Funzione quadratica Una funzione quadratica è una funzione del tipo f ( x)  a  x 2  b  x  c , dove a, b, c sono costanti. AlNuSet consente di compiere esperienze in grado di favorire una piena padronanza di questa funzione e delle sue proprietà. La riflessione può iniziare con l’esplorazione della funzione f ( x)  x 2 . Il grafico della funzione e il trascinamento del punto variabile permettono di comprendere che:  la funzione è decrescente per valori di x compresi nell’intervallo ]-∞, 0[  ha un punto di minimo per x  0  la funzione è crescente per valori di x  0  la funzione ha concavità rivolta verso l’alto Può essere molto utile il confronto con la funzione g ( x)   x 2 , che possiede proprietà opposte:  la funzione è crescente per valori di x compresi nell’intervallo ]-∞, 0[  ha un punto di massimo per x  0  la funzione è decrescente per valori di x  0  la funzione ha concavità rivolta verso il basso Esplorazione delle funzioni f ( x)  a  x 2 e g (a)  a  x 2 Con AlNuSet è possibile esplorare il caso generale analizzando il grafico della funzione f ( x)  a  x 2 al variare del parametro a e il grafico della funzione g (a)  a  x 2 al variare del parametro x. Nell’ambiente Funzioni, dopo aver inserito sulla Retta Algebrica i punti mobili associati alle lettere x, a e l’espressione a  x 2 , attraverso uno specifico comando è possibile ottenere il grafico dell’espressione a  x 2 in funzione sia di x che di a. Le immagini sotto riportate mostrano i due grafici che si ottengono in questo modo e cioè una retta per il grafico della funzione g (a)  a  x 2 e una parabola per il grafico della funzione f ( x)  a  x 2 . In AlNuSet è possibile, pertanto, studiare il grafico delle due funzioni riferite alla stessa espressione analitica a  x 2 . Queste immagini fotografano in modo statico quattro momenti diversi di un processo dinamico che avviene con il trascinamento dei punti mobili di a e x sulla Retta Algebrica. E’ possibile notare che:  Per ogni coppia di valori di a e x sulla Retta Algebrica, i valori delle due funzioni sui grafici nel piano cartesiano sono tra loro uguali e corrispondono al valore dell’espressione sulla Retta Algebrica.  Trascinando x è possibile osservare che il punto corrispondente alla coppia di valori rappresentati da x e da a  x 2 si sposta lungo il grafico della parabola; contemporaneamente cambia l’inclinazione della retta  Trascinando a è possibile osservare che il punto corrispondente alla coppia di valori rappresentati da a e da a  x 2 si sposta lungo la retta; contemporaneamente cambia la curvatura della parabola e la sua concavità (con a  0 otteniamo parabole con concavità verso l’alto, con a  0 otteniamo la retta y  0 , e con a  0 otteniamo parabole con concavità verso il basso).  Trascinando il punto mobile a, viene portato sotto il controllo della percezione il ruolo di parametro svolto da questa lettera nella rappresentazione della funzione f ( x)  a  x 2 , con la visualizzazione dinamica sullo schermo della famiglia di parabole determinate dal cambiamento del valore di a.  Trascinando il punto x, viene portato sotto il controllo della percezione il ruolo di parametro svolto da questa lettera nella rappresentazione della funzione g (a)  a  x 2 , con la visualizzazione dinamica sullo schermo del fascio di rette determinate dal cambiamento del valore di x. Esplorazione di f ( x)  a  x 2  d Analizziamo ora il grafico della funzione f ( x)  a  x 2  d per comprendere il legame con la funzione g ( x)  a  x 2 . Dopo aver costruito i grafici delle due funzioni con il comando Mostra/nascondi il valore secondo x, è immediato rendersi conto che: - quando d  0 i grafici delle due funzioni coincidono; - il trascinamento del parametro d lungo la Retta Algebrica determina una traslazione del grafico di f ( x)  a  x 2  d pari a d nella direzione verticale (verso l’alto se d  0 , verso il basso se d  0 ); - il vertice della parabola del grafico di f (x) è il punto (0, d); - Il trascinamento del parametro a lungo la Retta Algebrica determina lo stesso cambiamento di concavità nelle due parabole. Esplorazione di f ( x)  a  x  h 2 Analizziamo il grafico della funzione f ( x)  a  x  h2 per comprendere il suo legame con la funzione g ( x)  a  x 2 . Dopo aver costruito i grafici delle due funzioni in funzione di x è immediato rendersi conto che: - quando h  0 i grafici delle due funzioni coincidono; - il trascinamento del parametro h lungo la Retta Algebrica determina una traslazione del grafico di g ( x)  a  x 2 di h unità nella direzione orizzontale (verso destra se h  0 , verso sinistra se h  0 ); - il vertice della parabola del grafico di f (x) è il punto (h, 0); - Il trascinamento del parametro a lungo la Retta Algebrica determina lo stesso cambiamento di concavità nelle due parabole. Esplorazione di f ( x)  a  x  h  d 2 Nell’ambiente Funzioni è immediato rendersi conto del legame che la funzione f ( x)  a  x  h  d stabilisce con le due funzioni precedentemente analizzate e con la funzione 2 g ( x)  a  x 2 . Analizzando il grafico di f ( x)  a  x  h  d è facile comprendere che: 2 - se a  0 il grafico di f (x) ha la concavità rivolta verso l’alto, se a  0 rivolta verso il basso. - la parabola ha vertice nel punto (h, d); infatti spostando x su h si osserva che l’espressione va a coincidere con il punto d e il punto definito dalla coppia di valori x, f ( x)  sul grafico coincide con il vertice della parabola. - se a  0 allora x = h è punto di minimo per f (x) , se a  0 , invece, è punto di massimo Legame tra la funzione e la funzione Nell’ambiente Funzioni è possibile verificare che la funzione f ( x)  a  x  h2  d è uguale alla funzione g ( x)  a  x 2  b  x  c quando b  2  a  h e c  a  h 2  d