Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler
Sommersemester 2016
3. Seminar (18.04. - 22.04.2016)
(Zahlenfolgen, Verzinsung)
1. Geben Sie Beispiele an:
(a) geometrische Folge
(b) arithmetische Folge
(c) monoton fallende Folge
(d) monoton wachsende Folge
(e) konvergente Folge
(f) divergente Folge
(g) konvergente Folge mit lim = 0 (sogenannte Nullfolge)
n→∞
2. Untersuchen Sie die Folgen {an }n=1,2,... reeller Zahlen auf Konvergenz.
Dabei sei an wie folgt gegeben:
(a) an =
2n+1
3n
+
3n
2n−1
(b) an = (1 + (−1)n ) 25
2
+n+1
(c) an = (−1)n 5nn2 −2n+3
(d) an =
1
n2
n
P
k
k=1
n
(e) an = (−2)
(f) an = 3n + (−2)n
(g) an = (1 +
1 n
)
3n
(h) an = (1 −
1 n+5
)
n−2
3. Untersuchen Sie die Zahlenfolgen {an }n=1,2,... auf Konvergenz.
Dabei sei an wie folgt gegeben:
(a) an = (100 + n1 )2
(b) an = 3−n (2n + (−2)n )
(c) an = 2−n (2n + (−2)n )
(d) an =
3n3 −2n2 +2n+4
4n4 +n2 −n
(e) an =
2n3 −n2 −n+1
3n3 −1
(f) an =
n3 +4n2 −2n
n2 −2n+4
1
4. Stellen Sie die Formeln für Kn bei
(a) einfacher Verzinsung
(b) Verzinsung mit Zinseszins
(c) stetiger Verzinsung
nach K0 , n und i um.
Dabei sei K0 das Anfangskapital,
n die Laufzeit in Jahren,
Kn das Kapital nach n Jahren,
p der Zinsfuß (Zinsen pro Jahr für ein Kapital K0 = 100 e) und
p
i der Zinssatz (Zinsen pro Jahr für ein Kapital K0 = 1e, i = 100
).
5. Man bringe 6000 e zu einer Bank mit 10% Zinsen. Auf welches Kapital wächst
dieser Betrag nach 4 Jahren, wenn er mit Zinseszins verzinst wird?
6. Ein Kapital von 15 000 e wird 8 Jahre mit 3 % und anschließend 4 Jahre mit 5 %
verzinst. Wie hoch ist das Endkapital nach diesen 12 Jahren bei Zinseszins ?
7. Eine in 3 Jahren fällige Schuld von 50 000 e soll sofort zurückgezahlt werden. Wie
viel müsste man heute zahlen, wenn 3 % Zinseszins zugrundegelegt werden ?
8. Bei welchem Zinsfuß wächst ein Kapital von 5 000 e in 7 Jahren auf 7035,50 e
(a) bei einfacher Verzinsung an?
(b) bei Zinseszins an?
9. Wie lange dauert es, bis sich
(a) 500e
(b) 5000e
(c) 5000000e
bei 7.5 % Zinseszins verdoppeln ?
10. Ein Anfangskapital K0 wird zinseszinslich bei konstantem Zinssatz angelegt. Nach
2 Jahren beträgt das Guthaben 76 000 e , nach 4 Jahren beträgt es 84 000 e .
Wie hoch waren Anfangskapital und Zinssatz?
Aufgaben zum weiteren Üben:
11. Eine in einem Jahr fällige Schuld von 5000 e soll sofort zurückgezahlt werden. Wie
viel müsste man heute zahlen, wenn 2.5 % Zinseszins zugrundegelegt werden ?
12. Ein Betrag der Höhe K0 ist in 5 Jahren bei Zinseszins mit 3% auf 147 500 e
angewachsen. Wie groß war K0 vor 5 Jahren?
13. Ein Betrag in Höhe K0 soll über 10 Jahre hinweg so angelegt werden, dass am Ende
der Laufzeit über genau 50 000 e verfügt werden kann.
Wie groß muss K0 sein, wenn man von Zinseszins mit 5 % ausgeht?
2
14. Ein Bankkunde leiht sich 1000 e und soll nach 3 Jahren unter Berücksichtigung von
Zinseszins 1100 e zurückzahlen. Wie groß ist der Zinsfuß p ?
15. Wie lange dauert es, bis sich ein Kapital bei 6 % Zinsen verdoppelt, wenn man
Zinseszins voraussetzt?
16. Ein Kapital von 5000 e wird zu 8% angelegt. Auf welchen Wert wächst das Kapital
in 4 Jahren
(a) bei jährlicher einfacher Verzinsung
(b) bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszins
(c) bei halbjährlicher Verzinsung mit Zinseszins
(d) bei vierteljährlicher Verzinsung mit Zinseszins
(e) bei monatlicher Verzinsung mit Zinseszins
(f) bei täglicher Verzinsung mit Zinseszins
(g) bei stetiger Verzinsung
an.
17. Übertragen und vervollständigen Sie folgende Tabelle für K0 = 1000 und p = 10 :
K1
K2
K3
K4
K5
K6
(a) bei jährlicher einfacher Verzinsung
(b) bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszins
(c) bei halbjährlicher Verzinsung mit Zinseszins
(d) bei vierteljährlicher Verzinsung mit Zinseszins
(e) bei monatlicher Verzinsung mit Zinseszins
(f) bei täglicher Verzinsung
(g) bei stetiger Verzinsung
18. Skizzieren Sie die Funktionen
ya (x) = 1 + 0, 1x
yb (x) = (1 + 0, 1)x
yg (x) = e0,1x
im Intervall x ∈ [0; 10] und stellen Sie einen Zusammenhang zur vorhergehenden
Aufgabe her.
19. Skizzieren Sie einige Folgeglieder zn der Folge komplexer Zahlen {zn }n∈N in der
Gaußschen Zahlenebene und untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz.
(a) zn = n + ni
n
i π
(b) zn = e 4
n
1 i π
(c) zn = e 4
n
(d) zn = (1 + n1 )(1 + i)
3
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