Probabilités sur un univers dénombrable

Probabilités sur un univers dénombrable
1. Espaces probabilisés dénombrables................................................................................................p.1
Définition de la dénombrabilité. Expérience aléatoire sur un univers dénombrable.
Événements, union et intersection d'une infinité d'événements. Système complet d'événements.
Définition d'une probabilité sur un univers dénombrable.
2. Indépendance et conditionnement...................................................................................................p.3
Probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées.
Formule des probabilités totales.
Formule de Bayes.
Indépendance de deux événements. Indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements.
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1. Espaces probabilisés dénombrables
Définition de la dénombrabilité : un ensemble est dit dénombrable s'il peut s'écrire en extension sous la forme
{ x n∣n∈ℕ} .
Exemples :
ℕ est dénombrable car ℕ= {n∣n∈ℕ }
{ ⌊ n2 ⌋∣n∈ℕ}
ℤ est dénombrable car ℤ= (−1 )
n
l'intervalle [0;1] n'est pas dénombrable
Expérience aléatoire sur un univers dénombrable : une expérience aléatoire sur un univers dénombrable est une
expérience dont : on connaît les issues possibles : l'ensemble des issues, appelé univers et noté Ω est dénombrable.
on ne sait pas, avant la réalisation de l'expérience, laquelle des issues sera obtenue.
Exemple : l'expérience consistant à choisir au hasard un nombre entier naturel est une expérience aléatoire sur un univers
infini dénombrable. En notant ωn l'issue « le nombre obtenu est n », l'univers est Ω={ ωn∣n∈ℕ } .
Définition d'un événement : Soit Ω un univers dénombrable. Toute partie de Ω est un événement.
Ainsi tout événement est dénombrable mais peut être de cardinal fini ou non.
On note P ( Ω ) l'ensemble des événements de Ω .
Exemple : Pour l'expérience précédente, « choisir un nombre pair » est un événement de cardinal infini.
« Choisir un nombre inférieur ou égal à 10 » est un événement de cardinal fini.
Si Ω est infini et dénombrable, alors P ( Ω ) est infini et dénombrable.
Dans la suite de ce cours, l'univers Ω est considéré fini ou, infini et dénombrable.
Union et intersection d'une infinité d'événements : soit Ω un univers dénombrable et ( Ai )i∈ℕ une suite de P ( Ω ) .
La réunion des événements ( Ai )i∈ℕ est constituée des issues appartenant au moins à l'un des événements A i :
∪ Ai ≝{ω∈Ω∣∃ i ∈ℕ ,ω∈A i }
i∈ℕ
La réunion des événements ( Ai )i∈ℕ est constituée des issues appartenant à tous les événements A i :
∩ A i ≝{ω∈Ω∣∀ i∈ℕ ,ω∈Ai }
i∈ℕ
Exemples : Soit, pour i∈ℕ *, l'événement A i consistant à choisir un diviseur de i .
A 1= …
A 2=…
A 3=…
A 4 =…
∪ Ai ...
Alors
{
}
i∈ℕ *
∩ A i =...
i∈ℕ *
Soit, pour i∈ℕ , l'événement Bi consistant à choisir un multiple de i+ 2 .
B0 =…
B1 = …
B2 =…
B3 =…
∪ Bi ...
Alors
{
}
B4 =…
i∈ℕ
∩ Bi =...
i∈ℕ
Compléments sur les variables aléatoires réelles finies
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Définition d'un système complet d'événements : soit Ω un univers dénombrable, I un ensemble fini ou I=ℕ et
( Ai )i∈I une suite (finie ou dénombrable) de P ( Ω ) .
( Ai )i∈I est un système complet d'événements si et seulement si
il est constitué d'événements deux à deux incompatibles dont et la réunion est Ω .
2
i.e. ∀ ( i ; j )∈I , i≠ j ⇒ A i ∩A j =∅
∪ A i =Ω
{
i∈I
Remarques : il est évident que ∪ A i ⊂Ω . Ainsi Ω⊂ ∪ Ai suffit à prouver que ∪ Ai =Ω .
i∈ℕ
i∈ℕ
i∈ℕ
Si Ω est fini alors tout système complet d'événements est fini.
Si Ω est infini et dénombrable alors un système complet d'événements peut être fini ou infini dénombrable.
Exemple : Si A est l'événement « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre impair » alors ( A , B) est un
système complet d'événements car : ...
Soit, pour i∈ℕ , A i l'événement « le nombre obtenu a pour quotient i dans la division euclidienne par 10 ».
A 0=…
A 1=…
A 2=…
Soit ( i ; j ) ∈ℕ2 tel que i≠ j alors ω∈A i ∩A j ⇒ ...
Donc A i ∩A j =…
Soit ω∈Ω alors …
Donc ∪ Ai =…
i∈ℕ
Définition d'une probabilité sur un univers dénombrable : soit Ω un univers dénombrable.
P est une probabilité sur Ω si et seulement si
P : P ( Ω ) → [ 0 ;1 ]
P ( Ω ) =1
{
+∞
2
∀ ( A k )k ∈ℕ suite de P ( Ω ) telle que ( ∀ ( i ; j ) ∈ℕ ,i≠ j ⇒ Ai ∩A j =∅ ) , P ( ∪ Ak ) =∑ P ( Ak )
k ∈ℕ
k =0
Une probabilité P sur un univers infini dénombrable Ω={ ωi∣i∈ℕ } est entièrement déterminée par la donnée de
( P (ω i ) )i∈ℕ suite de [ 0 ;1 ] (probabilité de chaque issue) telles que
Exemple : soit, pour i∈ℕ , P ( ωi ) =
+∞
∑ P (ω i )=1 .
i=0
1
...
i+1
2
+∞
+∞
Soit B l'événement « obtenir un nombre pair ». Alors P ( B) =∑ P ( ω 2 k ) =∑
1
=…
2
Exemple de simulation de cette expérience aléatoire utilisant numpy.random.random() qui renvoie un nombre réel
appartenant à l'intervalle [ 0 ;1 [ selon une probabilité uniforme.
k =0
Compléments sur les variables aléatoires réelles finies
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k= 0
2 k +1
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def P(n):
return 1/2**(n+1)
import numpy as np
def simulation():
x=np.random.random()
k=0
s=P(k)
while x>=s :
k=k+1
s=s+P(k)
return k
print([simulation() for k in range(100)])
Une probabilité sur un univers infini et dénombrable ne peut pas être uniforme.
2. Indépendance et conditionnement
Définition des probabilités conditionnelles : soit A et B deux événements tels que P ( B)≠0 .
P ( A∩B )
La probabilité conditionnelle de A sachant B est P ( A∣B )=
P (B )
P (Ω )
→
A
→
PB :
L'application
[ 0 ;1 ]
P ( A∩B ) est une probabilité sur Ω appelée probabilité conditionnelle sachant B.
P( B)
Exemple : soit, pour i∈ℕ , P ( ωi ) =
1
et B l'événement « obtenir un nombre pair »
i+1
2
∀ k ∈ℕ , P B ( ω 2k + 1 ) =…
P B ( ω 2k ) =…
Soit A l'événement « obtenir un multiple de 3 », alors P ( A∣B )=…
P ( A∩B) =…
P ( A∩B) =…
P ( A∩B) =…
P ( A∩B) =…
Compléments sur les variables aléatoires réelles finies
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Formule des probabilités composées : soit n événements A 1 , …, A n tels que P ( A1∩…∩An )≠0 .
P ( A1∩…∩An )=P ( A1 )×P ( A 2∣A1 ) ×P ( A3∣( A1∩A2 )) ×…×P ( An∣( A1∩…∩A n−1 ))
(
n
)
n
( (
k−1
i.e. P ∩ A k =∏ P A k∣ ∩ Ai
k =1
k =1
i=1
))
Remarque : dans un arbre probabiliste, cette propriété s'énonce : « la probabilité d'une feuille est égale au produit des
probabilités des branches menant à cette feuille».
Démonstration : soit n événements A 1 , …, A n tels que P ( A 1∩…∩An )≠0
soit, pour k ∈⟦ 2 ; n ⟧ , HR(k) : « P ( A1∩…∩Ak ) =P ( A1 ) ×P ( A 2∣A1 ) ×P ( A3∣( A1 ∩A2 ))×…×P ( A k∣( A 1∩…∩A k −1 )) »
P ( A1 ∩A2 )
Initialisation : ( A1∩…∩An ) ⊂A1 donc P ( A1∩…∩An )⩽P ( A 1 ) ainsi P ( A1 )≠0 donc P ( A2∣A1 ) =
P ( A1)
D'où P ( A 1∩A 2 ) =P ( A 1 ) ×P ( A2∣A1 ) . Ainsi HR ( 2 ) est vérifiée.
Hérédité : soit k ∈⟦ 2 ; n−1 ⟧ . Supposons HR ( k ) vérifiée.
( A1∩…∩An )⊂( A1 ∩…∩Ak ) donc P ( A1∩…∩An )⩽P ( A1∩…∩A k ) donc P ( A1∩…∩Ak )≠0 .
P ( A1∩…∩Ak +1 )
Donc P ( Ak +1∣( A 1 ∩…∩A k )) =
P ( A1 ∩…∩A k )
Ainsi P ( A1∩…∩Ak + 1 ) =P ( A 1∩…∩A k ) ×P ( A k +1∣( A1∩…∩A k ))
D'après HR ( k ) , on a donc
P ( A1∩…∩A k +1 ) =P ( A 1 ) ×P ( A 2∣A 1 )×P ( A 3∣( A1∩A 2 )) ×…×P ( A k∣( A 1∩…∩A k −1 )) ×P ( A k +1∣( A1 ∩…∩A k ))
Donc HR ( k +1 ) est vérifiée.
Exemple : Soit A 1 l'événement « obtenir un nombre multiple de 2 »
A 2 l'événement « obtenir un nombre multiple de 3 »
A 3 l'événement « obtenir un nombre multiple de 5 »
□
P ( A1∩A2∩A 3 ) =…
P ( A1∩A2∩A 3 )=…
P ( A1∩A2∩A 3 ) =…
P ( A1∩A2∩A 3 )=…
P ( A1∩A2∩A 3 ) =…
P ( A1∩A2∩A 3 )=…
P ( A1∩A2∩A 3 ) =…
P ( A1∩A2∩A 3 )=…
Formule des probabilités totales : Soit ( Ak ) k ∈ℕ un système complet d'événements B un événement quelconque.
La série numérique
∑ P ( B∩An )
est convergente et sa somme est égale à P ( B) .
n∈ℕ
Compléments sur les variables aléatoires réelles finies
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+∞
i.e. P ( B) =∑ P ( B∩A k )
k =0
+∞
Si de plus chaque événement A k a une probabilité non nulle alors P ( B) =∑ ( P ( Ak )×P ( B∣A k ))
k =0
Démonstration : Soit ( A k ) k ∈ℕ un système complet d'événements de probabilités non nulles et B un événement
quelconque.
B=B∩Ω=B∩ ( ∪ A k )= ∪ ( B∩A k )
k ∈ℕ
k ∈ℕ
et pour ( i ; j ) ∈ ℕ 2 tel que i≠ j , ( B∩A i )∩( B∩A j ) ⊂Ai ∩A j =∅
+∞
Donc, puisque P est une probabilité sur Ω , P ( B) =∑ P ( B∩A k ) .
□
k =0
Exemple : Soit, pour i∈ℕ , A i l'événement « le nombre obtenu a pour quotient i dans la division euclidienne par 10 »
et B l'événement « le nombre obtenu est un multiple de 5 »
Alors B∩Ai =…
Extension de la formule des probabilités totales : Soit ( A k ) k ∈ℕ une suite d'événements deux à deux incompatibles telle
+∞
que
∑ P ( Ak )=1
et B un événement quelconque.
k =0
La série numérique
∑ P ( B∩An )
est convergente et sa somme est égale à P ( B) .
n∈ℕ
+∞
i.e. P ( B) = ∑ P ( B∩A k )
k =0
Démonstration : ∀ k ∈ℕ , ( B∩A k )⊂A k donc P ( B∩Ak )⩽P ( A k )
D'après le critère de majoration pour les séries à termes positifs, puisque la série
∑ P ( An )
est convergente, la série
n∈ℕ
∑ P ( B∩An )
est convergente.
n∈ℕ
Soit C= ∪ A k alors C et ( Ak ) k ∈ℕ forment un système complet d'événements de Ω
k ∈ℕ
+∞
Donc d'après la formule des probabilités totales précédente : P ( B) =P ( B∩C )+ ∑ P ( B∩A k )
k =0
+∞
De plus P étant une probabilité : P ( Ω )=P ( C ) + ∑ P ( A k )
k =0
+∞
Ainsi, si
∑ P ( Ak )=1
alors P ( C ) =0 .
k =0
Or ( B∩C )⊂C donc P ( B∩C )⩽P ( C ) d'où P ( B∩C )=0 .
+∞
On a alors, P ( B) =∑ P ( B∩A k ) .
□
k =0
Formule de Bayes : Soient deux événements A et B.
Si P ( A )≠0 et P ( B)≠0 alors, P ( A∣B )=
P ( B∣A )×P ( A )
P (B )
Remarque : si P ( A∩B)≠0 alors P ( A )≠0 , P ( B)≠0 et ( P ( A∣B )=P ( B∣A ) ⇔P ( A )=P ( B) ) .
P ( A∩B )
Démonstration : si P ( B)≠0 alors P ( A∣B )=
P (B )
Si P ( A )≠0 alors P ( A∩B) =P ( A )×P ( B∣A )
Donc …
Exemple : Soit A l'événement « obtenir un multiple de 3 » et B l'événement « obtenir un nombre pair ».
P ( B∣A )=…
□
Définition de l'indépendance de deux événements : Soient deux événements A et B.
A et B sont indépendants si et seulement si P ( A∩B) =P ( A )×P ( B)
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Ne pas confondre indépendants et incompatibles.
Deux événements sont indépendants et incompatibles si et seulement si...
Caractérisation de l'indépendance utilisant le conditionnement : Soient deux événements A et B.
P ( B )=0 et P ( A∩B )=0
A et B sont indépendants si et seulement si ou
P ( B )≠0 et P ( A∣B) =P ( A )
{
Démonstration : P ( A∩B) =P ( A )×P ( B) ⇔
P ( B )=0 et P ( A∩B )=0
ou
P ( A∩B )
P ( B )≠0 et P ( A ) =
P ( B)
{
□
Définition de l'indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements : Soit n événements A 1 , …, A n .
(
n
)
n
Les événements A 1 , …, A n sont mutuellement indépendants si et seulement si P ∩ Ai =∏ P ( Ai )
i=1
i=1
Si n⩾3 alors l'indépendance des événements A i deux à deux n’entraîne pas nécessairement leur indépendance
mutuelle.
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