, y
Ay
x
x y
x
Ax
y x
y
100
Ay
x
y
x 2
Ay x
Ax y
x Ay x, y y
y
y 2
x 2
Ay
x
Ax
y
y
x y
Az
y
（４）
A=
（５）
A = 0i 0 j
A
Ay
z
Ay
x
Ay
x yk
A
S=
i
x
C
Ax
z
Ay
Az
j
x
x
Ax
k=
y
Ay
x
Ax
k
y
Ax
k
y
Ax
y
x y
A dr
101
C
A dr / x yk = Sk = S
５．５
問 5.29
【１】
（１）
v=
r= k
xi
x k i
yj zk
y k
j
z k k
xj
yi
= y i+x j
よって z 成分はない。
あるいは、“剛体かつ z 軸回りの回転であるから、剛体の各点の運動は ( x, y ) 平
面内になる”などの直感的な説明でもよい。
（２） v
（３）
v
v
2
y
x
i
j
k
x
y
y
z
0
x
2
x2
x
y2
x
y
y
k=
k=2 k
z 方向を向く。
（４）（２）より v
（５）（３）より
x2
v
v
y2 ，
x2
2 k
102
y2
r より v
r
【２】
（１） je
I
a2
（２） B は、 I を取り巻く同心円の接線方向を向く
B = Kje
Kje k ，
B は【１】の v に相当する。
103
問 5.30
（１）
B dS =
S
C
B dS =
S
I
a2
KI 2
r
a2
2 B r r
（２）
0
d
Kje dS =
K
B r er er rd
0
2
B r r
S
2
B dr
r
0
2 B r r
2
r
0
0
K
2
k k r
0
I
k krd dr
a2
KI r 2
d dr
2
a2 2
以上より B r
KI
r
2 a2
K
KI 2
r
a2
I
2 a
r
a
B dS = 2 B r r
S
B dS =
S
S
Kje dS =
KI
a2
2 B r r
a
0
2
r
0
0
k k r
2
0
KI
k krd dr
a2
KI
a2
d dr
2
a2
2
KI
KI
2 r
B r
（３） 0
r
a
において
r
a
において
B r
B r
KI
r
2 a2
KI 1
2 r
104
KI 2
a
a2
KI
問 5.31
ストークスの定理より
C
E dr
E dS =
S
t
S
B dS
B
dS
S
t
t
B
E dS =
dS
S
t
B
E=
t
S
B
B
t
105
S
B
t
dS
問 5.32
i
（１） v
r
k
xi
yj
j
k
x
y
y
x
z
0
v=
（２）
x
0
（３）
z
v dS =
S
y
i
S
z
2 k dS =
S
yi
y
y
x
y
2 k kdxdy
dxdyk
2 A
v dS =
S
C
v dr
（５）
C
v dr
yi
C
C
A
1
2
C
xj
ydx
C
xdy
xdy
k=
2 k dS
（４）ストークスの定理より
2 A
xj
z
x
0 j
面積ベクトルの定義を考えると dS
S
k
zk = 0 0
x
i
j
dxi + dyj + dzk
xdy
ydx
ydx
106
2 A
+
k=2 k
問 5.33
dr の場合を考えると A dr 0
ベクトル A にストークスの定理を適用し、
A
C
よって
A
A dr
A dS = 0
S
dr または
A = 0 なので
A は面に平行なベクトル、またはゼロベ
クトルである
問 5.34
ストークスの定理から
dS =
S
dr
C
問 5.26 と同様に
E と考えると
C
E dr
0
問 5.35
（１）下図のように、まず、閉曲線 C で囲まれる開曲面を考える。
問 5.33 と同様にこの閉曲面に常に垂直であるベクトル A を考えると、
S
A dS = 0
次に、この閉曲線を C 、さらには、 C のように絞っていくことを考える。最
後には、閉曲線の開口部はゼロとなり、曲面は閉じた曲面にすることができる。
（２）ガウスの定理より
S
B dS =
V
ゆえに
V
これに B =
BdV
A dV
A dS = 0
S
A
0
107
A を代入して
←（１）を利用した。
問 5.36
（１）問 5.25 とは逆の回りになる。
（２）問 5.22 と同様に考えていく。
1, vx
C1 上では、 y
C1
v dr =
1
dx
1
2
C2 上では、 x 1, v y
C2
v dr =
1
dy
1
2
C3 上では、 y 1, vx
C3
v dr =
1
1
C4 上では、 x
C4
v dr =
v dr
dx
1
1
dx
2
dy
2
1, v y
1
dy
1
C1
v dr
1
1
C2
v dr
C3
v dr
108
C4
v dr =
2
4
8
（３）
v= i
x
i
j
j
x
v dr
z
x
v dS =
S
yi
z
xj
k
y
y
（４）
k
y
x
0 0
y
x
y
k= 2 k
0
1
1
1
1
2 k kdxdy
2
1
1
1
1
dxdy
2
2 2
8
（５）
8 を消去して
S
k=
v dS = 8
109
S
v dS =
v dr
8
問 5.37
（１）ベクトルの和を考える。
C1 :
r1
xi ， C2 :
C3 :
r3
x( i ) ， C4 :
r2
zk ，
yj
r4
y ( j)
z( k )
（２）
C1 上では、 v
r1
vx i v y j vz k
r )1
y
,z
2
vx ( x, y
C2 上では、 v
r2
vx x
y
, z
2
vx x, y
vx を C1 の中心で代表させると
(v
xi
vx y
y 2
z
) x > vx ( x, y, z )
2
vx i v y j vz k
v y , v z を C2 の中心で代表させると
yj
zk
z
2
vx z
z 2
v y y vz z
x
, y , z , vz x
2
vy x
x
x
, y , z
2
よって
(v
r )2
vy x
x
, y, z
2
> v y ( x, y , z )
C3 上では、 v
r3
vx i v y j vz k
vx を C3 の中心で代表させると
(v
r )3
vx ( x, y
y
,z
2
y vz x
vy
x
x 2
x
vx x, y
z
) x>
2
110
y
i
x
, y, z
2
z
v z ( x, y , z )
vz x
x 2
z
vx x
y
, z
2
vx ( x, y , z )
z
2
vx y
y 2
vx z
z 2
x
C4 上では、 v
r4
vx i v y j vz k
vx , vz を C2 の中心で代表させると
y
j
y
k
v y y vz z
x
, y, z , vz x
2
vx x
x
, y, z
2
よって
(v
r )4
x
, y, z
2
vy x
>
vy
x
x 2
v y ( x, y , z )
x
, y, z
2
y vz x
y
vz ( x, y, z )
z
vz x
x 2
z
（３）（２）式を展開し、同類項をまとめる。
4
(v
r )k
(v
r )1 (v
r ) 2 (v
r ) 3 (v
r )4
k 1
vy
x
vx
y
vx
z
x y
（４）微小面積の二つ辺を表すベクトル r1 と
r1 (
を考える。外積の大きさ
vz
x
x z
r4 との外積
r4 )
r4 ) は、第１章外積の項で述べたように、
r1 (
これら二つ辺がつくる平行四辺形（この場合には長方形）の面積 S に等しい。
また、その方向は、 r1 と
r4 の両方に垂直な方向、すなわち、面の法線方向
を向く。したがって、
S
r1 (
r4 ) ( xi ) ( yj
x y (i
j)
x z(i k )
zk )
x yk
x zj
（５）
i
v=
x
vx
j
y
vy
k
z
vz
vz
y
vy
z
i
vx
z
111
vz
x
j
vy
x
vx
k
y
（６）
v
S=
vz
y
vy
vx
z
vz
x
vy
x
z
vx
y
vx
z
i
vy
x z
x
vx
y
x
vx
z
x y
vy
vz
j
x
vz
x
vx
k
y
x y
x z
4
（７）（３）と（６）を比較して
(v
r )k
k 1
112
(
v)
S
0i
x zj + x yk
６．２
６．２．１
問１
ヒント：直角座標系と円柱座標系との関係
問２
式（６．１１）から式（６．１５）までの部分を熟読のこと。
問３
Ar
A er , A
A e , Az
x
r cos , y
r sin , z
z
A ez
問４
（１） dsr
hr drer , ds h d e , ds z hz dze z
（２） dsr (ds ds z ) hr h hz drd dzer ( e e z )
hr h hz drd dz 、式(6.10)より、結
局
dsr (ds
ds z )
rdrd dz
（３）略
６．２．２
問１
ヒント：直角座標系と球座標系との関係
x
r sin cos , y
r sin sin , z
問２
式(6.11)から式(6.15)までの部分を熟読のこと。
問３
Ar
A er , A
A e ,A
r cos
A e
問４
（１） dsr
hr drer , ds
（２） dsr (ds
h d e , ds
hd e
ds )
hr h h drd d er (e
ds z )
r 2 sin drd d
局
dsr (ds
（３）略
６．３
６．３．１
問１
式(6.41)参照
６．３．２
問１
式(6.52)参照
113
e )
hr h h drd d 、式(6.21)より、結
t
1
1
(r vr )
r r
r
問２
( v )
z
( vz ) 0
式(6.53)または(6.54)参照
1
1
( r 2 Er )
2
r r
r sin
問３
(sin E )
E
1
r sin
0
ヒント：式(6.57) から式(6.59)の導出過程を参考にすると良い。
６．４
問１
円柱座標系：式(6.72)、球座標系：式(6.73)あるいは(6.74)を、各々、参照のこと。
問２
式(6.72)から
c
問３
T
t
1
T
r
r r
r
1
r2
2
T
2
2
T
z2
式(6.73)から
1
r2
2
r r
r
1
2
r sin
sin
1
2
r sin 2
114
2
2
1 2
c2 t 2

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