Calcul littéral

CHA
PITR
4
E
Calcul littéral
Choix pédagogiques
1. Le point sur les classes précédentes
•En
3. Distributivité
Conventions d’écriture
6e
et dans la continuité de l’école primaire,
quelques lettres sont introduites avec précaution (unités, variables).
Cette approche progressive se poursuit durant le cycle
central et l’enseignant doit être conscient des différentes fonctions des lettres (unité, variable, indéterminée, inconnue, paramètre…).
Le sens du signe égal est travaillé, en 6e et en 5e, comme
se lisant de gauche à droite mais aussi de droite à
gauche.
En 5e, les premières notions de calcul littéral sont
abordées. Une introduction progressive a lieu, les élèves
utilisent les expressions littérales (socle), en produisent
également. Ils apprennent à développer et à factoriser
une expression en utilisant les règles de distributivité
simple : k(a + b) = ka + kb et k(a – b) = ka – kb où k, a et b
désignent des nombres positifs et ce dans les deux sens :
pour développer ou pour factoriser une expression.
La distributivité de la multiplication a déjà été mise en
place en 5e, sur des exemples numériques et littéraux.
Elle est réinvestie dans le chapitre 1 lors des opérations
sur les nombres relatifs. L’objectif de l’activité 5 est donc
ici de conforter cette notion de distributivité simple
avant de découvrir celle de la double distributivité.
C’est dans un contexte géométrique que l’on dégage
ici l’identité k(a + b) = ka + kb. On en profite pour souligner ce qu’est une identité, vraie pour tous les nombres
k, a et b.
Une fois revue la distributivité, on peut aborder, dans
l’activité 6, la factorisation. L’intérêt de la factorisation
pour le calcul mental est tout d’abord mis en avant,
puis, dans un contexte géométrique encore, on dégage
l’identité ka + kb = k(a + b).
Le statut du signe égal doit ici être souligné. D’abord il
indique qu’on a affaire à deux expressions d’un même
nombre et l’égalité doit pouvoir être utilisée de « gauche
à droite » mais aussi de « droite à gauche ».
Il sera utile, au fil de ces premières activités de rappeler
les simplifications d’écriture du type 3 × n = 3n, 1 × n = n,
b × c = bc, a × a = a²… vues en 5e et revues au chapitre 1.
•
2. Expressions littérales
L’activité 1 a pour objectif de faire sentir la nécessité de
l’apparition de la lettre comme variable. Sans prérequis
notoire, cette activité touche à la généralisation nécessaire d’un phénomène. Elle touche à l’aspect procédural
d’une expression algébrique.
L’activité 2, elle, en concerne l’aspect structural. L’expression littérale est ici vue comme un objet dont on
peut décrire la forme et avec lequel on va pouvoir faire
de nouveaux calculs.
Ces deux activités, assez ouvertes invitent les élèves à
pendre des initiatives et permettent par là même de
travailler les compétences du socle.
L’activité 3 traite du remplacement de la variable par
une valeur numérique, compétence exigible au socle.
Elle a tout lieu d’être illustrée par l’utilisation du tableur
(en classe à l’aide du vidéo projecteur, par exemple).
C’est alors l’occasion de revoir l’écriture d’une formule
dans une feuille de tableur.
Dans l’activité 4, il est demandé, aux élèves d’effectuer
des calculs de produits sur des cas simples, de les observer, puis de conjecturer la règle algébrique des signes.
Cela se fait dans la continuité des propriétés du produit
de deux nombres relatifs vues au chapitre 1. Ce sera l’occasion d’insister, exemples à l’appui, sur le fait que –ab
n’est pas forcément un nombre négatif.
4. Réduire une expression littérale
À l’aide de la notion de factorisation vue précédemment, on s’intéresse dans l’activité 7, à la factorisation
d’expressions du type 5 × n – 3 × n = 2 × n. Le support
géométrique est là pour donner davantage de sens à la
manipulation des formules.
À l’issue de l’activité, l’intérêt de telles factorisations
(réductions d’écritures) pourra être appuyé par des
exemples numériques.
On peut demander, par exemple, aux élèves
de calculer mentalement 5 × 102,5 – 3 × 102,5 ;
5 × 3 250 – 3 × 3 250… pour illustrer l’intérêt calculatoire
de telles réductions.
L’objectif de l’activité 8 est d’appréhender l’addition et
la soustraction d’une somme algébrique. On réinvestit
la distributivité et la multiplication par 1 ou par –1 (vue
au chapitre 1). Cela pour aboutir aux deux éléments
à retenir : « Pour ajouter une somme algébrique, on
ajoute chacun de ses termes » et « Pour soustraire une
somme algébrique, on soustrait chacun de ses termes ».
1
On évitera tant que faire se peut les formulations du
type, « pour supprimer des parenthèses précédées d’un
signe « moins » on change les signes à l’intérieur des
parenthèses » qui risque d’avoir moins de sens et qui
nous fait observer des élèves ne sachant que faire du
signe – précédant la parenthèse.
Les items du B2i qui peuvent être validés sont notifiés
à chaque fois.
7. Compléments
Dans la partie Socle commun de 4e, on retrouve les
rubriques n’étant pas écrites en italique dans le programme.
Les exercices 20 à 25 présentent des situations motivant
l’utilisation du calcul littéral : contextes géométriques,
suites de nombres… Les exercices 26 à 28 soulignent,
comme le stipulent les programmes l’aspect structural
d’une expression littérale.
Pour l’exercice 30, l’utilisation en classe du vidéo projecteur présentant la correction de cet exercice à l’aide
d’un tableur est vivement envisageable.
L’exercice 32 apporte une note ludique à ces exercices
de calcul d’une expression littérale pour des valeurs
données.
Les exercices 34, 35 et 44 permettent de donner du sens
à la notion de distributivité en apportant un côté visuel
sur les figures géométriques. On profite également de
ces exercices sur le développement et la factorisation
pour travailler les compétences du socle et pour faire
prendre du recul et un esprit critique aux élèves.
L’exercice 56 aborde la connaissance de l’Europe par ses
fleuves et est une intéressante liaison entre les chapitres
4 et 5.
L’exercice 59 constitue une approche méthodologique de
la règle des signes à respecter lors d’un développement.
L’utilisation du tableur est tout à fait propice à la résolution de l’exercice 64.
Les exercices 66 à 70, tout comme l’exercice 80 développent eux aussi l’esprit critique et font travailler la
notion de contre-exemple pour infirmer une phrase ou
de démonstration pour la confirmer.
Les exercices 75 à 81 permettent particulièrement bien
de travailler la compétence 1 du socle.
L’exercice 76 souligne l’aspect structural d’une expression littérale et fait passer du registre « formules » au
registre « vocabulaire ».
Dans l’exercice 95, le thème du développement durable
est abordé de façon motivante.
5. Développer (a + b)(c + d)
L’activité 9 vise à enrichir les possibilités de développement d’une expression à l’aide des règles de « double
distributivité ». On utilise la distributivité pour démontrer cette nouvelle identité.
6. Savoir-faire
L’énoncé 1 est consacré à la gestion d’un calcul.
On y met en évidence la force du calcul littéral pour
démontrer et généraliser un résultat.
L’énoncé 2 s’inscrit tout à fait dans le travail des compétences du socle : porter un regard critique sur ses
propres productions, prendre du recul.
L’énoncé 3 conduit les élèves à travailler la notion de
preuve, et de voir qu’elle n’existe pas qu’en géométrie !
C’est l’occasion de travailler sur la notion d’exemples
(qui ne suffisent pas à la preuve) et de contre-exemples
(comme dans l’exercice 80 p. 89 par exemple).
À l’énoncé 4, on montre que pour calculer de façon répétée les valeurs prises par une expression littérale et ce de
façon exacte, il est dommage de se passer de l’apport que
constitue la calculatrice. Son utilisation ne doit évidemment pas occulter les calculs mentaux possibles dans de
nombreux cas, y compris celui où l’on cherche un ordre
de grandeur du résultat.
Outre un gain de temps certain, l’utilisation du tableur,
à l’énoncé 5, apporte du sens à la notion de variable :
En entrant une formule, ce sont les adresses des cellules qui sont prises en compte et non leurs contenus
du moment.
La présentation sous forme de tableau permet, d’observer l’évolution des deux expressions.
À noter l’importance de signaler aux élèves que le fait
que deux expressions littérales soient égales pour un
grand nombre de valeurs ne peut pas servir à prouver
qu’elles sont égales, mais à le conjecturer.
2
Corrigés
1. Devinettes
•
3 a. Lorsque x = –2.
Devinette*
= 8 (alors
•Devinette**
+
2
A = –7 × (–2) + 3 = 14 + 3 = 17
B = –2(–2 + 1) = –2 × (–1) = 2
C = (2 × (–2) – 5)(7 – 8 × (–2)) = – 9 × 23 = –207
D = 5(3 × (–2) – 4) + (–2) = 5 × (–10) – 2 = –52
b. A est une somme ; B est un produit
C est un produit ; D est une somme.
= 72).
Le plus grand est e. et le plus petit est d.
2. Je vérifie mes acquis
1. Bonne réponse : b.
2. Bonne réponse : a.
x + 6 + x + 6 = x + x + 6 + 6 = 2x + 12
3. Bonne réponse : b.
A est un produit, ainsi que C.
4. Bonne réponse : b.
Pour  = 10, P = 14 +2 × 10 = 14 + 20 = 34.
5. Bonne réponse : a.
On utilise k(a + b) = ka + kb avec k = 6, a = x et b = 4.
6. Bonne réponse : c.
9a + 2a = (9 + 2)a = 11a
7. a. 5
b. 15
c. 60
d. 6
e. 9
8. a. 8
b. 5
c. 3,5
d. 7,7
e. 6
9. a. 490
b. 2,5
c. 0,1
d. 22,5
4 a.
a
b
a×b
(–a) × b a × (–b) – (a × b) (–a) × (–b)
7
5
35
–35
–35
–35
35
–1,2
10
–12
12
12
12
–12
–4
–25
100
–100
–100
–100
100
b. • x × (–5) = –5x
• 7 × (–x) = –7x
• (–3x) × 5 = –15x
• 2x × 5x = 10x2
• –8x × (– 0,1x) = 0,8x2
5 a. Lorsque la largeur du rectangle vaut 0,5, sa longueur vaut 2 × 0,5 + 3 = 4.
0,5 × 4 = 2. Alors l’aire du rectangle est de 2 cm2.
• Lorsque la largeur du rectangle vaut 6, sa longueur
vaut 2 × 6 + 3 = 15.
6 × 15 = 90. Alors l’aire du rectangle est de 90 cm2.
b. • Si l’on note x la largeur d’un tel rectangle :
• sa longueur vaut 2x + 3 ;
• son aire vaut x(2x + 3) = 2x2 + 3x.
Lorsque x = 0,5 ; 2x2 + 3x
= 2 × 0,52 + 3 × 0,5
= 0,5 + 1,5 = 2.
L’aire du rectangle est de 2 cm2.
Lorsque x = 6, 2x2 + 3x = 2 × 62 + 3 × 6 = 72 + 18 = 90.
L’aire du rectangle est de 90 cm2.
3. Activités
1 a. Si l’on appelle x le nombre choisi au départ, le
« mathémagicien » obtient successivement les nombres
suivants :
• 2x
• 2x + 3
• 5(2x + 3) = 10x + 15
• 10x + 15 – 15 = 10x
• 10x10 = x
Donc le résultat du spectateur est le même que le
nombre qu’il avait choisi au départ.
b. • Par exemple :
Choisir un nombre.
Soustraire 2.
Multiplier par 3.
Ajouter 6.
Multiplier par 5, puis diviser par 15.
6 a. 7,8 × 15 – 7,8 × 50 + 7,5 × 25 = 7,8 × (15 – 50 + 25)
= 7,8 × (–10) = –78
b. Aire : 3x + 3x + 3 = 3(2x + 1)
c. • 6 – 9x = 3(2 – 3x)
• 4x – x2 = x(4 – x)
2
• 5x – 10x = 5x(1 – 2x) • x3 – 3x2 = x2(x – 3)
2 a. Les nombres pairs sont les nombres qui s’obtiennent en multipliant un nombre entier positif par 2. En
notant ce nombre entier positif n, les nombres pairs
s’écrivent alors 2n.
b. Les nombres impairs peuvent s’écrire sous la forme :
2n + 1 (où n désigne un nombre entier).
• Les multiples de 7 peuvent s’écrire sous la forme : 7n
(où n désigne un nombre entier).
c. Samir peut écrire ceci :
« Tous les multiples de 14 s’écrivent 14 × k où k est un
nombre entier positif mais 14 × k = 7 × 2 × k où 2 × k est
un nombre entier positif. Donc tous les multiples de 14
sont aussi multiples de 7 ».
7 a. La réponse de Louis est fausse.
b. • Jimmy a calculé l’aire du plus grand rectangle (de
dimensions 5 et (x + 1)) et lui a retranché l’aire du rectangle de dimensions 4 et x ainsi que l’aire du rectangle
de dimensions 2 et 1.
Léa a calculé l’aire du rectangle supérieur (de dimensions 3 et (x + 1)) et lui a retranché l’aire du rectangle
de dimensions 2 et x.
• 5(x + 1) – 4x – 2 = 5x + 5 – 4x – 2 = x + 3
3(x + 1) – 2x =3x + 3 – 2x = x + 3
• Si x = 3,5
x + 3 = 3,5 + 3 = 6,5
3
(2n + 1)(2p + 1) = 4np + 2n + 2p + 1
= 2(2np + n + p) + 1
= 2k + 1
où k est un entier naturel. Donc (2n + 1)(2p + 1) est un
nombre impair.
8 a. • 1 × (b + c) = 1 × b + 1 × c = b + c
• (–1) × (b + c) = (–1) × b + (–1) × c = –b – c
b. • a + (b + c) = a + 1 × (b + c) = a + b + c
• « Pour ajouter une somme, on ajoute chacun de ses
termes ».
c. • a – (b + c) = a + (–1) × (b + c) = a + (–b) + (–c) = a – b – c
• « Pour soustraire une somme, on soustrait chacun de
ses termes ».
d. • 2x + (3x + 4) = 2x + 3x + 4 = 5x + 4
• –5x + (3x – 4) = –5x + 3x – 4 = –2x – 4
• 3x – (2x + 6) = 3x – 2x – 6 = x – 6
• –x – (–9x + 1)= –x + 9x – 1 = 8x – 1
• Pour x = 2,25 ; B = 22,812 5
• Pour x =–15,6 ; B = –1 049,08
• Pour x = 153,4 ; B = –67 533,68
9
10
9 1. Aire du rectangle ABCD : (a + b)(c + d)
Aire du rectangle ABCD : ac + ad + bc + bd
2. a. (a + b)(c + d) = (a + b) × c + (a + b) × d
b. Donc (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
Dans la cellule B2, taper :
=5*A2^2-10*A2+5*(A2–2)
Dans la cellule C2, taper :
=(5*A2+1)*(A2-2)
Dès la 1re ligne, on voit que 5x 2 – 10x + 5(x – 2) et
(5x + 1)(x – 2) ne sont pas égaux pour x = – 5.
La factorisation de Mylène est donc fausse.
4. Je m’exerce
1. A = 2t2 – 3t + t(3 – 2t) = 2t2 – 3t + 3t – 2t2 = 0
Pour tous les nombres t, A = 0. Donc Rémy a raison.
2 B = x(x + 2) – 5x + 3(x – 1)
B = x2 + 2x – 5x + 3x – 3 = x2 – 3
Si x = 0, B = –3. B est négatif. Luna a raison.
3 a. • C = 6
• C = 11
b. Par exemple, pour y = –100, C = –99
c. C = 54,5
d. C = 5y – 15 – 4y + 16 = y + 1
4 a. • On contrôle le terme en a2 :
5a × (– 0,1a) = – 0,5a2
• On contrôle le terme constant : –12 × 6 = –72
Doris s’est donc trompée.
b. (5a – 12)(6 – 0,1a) = 30a – 0,5a2 – 72 + 1,2a
= –0,5a2 + 31,2a – 72
5 a. • 5x × (–5x) = –25x2
• – 4 × 2 = –8
• Ces deux contrôles ne permettent pas de déceler une
erreur.
b. (5x – 4)(2 – 5x) = 10x – 25x2 – 8 + 20x = –25x2 + 30x – 8
6 a. Pour t = 1
• 5t2 – 10t + 5 = 5 × 12 – 10 × 1 + 5 = 0
• 5(t2 – 2) = 5(12 – 2) = 5 × (–1) = –5
La factorisation d’Inès est donc fausse.
b. 5t2 – 10t + 5 = 5t2 – 5 × 2t + 5 × 1 = 5(t2 – 2t + 1)
7 On note n et n + 1 deux entiers consécutifs.
n + n + 1 = 2n + 1 ; on obtient bien un nombre impair.
On peut donc conclure que la somme de deux entiers
consécutifs est un nombre impair.
8 On note 2n + 1 et 2p +1 deux nombres impairs quelconques.
1
5. Socle commun de 4e
a. L représente le périmètre en cm de ce triangle.
(L = x + 4 + x + 3 + 7 = 2x + 14)
b. Si x = 5 ; L = 2 × 5 + 14 = 24
donc L = 24 cm
Si x = 0,8 ; L = 2 × 0,8 + 14 = 15,6 donc L = 15,6 cm
Si x = 0,25 ; L = 2 × 0,25 + 14 = 14,5 donc L = 14,5 cm.
11
a. C représente le volume en m3 de ce parallélépipède rectangle (C = 9 × a × a = 9a2)
b. Si a = 5 ; C = 9 × 52 = 225 donc C = 225 m3
Si a = 0,1 ; C = 9 × 0,12 = 0,09 donc C = 0,09 m3
12
a. n = 4 ; c = 9 cm ; D = 8,4 cm.
π × 8, 42 × 9 × 4
Donc V =
et V ≈ 1 995 cm3
4
donc sa cylindrée est environ 2 L.
13
a. 400 × 2 + 800 × 3 = 800 + 2 400 = 3 200
Si Tom fait 3 tours, il parcourt 3 200 m ou 3,2 km.
400 × 2 + 800 × 4 = 800 + 3 200 = 4 000
Si Tom fait 4 tours, il parcourt 4 000 m ou 4 km.
400 × 2 + 800 × 6 = 800 + 4 800 = 5 600
Si Tom fait 6 tours, il parcourt 5 600 m ou 5,6 km.
b. 7,2 km, c’est 7 200 m.
7 200 – 2 × 400 = 6 400
6 400
= 8 tours
800
c. 0,8 + 0,8n (ou encore 0,8 × (n + 1))
Si n = 3 ; 0,8 + 0,8 × 3 = 3,2
Si n = 4 ; 0,8 + 0,8 × 4 = 4
Si n = 6 ; 0,8 + 0,8 × 6 = 5,6.
14
4
15
a.
y
t
O
15°
25°
b. Aux instants 0 s et 13 s, h = 0. La fusée est respectivement aux instants du décollage et de l’atterissage.
c. On peut prendre un pas plus fin pour les valeurs de t
comprises entre 6 s et 7 s.
v
24
a. Le motif n° 5 comporte 11 segments.
b. Le motif n° 10 comporte 21 segments.
c. Nombre de segments dans le motif n° n :
3 + 2(n – 1) = 2n + 1
ou 3n – (n – 1) = 2n + 1
d. Si n = 200, alors 2 × 200 + 1 = 401. Il y a 401 segments.
25 a. 700 – x
b. 20x + 12(700 – x) = 8 400 + 8x
n
26 a. n + 1
b. n – 1
c.
d. 2n
2
27 Ce sont les multiples de 3.
28 a. 2k et 2k + 2 où k est un nombre entier positif.
b. 2p + 1 et 2p + 3 où p est k est un nombre entier positif.
c. 2k + 2k + 2 + 2p + 1 + 2p + 3 = 4k + 4p + 6
29 a. Par exemple, un rectangle de dimensions 2 et a.
6x
= 3x
2
3 A = 7 × 7 + x × x = 49 + x2
2 A=
donc A = 60 cm2
donc A = 18 cm2
donc A = 85 cm2
• Si x = 0,5
1 A = 10 × 0,5 = 5
donc A = 5 cm2
2 A = 3 × 0,5 = 1,5
donc A = 1,5 cm2
2
3 A = 49 + 0,5 = 49,25 donc A = 49,25 cm2
21 a. V = πr2h = π × r2 × 5 = 5π r2
b.
V = 5πr2 (cm3)
z
90°
6. Exercices d’application
20 a. 1 A = 5 × 2x = 10x
r (cm)
25°
25°
u
Il semble qu’à l’instant t = 6,5 s la fusée soit à son altitude
maximum.
16 • A = 1 000
• A = 2 001
•A=1
• A = 3 004
• A = –996
17 A = 132 ; B = 30 ; C = 0
18 a. 101 × (89 + 11) = 101 × 100 = 10 100
b. 1 001 × (53 – 3) = 1 001 × 50 = 50 050
19 a. 621
b. 625
c. 1 216
d. 5 625
b. • Si x = 6
1 A = 10 × 6 = 60
2 A = 3 × 6 = 18
3 A = 49 + 62 = 85
s
a
2
b. Par exemple, un rectangle de dimensions 7 et a + 2.
a+2
1
2
3
4
15,7
62,8
141,3
251,3
7
c. Par exemple, un carré de côté a et un carré de côté 5.
c. Quand r = 1 cm, V = 15,7 cm3. D’après le tableau,
quand r = 2 cm, le volume du cylindre ne vaut pas le
double de 15,7 cm3. Donc Léa a tort.
22 a. Un polygone à 8 côtés s’appelle un octogone.
b. Aire du carré ABCD : 92 = 81.
Aire du triangle rectangle JBK : 2 × 2 = 2
2
81 – 4 × 2 = 73. L’aire de l’octogone est de 73 cm2.
x2
c.  = 81 – 4 ×
= 81 – 2x2
2
Si x = 3 ;  = 81 – 2 × 32 = 63
 = 180° – (25° + 15° + 2a) = 180° – 40° – 2a
23 a. uOz

Donc uOz = 140° – 2a
b. Il faut que 140° – 2a = 90°
Donc 2a = 50°
Donc a = 25°
5
a
• x = 0, A = 3, B= 0,
C=4
• x = –1, A = 15, B = 5, C = 7
19
• x = 1 , A = 0, B = 5 , C = –
4
16
8
• x = 0,5, A = –3, B = 1,25, C = –11
5
1
• x = , A = 1, B =
, C = 0
36
6
31 a. Mentalement :
• Si x = 0 ; B = 3 × 0 + 2 × 0 – 1 = –1
• Si x = –5 ; B = 3 × (–5)2 + 2 × (–5) – 1 = 64
• Si x = 10 ; B = 3 × 102 + 2 × 10 – 1 = 319
b. À la calculatrice
• Si x = 2,95 ; B = 31,007 5
• Si x = –17,4 ; B = 872,48
• Si x = 2,22 ; B = 18,225 2
30
5
B = –3x2 + 9 = –3(x2 – 3)
C = 4(–2x – 9) = – 4(2x + 9)
D = –9t2 – 6 = –3(3t2 + 2)
44 Calculons la somme des aires des trois rectangles :
2a(a + 3) + 2a + (2a)(2a)
Ou encore, en mettant (2a) en facteur :
2a(a + 3 + 1 + 2a) = 2a(3a + 4)
La deuxième dimension du rectangle est donc 3a + 4.
45 A = 8x – 12x + 20x = 16x
B = –7,5a2 – 14,5a2 + 30a2 = 8a2
5
1
C= t+t– t=0
4
4
8
1
30 16 3 2 11 2
D = 5x2 – x2 – x2 =
−
− x = x
3
2
6
6 6
6
4 2
1 2
46 A = –4t –
t + 3 – 10t + 5 t – 10
5
3 2
= t – 14t – 7
5
13 2
1
B = 3x2 – 2x + x2 – 2x =
x – 4x
4
4
Pour x = –4 :
• 5 +4x = 5 × 4 – 4 = 5 – 16 = –11
→B
• 5(–3x – 11) = 5(–3 × (–4) – 11) = 5 × 1 = 5
→R
• x(x + 7) = –4(–4 + 7) = 4 × 3 = –12
→A
2
2
2
• (3x + 15) = (3 × (–4) + 15) = 3 = 9
→V
• 5x2 + 20x + 2 = 5 × (– 4)2 + 20 × (– 4) + 2
= 80 – 80 + 2 = 2
→O
33 a. A = – 4y
B = 45y
2
2
C = 48y
D = – y2
3
b. Pour y = –2
A = 8
B = –90
8
C = 192
D=–
3
34 a. 9(x – 4)
b. 9x – 9 × 4 = 9x – 36
10(x + 3)
35 a.
= 5(x + 3) = 5x + 15
2
b. Si x = 20 ; 5 × 20 + 15 = 115
36 Développons ces deux expressions :
1
1 3
2
2
2 2
A = (t + 1) – (2t – 1) = t + – t + = = 1
3
3 3
3
3
3 3
3
3
5
B = 2(x + 7) + (12 – x) = 2x + 14 + 9 – x = x + 23.
4
4
4
Jenny a tort.
L’expression A est indépendante de la valeur donnée à
la variable, mais pas l’expression B.
37 Développons l’expression A :
A = 10x (10x – 3) + 3(10x – 5) + 15
A = 100x2 – 30x + 30x – 15 + 15 = 100x2
Il est donc facile à Rama de calculer de tête la valeur de
A pour n’importe quelle valeur de x.
38 Développons :
A = 37,5 – 6a
B = – 40x + 30
C = 12t – 60
D = – 4,8x + 2,4
11
E = – 4a + 8
F = 44y2 – y
3
39 a. 35x + 14 = 7(5x + 2)
b. – 49y2 + 14y = –7y(7y – 2)
c. 25y2 + 10y = 5y(5y + 2)
d. 36x – 12x2 = 6x(6 – 2x)
40 A = 5t – 25 = 5(t – 5)
B = 12 + 6x2 = 6(2 + x2)
C = 10a – 20b = 10(a – 2b)
D = 16x – 4 = 4(4x – 1)
41 A = 8t – 8 = 8(t – 1)
B = –28a2 + 42a = 7a(– 4a + 6)
C = –120x2 + 48x = 24x(–5x + 2)
D = 8 – 4t2 = 4(2 – t2)
42 A = –6x2 + 18x + 15 = 3(–2x2 + 6x + 5)
B = 10a – 16a2 = 2a(5 – 8a)
C = x2(x + 1) + 5x2 = x2(x + 1 + 5) = x2(x + 6)
4
2
2
D = t2 + 3 t = t(t + 2)
3
3
43 A = – 6x2 + 18x + 24 = – 6(x2 – 3x – 4)
32
(
47
)
10x – 1
9x – 7
5x – 3
2x – 4
x +6
4x – 4 –3x + 10
3x + 1
x –5
15 – 4x
48
3x – 4
+
–2 x + 5
2x
2+6
x+1
–10 x + 0,5
x+1
2x2
+ 9x – 3
–7x – 3,5
–3 x2 + 4 x – 1
–3x2
+ 2x + 4
–x2
+ 10x
–3x2 – 6x – 0,5
7 + 10 x
8x + 12
2x2
+ 16x + 8
7,5
49 2(2a + b + b + 2b) + 2(b + 2a + 2a)
= 2(2a + 4b) + 2(b + 4a)
= 4a + 8b + 2b + 8a
= 12a + 10b
50 a. AB = 15 – (x + 4) = 15 – x – 4 = 11 – x
b. AB = 20 – (3x + 6) = 20 – 3x – 6 = 14 – 3x
51 a. Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.
 = 180° – x – (x – 20°) = 180° – x – x + 20° = 200° – 2x
Donc A
 = 200° – 2 × 30° = 140°
b. • Pour x = 30°, A
 = 200° – 2 × 45° = 110°
• Pour x = 45°,
A
 = 200° – 2 × 90° = 20°
• Pour x = 30°, A
c. Si x valait 120°, alors x – 20 vaudrait 100° et la somme
de ces deux angles d’un triangle vaudrait 220° ce qui
est impossible.
52 A = 2x + 4 – (8x – 9) = 2x + 4 – 8x + 9 = –6x + 13
B = 3a – 7 + (2a + 5) + (3a – 10) = 3a – 7 + 2a + 5 + 3a – 10
= 8a – 12
C = 3t + 0,1 – (4,5 – 6t) + [12 – (3,2 + t)]
= 3t + 0,1 – 4,5 + 6t + 12 – 3,2 – t
= 8t + 4,4
53 A = –4(8x – 3) + 6(–5x + 3)
A = –32x + 12 – 30x + 18 = –62x + 30
B = 5(1,1t + 3,5) – 8(0,4t – 3)
B = 5,5t + 17,5 – 3,2t + 24 = 2,3t + 41,5
6
C = –0,5(4 – 0,5x) + 20(–0,1x – 5) – 8(0,5x + 3)
C = –2 + 0,25x – 2x – 100 – 4x – 24 = –5,75x – 126
54 Cherchons la forme réduite de chaque expression :
A = 2 – (t –3) + 4(t – 1) = 2 – t + 3 + 4t – 4 = 3t + 1
B = 5(x + 1) – 2(x + 2) = 5x + 5 – 2x– 4 = 3x + 1
C = t(t + 2) – t(t – 1) + 1 = t2 + 2t – t2 + t + 1 = 3t + 1
2 3 2 9
t + t – t2 + 1 = t2 + 3t – t2 + 1 = 3t + 1
D=
3 2
2
Les quatre expressions ont la même forme réduite.
Lynda a raison.
55 a. A = x(x – 2) + 4x – 5x(3x – 1)
Développons A :
A = x2 – 2x + 4x – 15x2 + 5x = –14x2 + 7x
Factorisons A :
A = x(x – 2 + 4 – 5(3x – 1)) = x(x – 2 + 4 – 15x + 5)
= x(–14x + 7) = –7x(2x – 1)
b. Il sera plus facile de mener les calculs en remplaçant
1
x par dans l’expression factorisée de A :
2 1
1
–7
A = –7 × (2 × – 1) =
×0=0
2
2
2
56 a. Longueur de la Loire : x
Longueur de la Vistule et du Tage : x
Longueur du Douro, de la Meuse et de l’ Èbre : x – 100
Longueur de l’Elbe : x + 100
Longueur du Rhin : x + 300
Longueur du Danube : 3x
Longueur totale de ces 9 fleuves :
x + 2x + 3(x – 100) + x + 100 + x + 300 + 3x = 11x + 100
b. 11x + 100 = 11 100
Donc 11x = 11 000. Donc x = 1 000
D’où les longueurs des fleuves (en km) :
(
57
• x(x + 3) + 2(x + 3)
• x(x + 2) + 3(x + 2)
• x2 + 3x + 2x + 6
b. • (x + 3)(x + 2) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6
)
Loire
Vistule
Tage
Douro
Meuse
1 000
1 000
1 000
900
900
Èbre
Elbe
Rhin
Danube
900
1 100
1 300
3 000
• x(x + 3) + 2(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
• x(x + 2) + 3(x + 2) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6
• x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
58
B = (x + 11)(2x + 3)
B = 2x2 + 3x + 22x + 33 = 2x2 + 25x + 33
C = (4a + 0,5)(5 + 2a)
C = 20a + 8a2 + 2,5 + a = 8a2 + 21a + 2,5
1
1
D = (2t + 3) t +
2
3
3
13
2
D = t2 + t + t + 1 = t2 +
t+1
2
6
3
59 • E = –15x2 + 9x + 60x – 36
(
1 013 km France
Vistule
1 047 km Pologne
Tage
1 006 km Espagne - Portugal
)
• F = +12x2 – 42x + 2x – 7
60
A = (5x – 3)(2x + 7) = 10x2 + 29x – 21
B = (6y + 7)(3y – 10) = 18y2 – 39y – 70
C = (–2x + 9)(2x – 4) = –4x2 + 26x – 36
D = (b – 100)(10b – 0,2) = 10b 2 – 1 000,2b + 20
61
a. (x – 8)(x + 4)
b. x(x + 4) – 8(x + 4) ou encore x2 + 4x – 8x – 32 ou encore
x2 – 4x – 32 ou x(x – 8) + 4(x – 8)
A = (x – 9)(–2x – 5) = –2x2 + 13x + 45
1
B = (–3x – 12) 5x – = –15x2 – 59,5x + 2
6
C = −x – 2 3 − x = x2 − 1 x – 1
3 4
12
2
1
1
1
2
D= t+ t− =t –
2
2
4
63 a. (x – 3)(2x – 4) = 2x2 – 10x + 12
62
(
( )( )
( )( )
Pays traversés
Loire
A = (x + 4)(x + 5)
A = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20
c. Longueur « officielle » (en km) et pays traversés :
Fleuve Longueur
a. • (x + 3)(x + 2)
)
L’aire de la face bleue est (2x2 – 10x + 12) cm2.
b. 5(2x2 – 10x + 12).
Le volume de ce parallélépipède rectangle est :
(10x2 – 50x + 60) cm3.
Douro
897 km
Espagne - Portugal
Meuse
950 km
France - Belgique - Pays-Bas
Èbre
928 km
Espagne
Elbe
1 091 km République Tchèque - Allemagne
Rhin
1 230 km
Danube
Allemagne - Autriche - Bulgarie Croatie - Hongrie - Moldavie 3 020 km
Roumanie - Serbie - Slovaquie Ukraine
c. Si x = 5 ; 10 × 25 – 50 × 5 + 60 = 60 ;
V = 60 cm3.
Si x = 10 ; 10 × 100 – 50 × 10 + 60 = 560 ; V = 560 cm3.
64
a.  = (5 – 2x)(5 – 2x) = 25 – 20x + 4x2
b.
Suisse - Liechtenstein - Autriche Allemagne - France - Pays-Bas
On observe d’abord que c’est pour une valeur de x comprise entre 0 et 1 que l’aire pourra valoir 15 m2.
Sources : Wikipedia
7
Donc ce carré et ce rectangle n’ont pas la même aire
quelle que soit la valeur donnée à x.
70 Faux. Pour t = 0 :
3t2 – 6t + 3 = 3 et
– 3(t2 – 2) = 6
Ou en développant 3(t2 – 2), on obtient 3t2 – 6.
71 a. 25 = 9 + 16 = 32 + 42
b. 156 = 12 × 13
72 A = (108 + 2) × 9 = 110 × 9 = 990
B = 12 × (113 – 3) = 12 × 110 = 1 320
C = 42 × (50 + 1) = 42 × 50 + 42 × 1 = 2 100 + 42 = 2 142
73 F = –3x2 – 3x
G = –70x2
74 I = 8x + 21
J = 3x2 + 9x
2
K = x + 9x + 20
L = 6x2 + x – 2
75 a. Il y a x adultes.
Ils paieront 13,70x e.
Comme il y a 40 personnes en tout, il reste 40 – x enfants.
Ces 40 – x enfants paieront 9(40 – x)e.
La dépense totale est donc 13,7x + 9(40 – x) e.
b. 13,7x + 9(40 – x) = 13,7x + 360 – 9x = 4,7x + 360
1
76 a. A = 2x + x2
b. B = (x + 5)(x – 7) c.
3x + 4
77 Si Yolande note x son nombre de départ, alors les
résultats successivement obtenus à chaque étape du
programme de calcul sont :
• 5x
• 5x + 4
• 10x + 8
• 10x
Il suffit donc de multiplier le nombre de départ par 10.
Rémy a raison.
78 B est le produit de –2 par la somme de x et de 8.
C est le carré de la somme de x et de 2.
D est le quotient de 1 par le triple de x.
79 a. A → ➌ ; ➎
B → ➊ ;
C→➍;➏
80 a. On note 2k et 2k’ deux nombres pairs quelconques
(k et k’ sont des nombres entiers positifs quelconques).
2k +2k’ = 2(k + k’) ; c’est un nombre pair.
L’affirmation est donc vraie.
b. 5 + 7 est la somme de deux nombres impairs. Cette
somme vaut 12 et est donc paire.
L’affirmation est donc fausse.
c. 5 + 6 est la somme de deux nombres entiers consécutifs. Cette somme vaut 11 et est donc impaire.
L’affirmation est donc fausse.
d. On note k, k + 1 et k + 2 les trois entiers consécutifs.
Leur somme vaut k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1),
c’est un multiple de 3.
L’affirmation est donc vraie.
81 209 diagonales.
En affinant le pas, on observe que c’est pour une valeur
de x comprise entre 0,5 et 0,6 que l’aire pourra valoir
15 m2.
En affinant encore le pas, on observe que c’est pour une
valeur de x comprise entre 0,56 et 0,57 que l’aire pourra
valoir 15 m2.
65 a. A = (3x – 5)(2x + 7)
A = 6x2 + 11x – 35
B = 9(x2 + 1) + (3x + 4)(–x + 1) + 3(4x – 16)
B = 9x2 + 9 – 3x2 – x + 4 + 12x – 48 = 6x2 + 11x – 35
C = 8(x2 – 4) – (x + 6)(2x – 4) + (19x – 27)
C = 8x2 – 32 – (2x2 – 4x + 12x – 24) + 19x – 27
C = 8x2 – 32 – 2x2 + 4x – 12x + 24 + 19x – 27
= 6x2 + 11x – 35
D = 3x(3x + 4) – x(1 + 3x) – 35
D = 9x2 + 12x – x – 3x2 – 35 = 6x2 + 11x – 35
b. Tina a raison. On peut compléter son affirmation en
disant que pour toute valeur de x, les expressions A, B,
C et D seront égales. (Pour x = 1 ; A = B = C = D = –18.)
66 Faux. Calculons, par exemple, chaque expression
pour x = 1 :
• 2 × 1 × (1 – 14) + 24 = –2
• (2 × 1 – 6)(1 – 4) = (– 4) × (–3) = 12
Les deux expressions ne sont donc pas égales quelle
que soit la valeur de x.
67 Vrai. Quelle que soit la valeur de x, x2 est positif.
Donc –x2 est négatif.
68 Faux. Prenons par exemple x = –2.
Alors x3 = –8 et –x3 = 8, positif.
69 Faux. Prenons par exemple x = 1.
Alors, l’aire du carré est de 32 = 9.
Et l’aire du rectangle est de 4 × 2 = 8.
7. QCM pour s’évaluer
82
89
8
b.
c.
83
90
c.
a.
91
84
c.
c.
92
b. 86 b.
b. c. 93 a. b.
85
87
94
a.
a. c.
88
a.
8. Je me prépare au contrôle
Si, par exemple, J = 5 et M = 8 ; 24 – 5 – 24 = –5. Le 5 août,
la température est de –5 °C.
d. La date de naissance de Julie est le 2 juillet 2000.
102 A = (–12x + 18)(5 – 4x) = 48x2 – 132x + 90
B = (–2x2 + 13x – 6)(3x – 4)
= –6x3 + 8x2 + 39x2 – 52x – 18x + 24
= – 6x3 + 47x2 – 70x + 24
103 1. a. • 32 + 42 = 9 + 16 = 25
• 52 = 25
Donc (3 ; 4 ; 5) est un triplet pythagoricien.
b. • 12 + 122 = 1 + 144 = 145
• 132 = 169
Donc (1 ; 12 ; 13) n’est pas un triplet pythagoricien.
c. • 52 + 102 = 25 + 10 = 125
• 152 = 225
Donc (5 ; 10 ; 15) n’est pas un triplet pythagoricien.
2. Tableau et formules :
95 1. a. P ≈ 518 709 W
b. P ≈ 2 223 126 W
2. Si R est multiplié par 2, R2 est multiplié par 4. La puissance fournie n’est donc pas doublée mais quadrupluée.
Ce qui est annoncé à la radio est donc faux.
96 a. Lorsque  = 4
5 × 4 × 4 – 4 × 4 × 2 = 80 – 32 = 48
Le volume du solide est 48 cm3.
b. 5 × 4 ×  – 2 ×  ×  = 20 – 22
Le volume du solide est de 20 – 22.
c. On peut trouver, à l’aide de la calculatrice, que lorsque
 = 5, 20 – 22 = 50
Mais concrètement,  ne peut pas prendre cette valeur.
97 a. 1 × 3 = 3 et 22 – 1 = 4 – 1 = 3
2 × 4 = 8 et 32 – 1 = 9 – 1 = 8
3 × 5 = 15 et 42 – 1 = 16 – 1 = 15
b. Il semble, d’après les trois exemples précédents, que,
quelque soit le nombre n, on ait : (n – 1)(n + 1) = n2 – 1
En effet, (n – 1)(n + 1) = n2 + n – n – 1 = n2 – 1.
Cette égalité est donc vraie quelque soit le nombre n.
Donc Adeline peut être certaine que :
100 005 × 100 007 = 100 0062 – 1
9. Exercices d’approfondissement
Des exemples de résultats :
On note a et b deux nombres tels que a + b = 500.
(a + 7)(b + 7) = ab + 7a + 7b + 49 = ab + 7(a + b) + 49
= ab + 7 × 500 + 49 = ab + 3 549
Si chaque nombre augmente de 7, leur produit augmente de 3 549.
99 On essaie d’abord sur des exemples.
On note n un nombre entier quelconque.
n(n – 1)(n + 1) + n = n(n2 – 1) + n = n3 – n + n = n3
Le résultat est le cube du nombre choisi au départ.
100 1. a. 7 + 6 + 5 + 6 + 5 = 29 (rosiers)
b. 20 + 19 + 18 + 19 + 18 = 94 (rosiers)
c. n + n – 1 + n – 2 + n – 1 + n – 2 ou 6n – n – 3 – 3 ou
3(n – 1) + 2(n – 1) – 1 ou 5n – 6
2. a. On note n la plus grande taille de motif réalisable
avec 100 rosiers.
5n – 6 doit être inférieur ou égal à 100.
Donc 5n doit être inférieur ou égal à 106.
Donc la plus grande taille de motif est 21(21 × 5 = 105).
b. On note m la plus grande taille des deux motifs réalisables avec 100 rosiers.
2(5m – 6) = 10m – 12 doit être inférieur ou égal à 100.
Donc 10m doit être inférieur ou égal à 112.
Donc la plus grande taille de motif est 11 (11 × 10 = 110).
101 a. J = 4 ; M = 12 ; 24 – 4 – 30 = –10 ; T = –10° C
b. • J = 7 ; M = 2 ; 24 – 7 – 6 = 11 ;
T = 11 °C.
• J = 25 ; M = 7 ; 24 – 25 – 21 = –22 ;
T = –22 °C.
c. Si, par exemple, J = 3 et M = 7 ; 24 – 3 – 21 = 0. Le
3 juillet, la température est de 0 °C.
98
1 + 2 + 3 + … + 1 000
+ 1000 + 999 + 998+ … + 1
= 1001 + 1 001 + 1 001 + … + 1 001 + 1 001 (1 000 termes)
= 1 001 000
1 001 0002 = 500 500
105 Il y a 23 octogones sur la ligne médiane qui contiennent en tout 23 × 8 segments soit 184 segments.
22 × 6 × 2 = 264, donc il y a 264 segments sur les octogones de la ligne du haut et de la ligne du bas.
21 segments pour finir en haut et en bas, soit 42 segments.
184 + 264 + 42 = 490.
On a acheté 10 boîtes de 50 segments de plomb.
106 Des idées de lien :
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/
bulletin/bull06/etymo.htm
http://www.chronomath.com
…
104
9
Tâche complexe : Relever un défi
•Les élèves comprendront les limites du tâtonnement ;
Des aides possibles
Aide n° 1 : Choisir des dimensions possibles pour un
tel rectangle. Calculer son aire. Échanger les résultats
dans la classe.
Aide n° 2 : Utiliser un tableur, un logiciel de géométrie
pour étudier cette situation. Conjecturer la solution au
problème.
certains peuvent décider de se diriger vers un tableur ;
pour cela, il serait préférable qu’ils aient dégagé une
expression de BC en fonction de AB (par exemple). Ils
peuvent localiser le maximum en prenant un pas de 1,
puis affiner avec un pas de 0,5, puis éventuellement de
0,1 pour conforter la conjecture.
D’autres groupes peuvent penser à l’outil logiciel de
géométrie (GeoGebra, Cabri, Geoplan…). Par exemple,
avec GeoGebra on crée un curseur a de 0 à 75 avec
0,1 pour incrément, puis on crée dans la zone de saisie les points : A = (0, 0), B = (0, a), C = (150 – 2a, a) et
D(150 – 2a, 0). On crée ensuite le polygone (rectangle)
ABCD et son aire. Puis on conjecture.
Au moment de la mise en commun on peut proposer
l’imagiciel « Baignade » du site compagnon.
•
Quelques commentaires
Avec les notations du document 2, il faut comprendre
que l’on doit avoir AB + BC + CD = 150 m.
Dans un premier temps, les élèves vont certainement
faire des essais et donc choisir des valeurs pour AB et
en déduire BC. Peut-être remarqueront-ils que l’on doit
avoir AB  75 m.
Tous les groupes dans la classe auront fait des choix
différents et on remarquera que l’un d’eux a obtenu une
aire plus grande que celle des autres groupes. Peut-on
faire encore mieux ?
•
•
•
•
Une solution
On note a la longueur AB en mètres.
Alors AB + BC + CD = 150 c’est-à-dire a + BC + a = 150 soit BC = 150 – 2a.
L’aire du rectangle ABCD en m2 est donc a(150 – 20).
• Avec un tableur
On conjecture que la zone de baignade a une aire maximale lorsque AB = 37,5 m et donc BC = 75 m.
10
• Avec GeoGebra
On conjecture que la zone de baignade a une aire maximale lorsque AB = 37,5 m et donc BC = 75 m.
On remarquera que 75 m est la moitié de 150 m et que 37,5 m et la moitié des 75 m restants. En pratique, cela aidera
Tony à réaliser sa zone de baignade.
Entre nous
La justification algébrique de cette conjecture interviendra au lycée (elle n’est envisageable en 4e que pour des
classes ou des élèves ayant un bon potentiel).
S = a(150 – 2a) = –2a2 + 150a
75 2 5 625
+
On introduit l’écriture –2 a −
et on demande de vérifier en développant et réduisant qu’il s’agit bien
2
2
d’une autre écriture de S.
5 625
75 2
En remarquant que –2 a −
 0, on déduit que quelle que soit la valeur de a, S 
.
2
2
On conclut que l’aire de la zone de baignade est maximale (et égale à 2 812,5 m2) lorsque a = 37,5 m.
(
(
)
)
11

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