Übungsblatt 4

Stochastische Finanzmärkte
Vorlesung: Prof. Dr. Thorsten Schmidt
Übung: Dipl.-Math. oec. Yves Läßig
WS 14/15
www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima
Übung 4
Abgabetermin Hausaufgaben: 10.11.2014
(im Büro Reichenhainer Str. 41/716 oder – deutlich markiert – im Briefkasten von Frau Schönyan
neben Büro 41/713)
Aufgabe 1. Wir betrachten einen einperiodigen Finanzmarkt mit festem Zins r = 0,05 und
einer Aktie mit Preis S01 = 1 und drei möglichen Werten am Periodenende S11 ∈ {0,9; 1,05; 1,1}.
Zusätzlich sei eine Call-Option mit Strike K = 1 gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass der Call nicht erreichbar ist.
(b) Berechnen Sie Preisschranken für den Wert des Calls.
(c) Wir bezeichnen mit V¯ die Menge aller erreichbaren Ansprüche V mit V (ω1 ) = 1,05. Cha¯
rakterisieren Sie diese Menge und berechnen Sie den Preis für ein V ∈ V.
Aufgabe 2. Es sei Ω = {ω1 , ω2 , ω3 } versehen mit einem W-Maß P, sodass P(ωi ) > 0 gelte für
i = 1,2,3. Gegeben sei weiterhin ein Bankkonto mit π0 = 1 und S0 = 1 sowie eine Aktie mit
π1 = 1 und 0 < S1 (ω1 ) < S1 (ω2 ) < S1 (ω3 ). Wir nehmen an, dass der Markt arbitragefrei ist.
Konstruieren Sie einen nicht erreichbaren bedingten Anspruch.
Aufgabe 3. Gegeben sei Ω = {ω1 , . . . , ωn } und ein W-Maß P mit P(ωi ) > 0 für i = 1, . . . , n.
Auf diesem W-Raum betrachten wir einen Markt mit r = 0 sowie einer riskanten Anlage mit
Preis S01 = 1 und
0 < S11 (ω1 ) < S11 (ω2 ) < . . . < S11 (ωn ).
Außerdem gelte S11 (ω1 ) < 1 < S11 (ωn ).
Zeigen Sie, dass es Strikes K1 , . . . , Kn−2 > 0 und Preise πCKi gibt, sodass die zugehörigen CallOptionen den Markt vervollständigen, d. h. dass der um die Calls erweiterte Markt arbitragefrei
und vollständig ist.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass auf einem arbitragefreien Markt ein Super-Hedge ξ¯ ∈ Rd+1 eines
bedingten Anspruchs C genau dann konstruiert werden kann, wenn das dafür verfügbare Kapital
κ ≥ πsup (C) ist.
Hausaufgabe 1. (Fin+Math) 3 Punkte. Auf einem einperiodigen Finanzmarkt seien ein Bankkonto mit Zins r = 0,05 und eine Aktie zum Preis S01 = 1 verfügbar. Zum Ende der Periode gilt
für den Aktienkurs S11 ∈ {1,2; 1,1; 0,85}, wobei alle drei Szenarien positive Wahrscheinlichkeit
haben. Sie bekommen eine Call-Option mit Strike K = 1,05 zum Preis von 0,1 angeboten. Ist
dieser Preis akzeptabel?
Hausaufgabe 2. (Fin+Math) 6 Punkte. Wir betrachten einen einperiodigen Markt mit drei
Anlageformen. Die Preise der Anlagen seien π0 = 1, π1 = 2 und π3 = 3. Weiterhin gelte S0 = 1,1
und für die beiden anderen Papiere seien drei Szenarien denkbar mit




3
für
ω
=
ω
für ω = ω1
1

4
3
10
S1 (ω) =
und
S2 (ω) =
/2 für ω = ω2
/3 für ω = ω2 .


3

/2 für ω = ω3
2
für ω = ω3
(a) Beweisen Sie, dass der Markt vollständig ist, indem sie zeigen, dass jeder bedingte Anspruch
replizierbar ist.
(b) Beweisen Sie die Vollständigkeit des Marktes auf eine alternative Weise im Vergleich zur
Teilaufgabe (a).
(c) Bewerten Sie ein Portfolio, bestehend aus einem gekauften Call auf S1 mit Strike K1 = 3/2
und einem gekauften Put auf S2 mit Strike K2 = 10/3.

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