WiSe 2014/15 Prof. Dr. Kai Zehmisch Dipl.-Math. Kilian Barth Kontaktgeometrie ¨ Ubungsblatt 3 Aufgabe 1. (a) Sei (W, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit, Y ein Liouville-Vektorfeld auf (W, ω) und H : W → R eine glatte Funktion. Sei weiter M = H −1 (c) eine regul¨are geschlossene Hyperfl¨ ache die transversal zu Y ist. Dann ist der Reeb-Fluß von α = iY ω eine Reparametrisierung des Hamiltonschen Flusses zu XH . (b) Zeigen Sie, daß α = rdθ + 21 xdy − ydx eine Kontaktform auf S 1 × S 2 ⊂ S 1 × R3 (mit S 1 -Koordinate θ und kartesischen Koordinaten r, x, y auf R3 ) definiert. Interpretieren Sie dieses Beispiel im Sinne von (a). Aufgabe 2. Finden Sie einen strikten Kontaktomorphismus (R2n+1 , α1 ) → (R2n+1 , α2 ) f¨ ur n xj dyj und α2 = dz + α1 = dz + j=1 Aufgabe 3. 1 2 n (xj dyj − yj dxj ). j=1 Auf S 3 ⊂ R4 betrachte man die C ∞ -Familie von 1-Formen αt = 1 1+t x1 dy1 − y1 dx1 + x2 dy2 − y2 dx2 2 2 mit t ∈ [0, ∞). (a) αt ist eine Kontaktform auf S 3 f¨ ur jedes t ∈ [0, ∞). (b) Es gibt keine Isotopie ψt von S 3 mit ψt∗ αt = α0 . Aufgabe 4. Sei ωt mit t ∈ [0, 1] eine C ∞ -Familie von k-Formen auf einer Mannigfaltigkeit M , und ψt mit t ∈ [0, 1] eine Diffeotopie von M . Es bezeichne Xt das zeitabh¨angige Vektorfeld, das durch Xt ◦ ψt = ψ˙ t gegeben ist. Beweisen Sie, daß folgende Beziehung gilt: d ∗ ψ ωt = ψt∗ ω˙ t + LXt ωt . dt t d Hinweis: Zeigen Sie zun¨ achst, daß f¨ ur eine zeitunabh¨angige k-Form ω die Beziehung dt ψt∗ ω = ∗ ψt LXt ωt gilt. Diese Beziehung folgt aus folgenden Beobachtungen: (i) Sie gilt f¨ ur Funktionen. (ii) Gilt sie f¨ ur ω und ω , so auch f¨ ur ω ∧ ω . (iii) Gilt sie f¨ ur ω, dann auch f¨ ur dω. (iv) Lokal wird die Algebra von Differentialformen von Funktionen und ihren Differentialen erzeugt. b.w. Bonusaufgabe. Sei M eine (2n + 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer 1-Form α und einer 2-Form ω. Das Paar (ω, α) heißt stabil Hamiltonsch, falls α ∧ ω n eine Volumenform auf M ist und ker ω ⊂ ker dα. Das Reeb-Vektorfeld R von (ω, α) ist durch iR ω = 0 und α(R) = 1 eindeutig festgelegt. ¨ Abgabe: Am 03.11.2014 in der Ubung.