DS n°2

MP 2014/2015
DS n°2
Les trois problèmes de ce sujet sont complètement indépendants..
Il sera tenu le plus grand compte de la précision des réponses, de la qualité de la rédaction
ainsi que de l’orthographe.
On rappelle les relations de conjugaison pour les lentilles minces :
−
Formule de conjugaison avec origine au centre (formule de Descartes) :
Formule de conjugaison avec origine au Foyer (formule de Newton) :
1
1
1
1
+
=
=
OA OA ' FO f '
FA.F ' A ' = − f '2
γ =
Formule du grandissement transversal :
A ' B ' OA ' FO F ' A '
=
=
AB = OA
FA F 'O
Problème n°1: Filtrage d’une onde modulée en amplitude
On s’intéresse dans ce problème à la réception par un récepteur radio d’une station émettant en
modulation d’amplitude (AM également appelée « grandes ondes »).
L’émetteur radio « module » l’amplitude de l’onde a envoyer (pulsation Ω) par une onde « porteuse »
(pulsation ωp).
Le récepteur radio détecte une onde modulée en amplitude à la fréquence fΩ = Ω/2π.
L’onde captée par le récepteur génère un signal ue qui est ensuite filtré.
Dans ce problème on s’intéresse au filtrage de l’onde radio modulée en amplitude.
1) Tension modulée
La tension aux bornes du récepteur a pour expression :
ue(t) = Um[cos(ωpt) + C.cos((ωp+ Ω)t)+C.cos((ωp- Ω)t)]
où fp = ωp/2π est la fréquence de la porteuse et C une constante (0 < C < 1).
1-a) Tracer le spectre fréquentiel de ue.
1-b) Montrer que ue peut se mettre sous la forme :
ue(t) = A(t)cos(ωpt) avec A(t) = Um(1+m.cos(Ωt))
2) Etude du filtre
La fonction de transfert du filtre est :
H =
G0
fp
f
1 + jQ( − )
fp
f
Fréquence centrale fp et facteur de qualité Q.
On note GdB le gain en décibel et on pose x = f/fp = ω/ωp
2-a) Ecrire l’équation de l’asymptote haute fréquence donnant GdB en fonction de log(x).
2-b) Donner de même l’équation de l’asymptote basse fréquence.
2-c) Déterminer GdB pour x = 1.
2-d) Tracer, sur un même graphique de la feuille réponse, les asymptotes calculées en a et b et le
diagramme de Bode donnant GdB, en fonction de log(x) (préciser numériquement quelques points de ce
diagramme en prenant : G0 = 10 et Q = 10 ; ne pas tracer le diagramme de la phase ).
2-e) Montrer que, si x est voisin de la valeur 1, H s'écrit de manière approchée :
G0
H =
1 + 2 jQ(x − 1)
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page1/10
3) filtrage.
On pose x=f/fp. Les données sont ωp, Ω, Um, C , Q et G0.
3-a) A partir de l'expression approchée de H donnée en 2-e) , déterminer les équations horaires de sortie
correspondant , dans la tension de sortie us, à chacun des 3 termes de la tension modulée ue. Pour cela,
compléter le tableau sur la feuille réponse.
3-b) En déduire que la tension de sortie du filtre s'écrit : us = G0. Um(1+m'.cos(Ωt – Φ) cos(ωpt) ; donner
les expressions littérales de m' et Φ.
3-c) Tracer le spectre fréquentiel de us; quel est l'intérêt de ce filtrage?
Problème n°2: Interférométrie stellaire (d’après l’épreuve du Concours Banque
PT 2008)
A- Lunette astronomique
Une lunette astronomique est schématisée par deux lentilles minces convergentes, l'une notée L1 et appelée
objectif, de focale f'1 = 100cm et l'autre, notée L2 et appelée oculaire, de focale f' 2 = 2cm . Le plan focal image
de L1 est confondu avec le plan focal objet de L2 . Le centre optique de L1 est noté O1 et celui de L2 est noté O2 .
Le point focal image de L1 est noté F'1 et le point focal objet de L2 est noté F2 .
La lunette est utilisée dans les conditions de Gauss,
1- Représenter sur le document réponse 1 du feuillet mobile, le trajet des émergents associés à un rayon incident
parallèle à l'axe optique.
2- Représenter sur le document réponse 2 du feuillet mobile, le trajet des émergents associés à un rayon incident
qui fait un angle α avec l'axe optique. On notera B1 le point d'intersection de ce rayon avec le plan focal image de
L1 et α’ l'angle que fait le rayon émergent de L2 avec l'axe optique. Penser à rendre le feuillet mobile avec la
copie.
α'
3- Déterminer le grossissement (angulaire) G =
en fonction de f' 1 et f' 2 .
α
4- Application numérique : calculer G.
B- Mesure de la distance angulaire des composantes d'une étoile double
On utilise la lunette précédente qu'on dirige vers un groupe de deux étoiles très voisines S1 et S 2 qu'on suppose
ponctuelles. Elles émettent une même lumière monochromatique de longueur d'onde λ = 0,6μm d'intensités
respectives I1 et I 2 . La face d'entrée de l'objectif est masquée par un écran, représenté en figure 1 page
suivante, percé de deux fines fentes de Young, parallèles, et perpendiculaires au plan de cette figure 1, qui
contient les sources S1 , S 2 et l'axe optique ; on peut faire varier la distance, notée e , entre ces deux fentes fines
notées A1 et A2 . Toute l'étude qui suit se fait dans le plan focal image de L1 de sorte que la présence de l'oculaire
n'a pas d'importance dans cette partie.
Les fentes sont supposées de très grande longueur. On prendra n = 1.
On dispose la lunette de sorte que S1 et S 2 soient symétriques par rapport à son axe optique. Celui-ci fait donc
les angles ε / 2 avec la direction de S1 et −ε / 2 avec celle de S 2 , ε étant la distance angulaire entre S1 et S 2 .
Le dispositif est représenté sur la figure 1, ci-dessous. Seuls trois rayons issus de S1 sont représentés sur cette
figure.
1-1 Les deux étoiles constituent-elles des sources cohérentes? Que peut-on en déduire en ce qui concerne les
éclairements qu'elles produisent dans le plan focal image de L1 ?
1-2 On cherche l'aspect du plan focal image de L1 si S1 était seule. Exprimer la différence de marche, au point
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page2/10
M d'abscisse x , entre les deux ondes issues de S1 , passant par A1 et A2 , en fonction de e , ε , x et f' 1 ,
focale de L1 . On suppose f'1 >> e et f'1 >> x .
1-3 En déduire l'éclairement au point M en fonction de e , ε , x , f' 1 , λ et I1 .
1-4 Déterminer l'interfrange de la figure d'interférences ainsi produite en fonction de λ , f' 1 et e .
1-5 Application numérique : calculer l'interfrange avec e = 6mm et f'1 = 100cm .
1-6 Donner sans calcul la différence de marche pour S 2 supposée seule. En déduire l’éclairement pour S2 seule.
Quelle est l’interfrange ?
2- On suppose, dans cette partie S1 et S 2 de même intensité.
2-1 Déterminer l'éclairement total au point M résultant des deux composantes de l'étoile double. Déterminer les
valeurs maximales et minimales de l'éclairement.
2-2 En déduire le contraste du système de franges et montrer que les franges disparaissent pour certaines valeurs
de e .
2-3 La photographie en annexe donne une image de l’étoile double « La volante de Piazzi, 61 Cygni » dans la
constellation du Cygne prise par la lunette astronomique étudiée en A.
Déterminer la distance angulaire entre les deux composantes de l'étoile double.
En déduire la distance minimale emin entre les trous d’Young permettant d’observer la première annulation du
contraste.
A1
M(x)
ε/2
O1
F'1
A2
Plan focal image de L1
L1
Figure 1
Problème n°3: Interféromètre de Michelson : Conception
« lambdamètre » (d’après l’épreuve du Concours E3A PSI 2009)
d’un
Le problème se décompose en deux parties corrélées entre elles : l’interféromètre de Michelson (première partie)
et la conception d’un lambdamètre (deuxième partie).
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
•
les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les
développements analytiques et les applications numériques ;
•
tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d’aider à la compréhension du
problème ;
•
tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s’il n’a pas été démontré
par les candidat(e)s ;
Les lambdamètres permettent de mesurer avec une excellente précision la longueur d’onde d’une source
laser. Sans mettre en œuvre un lourd dispositif de spectroscopie, ils sont basés sur des principes d’interférométrie.
Le principe du lambdamètre décrit dans ce problème est dérivé de l’interféromètre de Michelson.
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page3/10
La propagation de l’onde lumineuse s’effectue dans un milieu transparent, diélectrique, linéaire, homogène
et isotrope (DLHI).
−1
8
La vitesse de la lumière dans le vide est notée c = 3.10 m.s .
Première partie : INTERFEROMETRE DE MICHELSON
Les ondes se propagent dans le vide.
La figure 3 correspond au schéma de principe de l’interféromètre de Michelson. Les miroirs sont réglés de telle
sorte que sont observés, par projection à l’aide d’une lentille convergente (L), des anneaux d’interférence
circulaires sur le plan d’observation (E). Ce plan est situé dans le plan focal de la lentille (L) ; celle-ci est
parfaitement stigmatique, de distance focale image f ’ et son axe Oz coupe l’écran en B. Posons OB = D.
L’interféromètre supposé idéal est constitué :
• d’une lame semi-réfléchissante dite séparatrice (Sp) qui réfléchit la moitié de la lumière qu’elle reçoit ;
l’origine O du repère est centrée sur la séparatrice qui fait un angle invariable de π /4 avec les axes Ox et
Oz ; les déphasages introduits par la séparatrice ne sont pas pris en compte car ils sont compensés par
une lame compensatrice (non représentée sur la figure 3) réglée parallèlement à la séparatrice.
• de deux miroirs réglables (M1) et (M2) parfaitement plans, perpendiculaires au plan de la figure et dont les
orientations fixes font un angle égal à π /4 par rapport à l’orientation de la lame séparatrice (Sp) ; le
miroir (M1) est susceptible de subir un mouvement de translation parallèlement à la direction Oz alors que
le miroir (M2) reste fixe, la distance qui le sépare de l’origine O est notée L0.
Seules seront considérées des ondes ayant été réfléchies une et une seule fois sur la lame séparatrice. A partir de la
situation de référence où (M1) est confondu avec l’image de (M2) par la séparatrice (Sp), le miroir (M1) subit une
translation de longueur e comptée positivement si le miroir s’éloigne de la séparatrice.
z
(M1)
e
image de M2 par
la séparatrice
Figure 3
(M2)
(Sp)
S
LS
x
L0
O
D
(L)
O’
f'
θ
(E)
B
ρ
M
plan focal
image
A / Anneaux d’égale inclinaison
L’éclairement obtenu sur l’écran en occultant l’une des deux sources est noté E0.
La source S monochromatique, de longueur d’onde λ0, est placée à la distance finie LS = SO de la séparatrice.
La lentille (L) est stigmatique et n’introduit aucune différence de marche.
A-1*a. A l’aide d’un schéma équivalent, déterminer la différence de marche δ1/2 (M) = (SM)1 − (SM)2 en fonction
( O 'B, O'M) .
de e et l’angle θ =
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page4/10
A-1*b La distance qui sépare les points M et B sur l’écran (E) est notée ρ = BM . Avec la condition ρ<<f’,
exprimer la différence de marche δ1/2 (M) = (SM)1 − (SM)2 en fonction de ρ, e et f ' .
Déterminer, en fonction de e, la différence de marche ∆ = δ(B) obtenue en B pour ρ = 0.
A-2*a. Exprimer l’éclairement E(ρ) obtenu en M en fonction de ρ, e, f ' , λ0 et E0. En déduire que la figure
d’interférence projetée sur (E) est constituée d’anneaux concentriques centrés sur B.
A-2*b. Le centre B des anneaux correspond à un maximum d’intensité. Quel est l’ordre d’interférence p0, supposé
entier, au centre des anneaux ? Déterminer le rayon ρk du kième anneau brillant compté à partir du centre
en fonction de e, f ' , λ0 et de son ordre d’interférence pk.
A-2*c. Exprimer k en fonction de p0 et pk ; en déduire l’expression de ρk en fonction de e, f ' , λ0 et k. Déterminer
ρk en fonction de k et de ρ1, le rayon du premier anneau compté à partir du centre.
A-2*d. Quel est le phénomène observé sur l’écran quand l’interféromètre est réglé au contact optique (c'est-à-dire
quand e = 0) ?
Décrire, en la justifiant, l’évolution des anneaux lorsque la valeur de l’épaisseur e de la lame d’air est
progressivement augmentée :
• les anneaux semblent-ils "entrer" ou "sortir" du centre ?
• y a-t-il un nombre croissant ou décroissant d’anneaux visibles sur l’écran ?
A-2*e. Une lame à faces parallèles d’indice nlame et d’épaisseur elame = 8 µm est ajoutée devant et parallèlement
au miroir mobile (M1). Pour une source monochromatique de longueur d’onde λ0 = 500 nm, un brusque
déplacement de 16 anneaux brillants au centre est alors observé. Evaluer numériquement l’indice de la
lame nlame.
A-3.
A quelle condition l’utilisation d’une source étendue est-elle possible dans ce montage ?
B / Analyse d’interférogrammes
Le miroir (M1) est mobile entre e = 0 et e = Lmax ( Lmax > 0).
Un détecteur ponctuel est placé au centre B du système d’anneaux. Il délivre un signal électrique u(∆)
proportionnel à l’éclairement qu’il reçoit ; ce signal dépend de la différence de marche ∆ .
L’accroissement de e par translation du miroir (M1) entraîne une variation du chemin optique en B de ∆= 0 à
∆= ∆max et, par conséquent, un défilement des anneaux. Le déplacement de (M1) est contrôlé par un dispositif
informatique qui enregistre dans le même temps l’éclairement E(∆) en B. On appelle interférogramme E (∆)
l’enregistrement de l’évolution de l’éclairement E en fonction de ∆ .
L’éclairement obtenu sur l’écran en occultant l’une des deux sources est noté E0.
B-1) Source monochromatique idéale
L’interféromètre est éclairé par une source monochromatique, de longueur d’onde λ0 et de pulsation ω0.
B-1*a. Exprimer l’éclairement E(∆) en fonction de ∆, ω0, E0 et de la célérité de la lumière c.
B-1*b. Représenter l’interférogramme E(∆) en fonction de ∆ et indiquer ses paramètres caractéristiques.
Justifier qu’au cours du déplacement du miroir (M1) à la vitesse constante V, un scintillement de
fréquence ν proportionnelle à V est visible au centre B des anneaux.
Ce scintillement est détecté au moyen d’une photodiode.
B-2) Source délivrant deux ondes de pulsations voisines
La source émet, avec la même intensité, deux ondes monochromatiques de pulsations ω1 et ω2 voisines de la
1
pulsation moyenne ω0 = (ω1 + ω2 ) , avec δω = ω2- ω1 << ω0.
2
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page5/10
B-2*a. Déterminer l’éclairement E (∆) en fonction de ∆, ω0, E0, c et de l’écart δω = ω2 − ω1 .
Montrer que son expression diffère de l’éclairement de la question E1*a précédente par le facteur γ(∆)
appelé degré de cohérence temporelle qui sera précisé. En déduire le contraste C(∆).
Lors du déplacement du miroir (M1), le contraste varie périodiquement et s’annule en des points dits "points
d’anticoïncidence" ; il y a alors brouillage de la figure d’interférence.
L’interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de sodium de longueur d’onde moyenne λ0 = 589,3 nm. Lors
de la translation du miroir (M1), un éclairement uniforme de l’écran est observé – il correspond à une
anticoïncidence – pour deux valeurs successives de l’épaisseur e de la lame d’air obtenue entre (M1) et l’image de
(M2) par la séparatrice. Grace à l’enregistrement réalise par la photodiode en B, on évalue la distance ∆e = 0,29
mm entre 2 annulations du contraste.
B-2*b. Déterminer numériquement l’écart δλ entre les deux longueurs d’onde du doublet.
B-3) Source à profil rectangulaire
Pour simplifier les calculs, la source lumineuse est supposée présenter un spectre rectangulaire centré sur la
pulsation ω0, de largeur spectrale δω. On écrit ainsi les pulsations ω comprise dans le spectre :
δω
δω 

ω ∈ ω0 −
, ω0 +
.
2
2 

B-3*a. Evaluer ω0 et δω dans le cas d’une source de lumière blanche.
B-3*b. Montrer, sans calcul, que les franges d’interférence restent bien contrastées tant que ∆ vérifie la relation :
|∆| ≤ ∆c. Exprimer ∆c en fonction de c et δω, puis en fonction de λ 0 et δλ.
∆ c est appelé longueur de cohérence.
Chaque train d’ondes possède une phase à l’origine ϕS aléatoire au cours du temps. Il est limité dans le temps par
sa durée de cohérence τc et dans l’espace par sa longueur de cohérence ∆ c = c τ c .
B-3*c. Précisez la signification de ∆c et commenter la condition d’interférences |∆| ≤ ∆c.
B-3*d. Evaluer la longueur de cohérence de la lumière blanche.
Répondre à cette même question dans le cas d’un laser de longueur d’onde λ 0 = 600 nm et dont la largeur de
raie vaut δλ = 10 -6 nm.
Deuxième partie : DOUBLE INTERFEROMETRE DE MICHELSON : LAMBDAMETRE
Le lambdamètre (figure 4) a été élaboré pour mesurer rapidement la longueur d’onde d’un laser stabilisé. Il se
présente comme un double interféromètre de Michelson qui compare la longueur d’onde inconnue d’un laser
stabilisé avec la longueur d’onde connue d’un laser de référence : le laser Hélium-Néon stabilisé sur la raie
d’absorption "i" de l’iode à λ0 = 632,8 nm .
Le lambdamètre ne nécessite qu’une séparatrice (Sp), deux coins de cube identiques et un miroir réglable
(M). Tous les angles de réflexion sont égaux à π /4.
Les "coins de cube" sont des réflecteurs qui ont la propriété de renvoyer la lumière dans la même
direction que celle de réception. Ils sont en verre d’indice n 1,5 et les trois angles au sommet font chacun 90°
avec une précision meilleure que la seconde d’arc. Un rayon lumineux tombant sur une des trois faces du coin va
se réfléchir trois fois successivement et donc se décaler faiblement en position pour ressortir parallèlement à sa
direction incidente.
Le coin de cube 2 est mobile, il se déplace verticalement dans une enceinte où le vide est réalisé. Il est
suffisamment lourd pour rendre les frottements négligeables lors de la translation. Il est attaché à la poulie d’un
moteur pas à pas par l’intermédiaire d’un fil et guidé dans un tube en inox. Les concepteurs ont cherché à se
rapprocher le plus possible de la chute libre.
Les longueurs de cohérence du laser étalon et du laser CO2 stabilisé sont respectivement de l’ordre de 300
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page6/10
m et 30 km.
g
vide
coin de cube
2
Figure 4
Laser étalon
He-Ne
LASER 1
(Sp)
S1
coin de cube
1
A
(L1)
(D1)
B
f'
Laser CO2
LASER 2
S2
(L2)
f'
(M)
(D2)
C-1*a. Le rayon issu du laser 1 arrive en A sur la lame semi-réfléchissante : représenter sur un schéma les
chemins optiques des deux rayons qui vont interférer.
L’anneau central de la figure d’interférences est détecté par la photodiode (D1).
C-1*b. Le rayon issu du laser 2 arrive en B sur la lame semi-réfléchissante : représenter sur un schéma les trajets
optiques des deux rayons qui vont interférer.
L’anneau central de la figure d’interférences est détecté par la photodiode (D2).
C-1*c. Comparer les différences de marche pour les lasers 1 et 2 respectivement aux centres (D1) et (D2) des
deux figures d’interférences.
Le laser 1 est le laser étalon de longueur d’onde λ1 = 632,8 nm . Le laser 2 est un laser CO2 stabilisé dont la
longueur d’onde λ2 est à déterminer. Lors de la chute du coin de cube 2, un compteur évalue à p1 = 3 160 556 le
nombre de scintillements détectés par (D1) et, dans le même temps, p2 = 188 679 scintillements sont détectés par
(D2).
C-2.
A l’aide de ces mesures, évaluer λ2 (en µm).
C-3.
Citer deux avantages de l’utilisation des coins de cubes pour le fonctionnement du lambdamètre. Pourquoi
le vide a-t-il été établi sur la longueur de déplacement du coin de cube ?
C-4.
Calculer la hauteur de chute e du coin de cube mobile. Comparer à la longueur de cohérence des lasers et
commenter.
C-5.
Déterminer la durée tchute de la chute supposée libre du coin de cube, sachant que l’intensité du champ de
pesanteur est g = 10 m.s-2. Commenter.
C-6.
Le comptage des franges s’effectue à la frange près. En considérant que la longueur d’onde étalon λ1 est
connue sans incertitude, indiquer l’incertitude relative sur l’évaluation de λ2. Commenter.
On donne pour f = x/y et pour f = x.y :
l’incertitude-type u(f) est donnée, en fonction des incertitudes-type u(x) et u(y) sur les variables x et y par :
2
u(f )
 u(x )   u(y ) 
= 

 +
f
 x   y 
2
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page7/10
NOM :
Prénom :
Document réponse – Problème n°1
Feuillet mobile à rendre avec la copie
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page8/10
Document réponse – problème n°2 ( Partie A)
Feuillet mobile à rendre avec la copie
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page9/10
Annexe problème n°2 ( Partie B)
Observation de l’étoile double « La volante de Piazzi, 61 Cygni » (constellation du Cygne)
:
4°10’ = 250’ (‘ = minute d’angle)
Mercredi 15 octobre 2014 – durée : 4 heures
© JM DUCRET
Page10/10

Download Report