t - Université Claude Bernard Lyon 1

Chocs Endogènes et Exogènes
sur les Marchés Financiers
Y. Malevergne
L.P.M.C. – Université de Nice – Sophia Antipolis
I.S.F.A. – Université Claude Bernard Lyon I
Introduction
Variations de température
Lyon Bron, (1979-1999)
Taux de sismicité
Californie, (1978-2000)
Variations de prix
Standard & Poor’s 500, (1970-2000)
Introduction
• Chocs Exogènes
intervention extérieure
• Chocs Endogènes
auto organisation du
système:
– Imitation / Antagonisme
– Feed-back positif / négatif
Exemples
•Bouleversements climatiques,
• Variabilité intrinsèque: alternance glaciation / période de réchauffement,
• Eruption volcanique majeure, collision avec un astéroïde…
•Activité sismique,
•Activité liée aux mouvements tectoniques,
•Essais nucléaires sous-terrain…
•Crises financières,
•Issues de la dynamique internes des marchés,
•Liées à un événement déclencheur extérieur au système financier…
Peut-on distinguer ces deux types de
chocs ?
recherche de signatures
Peut-on trouver des précurseurs pour
les chocs endogènes ?
Le cas des marchés financiers
Modélisation microscopique
- Modèles d’opinions
Acheteurs / vendeurs
-
Modèles de prix
* équilibre offre / demande
* hors équilibre
Modélisation macroscopique
trouver un processus
aléatoire ad hoc
Qu’est ce qu’un marché financier ?
Rétroaction
Marché
financier
Flux d’information
Processus de prix
Chocs Externes
Recherche d’un modèle pour le
processus des rendements
• Contrainte théorique
- Absence d’opportunités d’arbitrage
• Contraintes empiriques
- Faits stylisés
La contrainte de non arbitrage
Arbitrage ⇔ Gain certain
⇔ Prix prédictibles
Le processus de prix est une martingale:
E [P(t + 1) I t ] = P (t )⋅ (1 + r0 )
Théorème de Monroe : Toute (semi-) martingale peut
s’exprimer comme une marche aléatoire brownienne
(standard) changée de temps.
B(T) : Brownien standard
ln P(t) = B(T(t))
⇒
T(t) est un processus aléatoire à incréments positifs, tel que T(0)=0
r∆t (t ) = ln P (t + ∆t ) − ln P (t )
P(t + ∆t ) − P(t )
≈
P(t )
= T (t + ∆t ) − T (t ) ⋅ B(1)
r∆t (t ) = σ ∆t (t ) ⋅ ε (t )
volatilité
N(0,1)
iid
Faits Stylisés
• Distributions de
rendements à queues
épaisses,
F ( x) = 1 − L ( x) ⋅ x − µ
F ( x) = 1 − e
( d)
− x
c
, c <1
Dow Jones 1896-2000, données journalières
Faits Stylisés
• Distributions de
rendements à queues
épaisses,
δx =10 min
δx = 40 min
δx = 160 min
δx = 1 jour
δx = 1 mois
- Convergence vers la
Gaussienne, à grande
échelle
Standard & Poor’s 500 future
Faits Stylisés
• Distributions à queues
épaisses,
• Clusters de volatilité,
⇒ mémoire longue
Standard & Poor’s 500, données journalières
Faits Stylisés
• Distributions à queues
épaisses,
• Clusters de volatilité,
Quasi-gaussien
ω (t ) = ln σ (t )
Cω (l ) = cov[ω (t ), ω (t + l )]
≈ λ2 ln
T
, l ≤ T.
l
[
Cσ 2 (l ) = cov σ 2 (t ), σ 2 (t + l )
∝l
− 4 λ2
.
]
S&P 500 future, τ = 10 min
D’après Muzy et al., Eur. Phys. J. B (2000)
Faits Stylisés
• Distributions à queues
épaisses,
• Clusters de volatilité,
• Multifractalité,
E r∆t ∝ ∆t ς ( q )
q
D’après Muzy et al. Quantitative Finance (2001)
Faits Stylisés
• Distributions à queues
épaisses,
• Clusters de volatilité,
• Multifractalité,
• Effet de levier,
corr (rt , σ t +τ ) < 0,τ > 0
corr (ε t , σ t +τ ) < 0
Effet de second ordre
D’après Bouchaud et al., PRL (2001)
Le modèle de marche aléatoire
multifractale (Bacry, Muzy et Delour)
r∆t (t ) = ε (t ) ⋅ σ ∆t (t ) = ε (t ) ⋅ exp[ω∆t (t )]
⎧
⎪ µ = 1 ln σ 2 ⋅ ∆ t − C ( 0 )
∆t
∆t
⎪
4
2
(à l’ordre O(λ ) près)
⎪
3 paramètres : ⎨C ∆ t (τ ) = cov[ ω ∆t (t ), ω ∆ t (t + τ )]
⎪
σ 2 ⋅ ∆t = σ ∆2t (t ),
⎛
⎞
T
2
⎪
⎟
= λ ⋅ ln ⎜
λ ≈ 10 −1 ,
⎜ τ + e −3 / 2 ⋅ ∆t ⎟
⎪
⎝
⎠
T ≈ 1 an
⎩
ω∆t(t) :
Processus Gaussien
(
)
t
ω∆t (t ) = µ ∆t + ∫ dτ η (τ ) K ∆t (t − τ )
−∞
Où :
η (t )
bruit blanc gaussien, flux d’information
∞
C∆t (τ ) = ∫ dt K ∆t (t ) ⋅ K ∆t (t + τ )
0
⎡ T ⋅ f sin(t )
⎤
+ O ( f∆t ⋅ ln( f∆t ))⎥
K ∆t ( f ) = 2λ ⋅ f ⎢ ∫ dt
t
⎣0
⎦
~ 2
2
−1
K ∆t (t ) ∝
λT
2
t
, ∆t << t << T
Comparaison MRW – données
réelles
Chocs Exogènes
Flux d’information :
ω0 ⋅ δ (t ) + η (t )
Choc externe
Bruit blanc
1
Eexo [σ (t ) ω0 ] − E[σ (t )] ∝
t
2
t
∫ dτ E
0
2
[σ (τ ) ω0 ] − E[σ (τ )] ∝ t
2
exo
2
1
Eexo [σ (t ) ω0 ] − E[σ (t )] ∝
t
2
2
σ 0 2 = e 2ω
0
Chocs Endogènes
η (t )
Flux d’information :
(Bruit blanc)
⎡
C (t )
C 2 (t ) ⎤
−2
Eendo σ (t ) ω0 = σ (t ) exp ⎢2(ω0 − µ ) ⋅
⎥
C
(
0
)
C
(
0
)
⎣
⎦
[
2
]
2
⎛T ⎞
2
= σ (t ) ⎜ ⎟
⎝t⎠
avec
2s
⎧
⎪α ( s ) = ⎛ Te 3 / 2 ⎞
⎪⎪
⎟⎟
ln⎜⎜
⎨
⎝ ∆t ⎠
⎪
ln(t / ∆t )
2
⎪β (t ) = 2λ
⎪⎩
ln Te 3 / 2 / ∆t
(
α ( s )+ β (t )
où s = ω0 − µ − C (0)
[
]
Eendo σ 2 (t ) ω0 ∝ t −α ( s )
)
∆t << t << ∆t e
s / λ2
, β (t ) << α ( s )
[
]
⎛T ⎞
2
2
Varendo σ (t ) ω0 = σ (t ) ⎜ ⎟
⎝t⎠
avec
2α ( s ) + 2 β ( t )
ln(T / t )
β ' (t ) = 2λ
ln Te3 / 2 / ∆t
2
[
(
]
Eendo σ 2 (t ) ω0 − σ 2 (t )
[
Varendo σ 2 (t ) ω0
]
⎛T ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝t⎠
)
≥
1
(
6λ2 ln t e3 / 2 / ∆t
>> 1
Tant que :
⎡⎛ Te 3 / 2 ⎞
⎢⎜
⎟⎟
⎜
⎢⎝ ∆t ⎠
⎣
4 λ2
∆t ≤ t ≤ 10 ⋅ ∆t
)
− 2 β '( t )
⎤
− 1⎥
⎥
⎦
Eendo [σ 2 (t ) ω0 ] ∝
1
t
α (s)
α linéaire en s = ω0 − µ − C (0)
σ 0 = e 2ω = σ (t ) 2 e 2 s
2
0
λ2=0.018
T= 1an
S=1
S=0
S=-1
(y) : ∆t = 40 min
() : ∆t = 1 jour
Bilan
• Choc exogène:
• Relaxation en t-1/2, indépendamment de l’amplitude du choc
• Choc endogène:
• Relaxation en t-α(s), fonction de l’amplitude du choc
• En pratique α(s) <1/2: la volatilité relaxe plus
lentement après un choc endogène qu’après un
choc exogène.
Source d’un Choc Endogène
t
W (t ) = ∫ dτ η (τ )
−∞
Eendo [W (t ) ω0 ] ∝ (ω0 − E[ω0 ]) ⋅ ∫ dτ K (−τ )
t
−∞
∆t
∆W (t ) ∝
, t<0
−t
without conditioning:
stationary process, average=0
conditioning to a large value ω0 :
non-stationary process, average # 0
Généralisation à d’autres systèmes
Sornette and Helmstetter, Phys. A (2003)

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