DL5 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – DL5
Sciences Physiques MP 2014-2015
Devoir libre de Sciences Physiques n˚5 du 05-01-2015
Probl`
eme no 1 – Oscillateur unidimensionnel
Mines MP 1998
A. Pendule non lin´
eaire sans frottement
On consid`ere le dispositif m´ecanique repr´esent´e `a la figure 1, constitu´e d’une barre mobile (B) de masse m et
de longueurrℓ, tournant sans frottement autour de l’axe (Oy), fixe dans le r´ef´erentiel galil´een R = (Oxyz). On
3g
1
et l’on donne le moment d’inertie JOy de la barre par rapport `a (Oy) : JOy = mℓ2 .
pose ω0 =
2ℓ
3
x
Oy
b
θ
b
G
g
m, ℓ
z
Figure 1 – Pendule pesant
´
1. Etablir
l’´equation diff´erentielle (E1 ) du deuxi`eme ordre v´erifi´ee par θ(t).
2. On note E l’´energie m´ecanique du syst`eme, prise nulle `a l’´equilibre lorsque θ = 0. Montrer que ce syst`eme
est conservatif c’est-`a-dire que l’´energie m´ecanique E se conserve.
3. On suppose que E < Ecritique = mgℓ. Repr´
esenter, pour diverses valeurs de E < Ecritique , l’allure des
dθ
trajectoires possibles dans l’espace des phases θ , θ˙ =
. Montrer que l’on obtient des orbites ferm´ees dont
dt
on pr´ecisera le sens de parcours.
4. D´eduire de ces r´esultats que le point M0 de coordonn´ees (0, 0) dans l’espace des phases d´efinit une position
d’´equilibre stable et montrer que, pour 0 < E < Ecritique , le mouvement est p´eriodique de p´eriode T (E) =
Z
2π
T0 θ0 (E)
dθ
s
, o`
u E = Ecritique sin2 θ0 et T0 =
. Montrer que l’on obtient un oscillateur
π 0
ω0
E
2 θ
− sin
Ecritique
2
harmonique si E ≪ Ecritique .
˙
5. On suppose dans cette question que E > Ecritique = mgℓ. Repr´esenter dans l’espace des phases (θ, θ)
les trajectoires possibles pour diverses valeurs de E > Ecritique . Donner un exemple de conditions initiales
conduisant `a cette situation et pr´eciser alors le sens de parcours de l’orbite obtenue dans l’espace des phases.
6. Comment reconnaˆıt-on, dans l’espace des phases, les positions d’´equilibre, stable ou instable ?
B. Pendule lin´
eaire avec frottement fluide
On reprend le dispositif ´etudi´e dans la partie , mais en tenant compte d´esormais d’un frottement fluide, caracdθ
(f > 0). Dans toute la partie 6, on suppose que
t´eris´e par son moment par rapport `a (Oy), Γfuide,Oy = −f
dt
l’angle θ reste petit devant π.
7. Expliquer en quoi le terme Γfuide,Oy caract´erise effectivement un frottement. Citer d’autres situations
physiques o`
u l’on rencontre un frottement analogue.
´
8. Etablir et commenter la nouvelle ´equation diff´erentielle (E2 ) du deuxi`eme ordre v´erifi´ee par θ(t).
9. Montrer que l’´energie E(t) d´ecroˆıt `a partir de l’´energie initiale E(0) et repr´esenter, sans calcul, l’allure
du portrait de phase en r´egimes amorti, critique et pseudo-p´eriodique. Le portrait de phase est l’ensemble des
trajectoires de phase. Ce diagramme est caract´eristique de l’´evolution du syst`eme repr´esent´e dans l’espace de
phase.
mℓ2
2π
10. On suppose dans la suite de cette partie 6 que τ =
≫ T0 =
. Quelle est la signification physique
3f
ω0
de cette condition ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2014-2015
DL5 – 2
Z t+T0
1
´
¯
E(t′ )dt′ diminue exponentiellement avec le temps, sous la
11. Etablir que l’´energie moyenne E(t) =
T0 t
¯ = E0 exp − t .
forme E(t)
τ
12. Montrer que l’´energie perdue durant une pseudo-p´eriode T ≃ T0 a une interpr´etation g´eom´etrique simple
´
Energie
moyenne
dans le portrait de phase. En d´eduire l’expression du facteur de qualit´e Q = 2π
ou
´
Energie perdue par cycle
E(t)
Q = 2π
= ω0 τ . Quelle signification physique donnez-vous au facteur de qualit´e en r´egime libre
E(t) − E(t + T0 )
pseudo-p´eriodique ? Dans quel autre contexte rencontre-t-on Q et quelle en est alors la signification ?
Probl`
eme no 2 – Le dichlore en phase aqueuse
Banque PT 2000
◦
Toutes les exp´eriences cit´ees sont r´ealis´ees `a la temp´erature de 25 C.
Donn´ees :
Constante des gaz parfaits
Couple acide-base HClO/ClO−
Produit ionique de l’eau
R = 8, 31 J · K−1 · mol−1
pKa = 7, 5
Ke = 10−14
Potentiels chimiques standard `
a 25 ◦ C :
Cl2(aq) Cl2(g) HClO(aq) H2 O(l) H3 O+ (aq) Ag+ (aq) AgCl(s)
µ , kJ · mol
+5,7
0
-80,9
-237,2
-237,2
+77,1
-109,8
P
Enfin, on rappelle que ∆r G◦ = i νi µ◦i o`
u νi est le coefficient stœchiom´etrique alg´ebrique et µ◦i le potentiel
chimique standard.
◦
−1
Cl− (aq)
-131,3
A. Dissolution du dichlore dans l’eau.
Le dichlore Cl2 est un gaz relativement peu soluble dans l’eau. Pour ´evaluer sa solubilit´e, on fait barboter du
dichlore gazeux sous la pression pCl2 = 1 bar dans un volume V1 = 100 mL d’eau pure, suffisamment longtemps
pour que l’´equilibre entre les phases aqueuse et gazeuse soit consid´er´e comme atteint. L’´equation chimique (1)
de la r´eaction de dissolution du dichlore gazeux dans l’eau est Cl2 (g) ⇋ Cl2 (aq) .
1. Exprimer l’enthalpie libre standard de la r´eaction (1) en fonction des potentiels chimiques µ◦ des deux
constituants Cl2 (g) et Cl2 (aq) . Faire l’application num´erique.
En d´eduire la constante thermodynamique d’´equilibre K1 de cette r´eaction `a 25 ◦ C. Dans la suite du probl`eme,
on prendra K1 = 0, 1.
2. Calculer la concentration s1 = Cl2 (aq) du dichlore dissous en ´equilibre avec la phase gazeuse.
Quelle quantit´e de mati`ere n1 de dichlore gazeux a-t-on dissous dans le volume V1 d’eau pure du fait du bilan
(1) ?
B. Acidit´
e de la solution d’eau de chlore.
On observe que la solution d’eau de chlore obtenue ci-dessus est tr`es acide. Cette acidit´e est due `a la r´eaction
de dismutation du dichlore dans l’eau Cl2 (g) + 2H2 O ⇋ HClO + H3 O+ + Cl− , (2).
3. Calculer la constante d’´equilibre K2 de cette r´eaction.
4. Calculer les concentrations des esp`eces chimiques form´ees par cette dismutation, en supposant toujours que
l’´equilibre de dissolution du dichlore est install´e.
5. En d´eduire le pH de l’eau de chlore.
6. Quelle quantit´e de mati`ere n2 de dichlore gazeux a-t-on dissous dans le volume V1 d’eau pure du fait du
bilan (2) ? Quelle est la quantit´e de mati`ere totale nt de dichlore gazeux que l’on peut dissoudre dans le volume
V1 d’eau pure ?
C. Pr´
ecipitation du chlorure d’argent.
On dispose maintenant d’un volume V3 = 1, 0 L d’une solution aqueuse S3 de nitrate d’argent Ag+ , NO−
`
3 a
0, 1 mol · L−1 dans laquelle on fait barboter le dichlore gazeux sous la pression pCl2 = 1 bar. On observe la
formation d’un pr´ecipit´e blanc.
7. Calculer le produit de solubilit´e Ks du chlorure d’argent.
´
8. Ecrire
le bilan de la r´eaction (3) observ´ee et calculer sa constante d’´equilibre K3 .
9. Calculer la concentration `a l’´equilibre des esp`eces chimiques en solution. En d´eduire la solubilit´e totale s3
du dichlore gazeux dans la solution S3 .
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
3 – DL5
Sciences Physiques MP 2014-2015
D. Destruction du dichlore.
On dispose enfin d’une solution d’hydroxyde de sodium dans laquelle le dichlore gazeux se dismute en formant
de l’eau de Javel dont l’esp`ece r´eactive est l’ion hypochlorite ClO− .
´
10. Ecrire
le bilan de la r´eaction (4) de cette dismutation en milieu basique.
11. Calculer sa constante d’´equilibre K4 . En d´eduire un proc´ed´e simple de destruction du dichlore.
E. Cin´
etique de dismutation de l’hypochlorite.
En milieu basique et `a temp´erature suffisante, on observe la dismutation non inversable de l’ion hypochlorite
−
suivant le bilan 3ClO− → ClO−
3 + 2Cl .
12. Donner les structures de Lewis et les g´eom´etries des ions hypochlorite ClO− et chlorate ClO−
eros
3 . Les num´
atomiques sont : ZO = 8 et ZCl = 17. L’atome centrale est le chlore.
◦
13. On r´ealise deux exp´
a des pH diff´erents et pour des concentrations initiales diff´erentes
eriences
`a ϑ= 60− C `
−
en hypochlorite not´ees ClO 0,1 et ClO 0,2 . Pour chacune d’elles, on suit l’´evolution de la concentration en
ions hypochlorite en fonction
du temps t.
Premi`ere exp´erience, ClO− 0,1 = 1, 27 × 10−2 mol · L−1 et [OH− ]0,1 = 0, 260 mol · L−1 :
10−3 × t en s
1
3
10
20
40 100
103 × [ClO− ] en mol · L−1 12, 2 11, 3 8, 9 6, 9 4, 7 2, 4
Deuxi`eme exp´erience, ClO− 0,2 = 2, 71 × 10−2 mol · L−1 et [OH− ]0,2 = 0, 495 mol · L−1 :
10−3 × t en s
103 × [ClO− ] en mol · L−1
1
23
10
14, 3
p
20
9, 7
30
7, 4
50
5, 0
100
2, 7
q
En supposant une loi de vitesse de la forme v = k × [OH− ] [ClO− ] , montrer que les deux s´eries de mesure sont
compatibles avec un ordre partiel q = 2.
D´eterminer l’ordre partiel p. En d´eduire la valeur de la constante de vitesse k `a la temp´erature de l’exp´erience.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes

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