Esercitazioni in aula parte II_b: Esercizio 1) Ross Cap. 4 autoval. N. 9 ) Se X è una v.a. binomiale di valore atteso 6 varianza 2.4, si determini P(X = 5). Esercizio 2) Comunicazione attraverso un canale rumoroso. Un simbolo binario (0 oppure 1) è trasmesso attraverso un canale rumoroso ed è ricevuto incorrettamente con probabilità e0 ed e1 rispettivamente. Gli errori su simboli diversi sono indipendenti. Inoltre sappiamo che il canale trasmette 0 con probabilità p ed 1 con probabilità 1-p. (a) Qual è la probabilità che un simbolo scelto a caso sia ricevuto correttamente? (b) Supponiamo di trasmetter 1011. Qual è la probabilità che tutti i simboli della stringa vengano ricevuti correttamente? (c) Nello sforzo di migliorare l’affidabilità della trasmissione, ciascun simbolo è trasmesso 3 volte ed il simbolo è ricevuto secondo la regola della maggioranza. In altre parole uno 0 (oppure 1) è trasmesso come 000 (oppure 111) ed è decodificato in ricezione come 0 (oppure 1) se la stringa di tre simboli ricevuti contiene almeno due 0 (oppure due 1). Qual è la probabilità che uno 0 sia trasmesso correttamente? Esercizio 4) Ognuno dei 7 giudici di una corte prenderà la decisione corretta in maniera indipendente dagli altri con probabilità 0.7. Se la decisione della giuria è presa a maggioranza, qual è la probabilità che la giuria prende la decisione corretta? Esercizio 5) Ross (probabilità) cap. 4 N. 28 ) Un campione di 3 elementi viene scelto a caso da una scatola contenente 20 articoli dei quali 4 sono difettosi. Si trovi il numero atteso di articoli difettosi nel campione. Esercizio 6) Ross (probabilità) cap. 5 esempio 1a ) supponiamo che X sia una variabile aleatoria continua con densità data da c(4 x  2 x 2 ) se 0  x  2 f ( x)   determinare la costante c. Determinare P(X > 1) 0 altrimenti  Esercizio 7) Sia X uniforme in [0,1], determinare E (e X ) Esercizio 8) Ross (probabilità) n.49 cap. 4 Quando la moneta A viene lanciata, si ottiene testa con probabilità pari a 0.4; quando viene lanciata la moneta B, ciò avviene con probabilità 0.7. Scegliamo a caso una di queste due monete e lanciamola 10 volte. (a) Qual è la probabilità che esattamente 7 dei 10 lanci diano testa? (b) Dato che il primo lancio ha dato testa, quanto vale la probabilità condizionata che esattamente 7 dei 10 lanci diano testa Risposte esercizi del foglio Esercitazioni_aula_parteII_b Risposta 1) E(X)=n p= 6 e inoltre var(X)=n p (1-p)=2.4 questo è un sistema di 2 eq in due incognite da cui segue p=0.6 10  P( X  5)   0.6 5 (1  0.6) 5 5 e n=10. Per cui la risposta è Risposta 2) (a) p(1-e0)+(1-p)(1-e1) (b) (1  e1 ) 3 (1  e0 )  3  3  (1  e0 ) 2 e1   (1  e0 ) 3 2  3 (c)   Risposta 4) sia X è la v.c. che descrive il numero di giudici che prendono la decisione corretta essa è una binomiale di 7 7 P( X  4)    0.7 i 0.37i i 4  i  parametri n=7 e p=0.7 e dunque la probabilità richiesta è Risposta 5) la domanda del testo si traduce nel calcolo del valore atteso della v.c. X (ipergeometrica) discreta che assume valori 0,1,2,3. Si dovrà dunque calcolare prima la f.m.p. e poi procedere al calcolo del valor medio.  16  4     3  i  i   P( X  i)   20    3 proseguiamo calcolando P(X=0)= 0.4912 ; P(X=1)= 0.4211; P(X=2)= 0.0842 ; P(X=3)= 0.0035 da cui segue lo stesso risultato E(X)=…= 0.6  Risposta 6) imponendo che  f ( x)dx  1  si ricava c= 3/8 . Calciamo adesso la P(X>1) utilizzando la f.d.p. che già 2 conosciamo, otteniamo P( X  1)  3 / 8 (4 x  2 x 2 )dx  ...  1 / 2 1 Risposta 7) Seguiamo due procedimenti di cui il primo più lungo. Calcoliamo la densità di probabilità della v.c. Y  e X e poi ne valutiamo il valor medio. FY ( y)  P(Y  y)  P(e X  y)  P( X  ln( y))  log( y) da cui derivando si ottiene f Y ( y)  FY' ( y)  1 / y se 1 < y < e e E (Y )   dy  e  1 1 Da cui il calcolo del valor medio fornisce . Allo stesso risultato saremmo giunti applicando direttamente la formula per il valor medio di funzione di variabile casuale e cioè 1 E (e X )   e x dx  e  1 0 Risposta 8) (a) 0.1546 (b) 0.1968