DM 1 Suites Récurrence

DM 1 à préparer pour Mercredi 24 Septembre
Exercice 1. Soit la suite U définie sur ℕ ∗ par :
U1 = 0 et pour tout entier naturel n non nul : U n +1 = U n + 3n² − 3n + 1 .
a. Calculer U 2 , U 3 en détaillant les calculs effectués.
b. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :
n
1
2
3
0
Un
4
5
n3
c. Conjecturer alors l’expression de U n en fonction de n.
d. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Exercice 2.
On considère les suites ( a n ) et ( b n ) définies par l’algorithme
ci-dessous : On entre n puis il affiche les valeurs de an et bn .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
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24
25
26
27
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
c EST_DU_TYPE NOMBRE
d EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
i PREND_LA_VALEUR 0
//i est le compteur
a PREND_LA_VALEUR 1
b PREND_LA_VALEUR 1
LIRE n
TANT_QUE (i<n) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
i PREND_LA_VALEUR i+1
c PREND_LA_VALEUR a+2*b
d PREND_LA_VALEUR a+b
a PREND_LA_VALEUR c
b PREND_LA_VALEUR d
FIN_TANT_QUE
AFFICHER "Valeur de n :"
AFFICHER n
AFFICHER "Valeur de an :"
AFFICHER a
AFFICHER "Valeur de bn :"
AFFICHER b
A. Etude expérimentale.
1° On choisit n = 3. (Donc en ligne 13, la variable n prend la valeur 3).
Cet algorithme affichera donc a3 et b3 .
Reproduire et compléter le tableau ci-dessous qui donne la valeur des variables a
b et i lors des réalisations successives de la boucle tant que.
(Le nombre de lignes représentées n’est peut-être pas celui qui convient ici)
i
a b
Initialisation
0
1 1
(Valeurs en ligne 12)
Valeurs en ligne 21
Valeurs en ligne 22
(Sortie de boucle)
2° On choisit n = 18. Programmer votre calculatrice pour calculer la valeur de
a18 et de b18 . A la calculatrice comparer
2 et
a18
. Commenter…
b18
3° Afin de ne pas utiliser les variables c et d, on modifie l’algorithme ainsi :
Ligne 17 : a PREND_LA_VALEUR a+2*b
Ligne 18 : b PREND_LA_VALEUR a+b
Suppression des lignes 19 et 20
Pour n = 3 l’affichage final est-il modifié ? On fera un tableau comme lors de la
question 1°
B. Expressions des termes a n et b n en fonction de n.
On considère les suites ( an ) et ( bn ) définies p ar :
an +1 = an + 2bn
a0 = b0 = 1 et ∀n ∈ ℕ, 
bn +1 = an + bn
1° Soit la suite ( u n ) définie pour tout n par : u n = a n + b n . 2 .
a. Montrer que la suite ( u n ) est géométrique de raison 1 + 2 .
b. En déduire l’expression de u n en fonction de n.
2° Soit la suite ( v n ) définie pour tout n par : v n = a n − b n . 2 . Montrer qu’il
s’agit d’une suite géométrique et donner son expression en fonction de n.
3° A partir des expressions de u n et v n en fonction de n, déterminer les
expressions de a n et b n en fonction de n.
Tester les résultats obtenus pour n = 3 et n = 18.

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