Blatt 6

Finanzmathematik in diskreter Zeit
SS 15
Vorlesung: Prof. Dr. Thorsten Schmidt
Übung: Wahid Khosrawi-Sardroudi
http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vorlesungen/vvSS2015/VorFinMath/
Übung 6
Abgabetermin Hausaufgaben:
Aufgabe 1
Sie
21.05.2015 zu
Beginn
der nächsten Übung
(4 Punkte). Beweisen Sie die erste Aussage von Satz 7 aus der Vorlesung, d.h. zeigen
(1)
Π(H) = {EQ [H] : Q ∈ M}.
(1+1+1 Punkte). Als Protdiagramm bezeichnet man den Graphen der Auszahlung
zur Ende der Laufzeit als Funktion des Preises zur Ende der Laufzeit.
(a) Zeichnen Sie das Protdiagramm einer Call-Option mit Strike K1 , einer Put-Option mit
Strike K2 und einem Portfolio bestehend aus jeweils einer der vorigen beiden Optionen,
wobei wir in allen Fällen Optionen auf den selben Basiswert S und mit gleicher Maturität
betrachten. Es gilt K1 < K2 .
(b) Wir betrachten eine Europäische Option auf eine Aktie S mit Maturität T welche das
folgende Protdiagramm hat: Stellen Sie ein Portfolio auf, bestehend aus Call- und PutAufgabe 2
CT
K1
K2
K3
ST
Optionen auf S mit Maturität T welches das gleiche Protdiagramm erzeugt.
(c) Wie in (b), nur diesmal für das Protdiagramm
CT
K1
K2
K3
K3
ST
Aufgabe 3
Sie
(3 Punkte). Leiten Sie die Put-Call-Parität für europäische Optionen her, d.h. zeigen
C −P =S−
1
K,
1+r
(2)
wobei C der Preis einer Call-Option ist, P derjenige einer Put-Option, S der heutige Preis der
Zugrunde liegenden Aktie, r der Zinssatz für ein Jahr und K der Strike. Es reicht diese Parität
für ein Einperiodenmodell mit T = ein Jahr zu zeigen.
Hinweis: Betrachten Sie zwei verschiedene Handelsstrategien.
(2+1+2+3 Punkte). Wir betrachten das CRR Modell in T perioden mit äquidistanten Zeitschritten.
Aufgabe 4
(a) Implementiren Sie eine Funktion in R, die den Preis einer Europäischen Call Option bestimmt, wobei die Funktion die Parameter S = Preis zum Zeitpunkt 0 , K = Strike, T =
Maturiät der Option und Zeitschritte, d und u wie in der Vorlesung und r der Zinssatzu
für eine Zeitperiode als Funktionsparameter übernimmt. Bestimmen Sie den Preis für die
Werte T = 5, K = 1.5, S = 1, r = 0.1, u = −0.1, d = 0.15
(b) Erweitern Sie die Funktion in (a) um auch Put-Optionen zu bewerten und überprüfen Sie
mit der Put-Call-Parität für die Parameter wie in (a).
(c) Gegeben sei das Blasck-Scholes Modell mit S = S0 = 1, r = 0, T = 1, σ = 0.2, µ = 0.
Bestimmen Sie die Formel für den Arbitrage freien Preis einer europäischen Call-Option.
(d) Nutzen Sie das CRR Modell um den Preis einer europäischen Call-Option im Black-Scholes
Modell zu approximieren. Finden Sie dazu geignete Folgen von Modellparametern und
unterteilen Sie die Zeit bis zur Maturität in N = 1, 2, ..., 30 Schritten. Plotten Sie die
approximierten Preise als Funktion von N und zeichnen Sie den korekten Black-Scholes
Preis ein. Geben Sie auch die von Ihnen genutzten Parameterfolgen an.

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