Übungsblatt 4

Prof. Dr. Martin Keller-Ressel
Technische Universität Dresden
Institut für mathematische Stochastik
Übungen zur Finanzmathematik
Aufgabenblatt 4
Übungstermin 14. Juni 2016
Aufgabe 1. Seien u und v Bernoullische Nutzenfunktionen. Zeigen Sie die
Äquivalenz der folgenden Aussagen (vgl. VL Prop. 3.5):
i) c∗ (X, u) ≤ c∗ (X, v) ∀X ∈ L1 (P)
ii) es existiert eine monoton wachsende, konkave Funktion g, sodass
u=g◦v
Falls zusätzlich u, v ∈ C 2 gilt, so ist ebenfalls äquivalent:
iii) Au (x) ≥ Av (x) ∀x ∈ R
Aufgabe 2.
a) Bestimmen Sie alle Nutzenfunktionen mit
i) konstanter absoluter Risikoaversion Au (x) = γ > 0
ii) konstanter relativer Risikoaversion Ru (x) = α > 0.
b) Reduzieren Sie die Anzahl der Parameter und stellen Sie die Nutzenfunktionen so dar, dass für unterschiedliche Parameter unterschiedliche
Präferenzordnungen entstehen.
Aufgabe 3. Wir betrachten ein einperiodiges Finanzmarktmodell mit risikofreiem
Numeraire und einem risikobehafteten Wertpapier auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), wobei Ω = {ω1 , ω2 , ω3 }, F := 2Ω und pi := P({ωi }) > 0 für
alle i = 1, 2, 3. Der Numeraire S 0 sei konstant 1, und für das Wertpapier S 1
gelte S01 = 1 und
S11 (ω1 ) :=
1
,
3
S11 (ω2 ) := 1,
S11 (ω3 ) :=
5
.
3
Sei uα (x) = −e−αx für x ∈ R die exponentielle Nutzenfunktion mit α > 0 .
a) Finden Sie das für die Nutzenfunktion uα optimale Portfolio ξ = ξ ∗ in S 1 ,
bei gegebenem Anfangskapital w.
b) Bestimmen Sie qi := Q∗ (ωi ) (i = 1, 2, 3) für das entsprechende äquivalente
Martingalmaß
dQ∗
u0α (w + ξ ∗ Y )
:=
,
dP
E [u0α (w + ξ ∗ Y )]
wobei Y := S11 − S01 = S11 − 1 und ξ ∗ die Lösung des Nutzenmaximierungsproblems sei. Wie hängt Q∗ von der Risikoaversion α ab?
Hinweis. Sollten Sie 3a) nicht lösen können, so dürfen Sie benutzen, dass
3
log( pp13 ).
ξ ∗ = 4α
Aufgabe 4. Beweisen Sie die sogenannte Doob-Zerlegung eines Supermartingals:
Sei (Xn )n∈N ein Supermartingal definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (Fn ), P). Dann existiert ein Martingal M und ein vorhersehbarer,
monoton fallender Prozess A mit A0 = 0, sodass
Xn = Mn + An .
Zudem ist diese Zerlegung P-fast sicher eindeutig.

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