LES PROBLÈMES AUX LIMITES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE , Introduction à leur étude générale PAK H. G. GARNIR Chargé de cours à l'Université do Liège 195 8 BIRKHÂUSERVBELAGBASIL XJND STUTTGAET TABLE DES MATIÈRES Quelques notations Livre I : Théorie des espaces fonctionnels hilberticns I. Espaces fonctionnels linéaires II. Espaces linéaires à produit scalaire privilégié III. Espaces de Hilbert IV. Systèmes orthonormaux dans un espace de Hilbert V. Opérateurs linéaires d'un espace de Hilbert dans un autre — Généralités — Opérateurs linéaires bornés d'un espace de Hilbert dans un autre . . . — Opérateurs hermitiens d'un espace de Hilbert dans lui-même VI. Fonctionnelles définies dans un espace de Hilbert VII. Les théorèmes de la borne uniforme VIII. Etude de certains ensembles de fonctions et d'opérateurs paramétriques . — Ponctions et opérateurs scalairement indéfiniment dérivables — Fonctions et opérateurs holomorphes IX. Opérateurs inverses X. Ensemble résolvant d'un opérateur borné holomorphe dans tout le plan complexe Livre I I : Problème de Dirichlet-Neumann pour l'opérateur métaharmonique . . . . I. Solutions élémentaires et solutions faibles de l'opérateur métaharmonique — Généralités — Une solution élémentaire remarquable de l'opérateur métaharmonique . — Formule de représentation des solutions faibles de l'opérateur métaharmonique . . . . . — Propriétés complémentaires de la solution élémentaire . . . . . . . . 9 11 11 15 18 20 23 23 25 27 29 37 39 39 43 47 49 56 56 56 57 66 74 I I . Quelques espaces fonctionnels hilbertiens — L'espace L 2 (.E), [E: ensemble mesurable de En~\ — Dérivées dans L\°C(Û) par rapport à xeQ [Q: ouvert de E n ] - . . . . . — Les espaces V{Q) [Q: ouvert de En] — Les sous-espaces Ve(Q) de V(Q) [ e c û ] 79 79 87 92 96 I I I . Le problème de Dirichlet-Neumann pour l'opérateur métaharmonique . . — Position du problème de Dirichlet-Neumann — Opérateur de Green du problème de Dirichlet-Neumann lorsque z est réel et strictement positif — Opérateur de Green du problème de Dirichlet-Neumann pour z complexe non réel négatif ou nul 102 102 108 IV. Noyau de Green du problème de Dirichlet-Neumann 116 105 81 Table des Matières V. Le problème de Diriehlet-Neumann d'ordre a pour l'opérateur métaharmonique — Quelques nouveaux espaces fonctionnels hilbertiens — Position du problème de Dirichlet-Neumann d'ordre a — Opérateur de Green du problème de Dirichlet-Neumann d'ordre oc pour z réel et supérieur à a2 — Opérateur de Green du problème de Dirichlet-Neumann d'ordre a pour Siz> a2 — Dernière extension de la définition de l'opérateur de Greèn — Noyau de Green du problème de Dirichlet-Neumann d'ordre a — Application : étude du noyau de Green des problèmes de Dirichlet-Neumann projetables — Généralités — Forme réduite du noyau — La formule de descente — La formule de montée Livre I I I : L'opération J I. II. III. IV. V. Un espace de fonctions holomorphes Distributions par rapport au temps Définition et propriétés de l'opération J L'opération J réalise l'inversion de la transformation de Laplace Caractérisation des distributions définies par l'opération J Livre IV: Problème de Diriehlet-Ncumann pour les opérateurs des ondes et de la diffusion I. Position du problème — Les opérateurs étudiés et leurs solutions — Distributions par rapport au temps dans un espace de Hilbert — Position du problème de Dirichlet-Neumann — Solution mathématique et solution physique II. Unicité de la solution 129 129 132 133 135 139 142 143 143 144 146 149 151 151 154 157 163 167 169 169 169 171 172 174 176 III. Deuxlemmes IV. Existence de la solution — Distributions parmi les opérateurs d'un espace de Hilbert dans un autre . — Opérateur de Green — Le théorème d'existence V. Forme intégrale de la solution pour a > 0 — Le noyau de Green pour a, > 0 — Forme intégrale de l'opérateur de Green pour a > 0 — Formule résolutive pour a > 0 — Recherche et propriétés de la solution physique pour a > 0 VI. Problème de Dirichlet-Neumann local pour a > 0 178 180 180 182 190 190 190 197 200 201 202 VIL Forme intégrale de la solution pour a = 0, 6 > 0 — Noyau de Green pour a = 0, b > 0 — Forme intégrale de l'opérateur de Green pour a = 0, 6 > 0 — Formule résolutive pour a = 0, 6 > 0 — Propriétés de la solution physique pour a = 0, 6 > 0 — Etude approfondie de la solution physique relative à la donnée initiale . . VIII. Le problème de Dirichlet-Neumann d'ordre a pour a — 0, b > 0 204 204 214 216 217 221 228 Indications bibliographiques 231