Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt DOOR Versicherungstechnik Übungsblatt 2 Abgabe bis zum Dienstag, dem 21.10.2014 um 10 Uhr im Kasten 19 Aufgabe 5 Die bekannte und sehr praktische sog. „72er-Formel“ besagt: Wird ein Kapital B mit p % p. a. gemischt verzinst, so verdoppelt sich das Kapital in 72/p Jahren. Wie gut ist diese Näherung? (2 Punkte) Aufgabe 6 In der Praxis werden Zinsen nicht „kontinuierlich“, sondern zu diskreten Zeitpunkten gezahlt. Es sei i∆ der effektive Zins, der in einem Zeitintervall der Länge ∆ auf das Kapital der Höhe 1 1 · i∆ die nominelle jährliche Zinsrate bei 1 gezahlt wird. Wir bezeichnen dann mit j ( ∆ ) := ∆ ∆-jähriger Verzinsung. a) Berechnen Sie bitte jeweils den effektiven Jahreszins i für nominelle Zinsraten von 0,06 und 0,1 bei ein-, halb-, vierteljähriger, monatlicher und täglicher Verzinsung. b) Welchem effektivem Jahreszinsfuß entspricht ein monatlicher effektiver Zinsfuß von 0,5 % und 0,75 % bei monatlicher Aufzinsung? c) Welcher effektive Monatszins ist bei monatlicher Aufzinsung zu Grunde zu legen, wenn der Jahreszinsfuß 6 % bzw. 8 % betragen soll? d) Bestimmen Sie bitte die nominelle jährliche Zinsrate j (∞) bei m-tel jährlicher Zahlung für m → ∞. In diesem speziellen Fall werde die nominelle Zinsrate mit ϕ bezeichnet. (3 Punkte) Aufgabe 7 Die Zinsintensität ϕ ist ein Maß für die Güte der Verzinsung in einem Zeitintervall [t0 , t0 + ∆t]. Beschreibt die Kapitalfunktion K(t) das vorhandene Kapital zum Zeitpunkt t ≥ 0, dann ist K(t0 + ∆t) − K(t0 ) . ∆tց0 K(t0 ) · ∆t ϕ(t0 ) := lim a) Geben Sie bitte die Zinsintensität ϕ(t) zum Zeitpunkt t für die einfache Verzinsung an. (Hinweis: Einfache Verzinsung meint die lineare Verzinsung innerhalb eines Jahres.) b) Zu gegebener Zinsintensität lässt sich die Kapitalfunktion wie folgt berechnen: t K(t) = K(0) · e 0 ϕ(τ )dτ . Verifizieren Sie diese Formel bitte für die einfache Verzinsung. c) Es werde vorausgesetzt, dass die Zinsintensität für einen n-jährigen Beobachtungszeitraum konstant ist, d. h. es gilt ϕ(t) ≡ ϕ für alle t ∈ [0, n]. Geben Sie den zentralen Zusammenhang zwischen ganzjähriger Verzinsung, m-tel jähriger Verzinsung bzw. kontinuierlicher Verzinsung mit Hilfe des effektiven Jahreszinssatzes i, der nominellen Jahreszinsrate j (m) und der Zinsintensität ϕ an, indem Sie zeigen, auf welchen Endwert K(n) ein Kapital K(0) in n Jahren anwächst. (3 Punkte)