Locandina

Esercizi di Geometria 3, foglio 1 (marzo 2014)
1. Sia K = {1/n, n ∈ N} e BK la base di R che contiene tutti gli intervalli aperti (a, b)
e tutti gli insiemi della forma (a, b) − K; denotiamo con TK la topologia di R generata
dalla base BK .
Per ciascuna delle seguenti topologie su R, determinare quali delle altre contiene:
Ts : la topologia standard di R;
TK ;
Tl : la topologia del limite inferiore (Rl );
Tu : la topologia del limite superiore (Ru );
Tf : la topologia del complemento finito;
T∞ : la topologia che ha come base tutti gli ”intervalli” (−∞, a).
ii) Determinare la chiusura dell’insieme K = {1/n : n ∈ Z} per ognuna di queste
topologie. Quali di queste topologie sono di Hausdorff? Quali sono T1?
2. i) Dimostrare che un sottospazio di uno spazio di Hausdorff `e di Hausdorff.
ii) Dimostrare che un prodotto X ×Y `e di Hausdorff se e solo se X e Y sono di Hausdorff.
iii) Dimostrare che ogni spazio ordinato `e di Hausdorff.
iv) Dimostrare che uno spazio topologico X `e di Hausdorff se e solo se la diagonale
∆ = {x × x : x ∈ X} `e chiuso in X × X.
3. Sia I × I = [0, 1] × [0, 1] il quadrato con la topologia dell’ordine lessicografico
(”quadrato ordinato”). Determinare la chiusura dei seguenti sottoinsiemi:
{ n1 × 0 : n ∈ N};
{(1 − n1 ) ×
{x × 0 : 0 < x < 1};
{x ×
1
2
1
2
: n ∈ N};
: 0 < x < 1};
{ 12 × y : 0 < y < 1}.
4. Sia R una retta del piano reale. Descrivere la topologia indotta su R come sottospazio
di Rl × R e come sottospazio di Rl × Rl (la topologia dipende dalla inclinazione della
retta).
5. Un’applicazione f : X → Y `e aperta (chiusa) se l’immagine f (A) di ogni aperto
(chiuso) A in X `e aperta (chiusa) in Y .
i) Dimostrare che la proiezione π1 : X ×Y → X sulla prima coordinata `e un’ applicazione
aperta.
ii) Dimostrare che la proiezione π1 : R × R → R non `e un’applicazione chiusa.

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