Video Introduzione Onde trasversali e onde longitudinali

Onde
Video Introduzione
Onde trasversali e onde longitudinali.
Lunghezza d'onda e frequenza.
Interferenza fra onde.
Battimenti.
Moto armonico smorzato e forzato
Antonio Pierro
Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email a antonio.pierro[at]gmail.com
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Video Introduzione 1/3
Le onde, un movimento di energia ma non di materia
Video Introduzione 2/3
Suono e Onde Sonore (parte 1/2)
Video Introduzione 3/3
Suono ed Onde Sonore (parte 2/2)
Onda - definizione e classificazione
Un'onda è una perturbazione che si propaga nello spazio,
trasportando energia e quantità di moto, ma non materia.
Le onde si possono dividere in onde:
Longitudinali
Trasversali
Onde longitudinali
Le onde si dicono longitudinali quando la direzione della
perturbazione è la stessa dello spostamento dell'onda.
Onde trasversali
Le onde si dicono trasversali quando la direzione della
perturbazione è perpendicolare a quella dello spostamento
dell'onda.
Grandezze caratteristiche delle onde
Le grandezze caratteristiche delle onde sono:
Ampiezza.
Periodo, frequenza e pulsazione.
Lunghezza d’onda.
Ampiezza
L'ampiezza dell'onda è lo spostamento massimo rispetto al
valore di equilibrio.
Dato che lo spostamento può essere sia positivo che negativo,
la massima variazione totale di questa grandezza è due volte
l'ampiezza.
Periodo, frequenza e pulsazione
La periodicità nel tempo dell'onda è determinata dal periodo T,
il cui reciproco è la frequenza:
%
1
=
=
T
1
2(
La costante 1 rappresenta la pulsazione o frequenza angolare
dell'onda.
Le grandezze T, % e 1 hanno lo stesso significato discusso
trattando il moto armonico.
Lunghezza d’onda
La periodicità nello spazio dell'onda è determinata dalla
lunghezza d’onda #, che rappresenta lo spazio percorso
dall'onda durante un periodo di oscillazione:
#
= v
1
T = v
1
%
È importante osservare che la lunghezza d'onda dipende sia
dalla frequenza, che è fissata dalla sorgente dell'onda, sia dalle
proprietà del mezzo in cui essa viaggia, cioè la velocità di
propagazione.
Equazione delle onde
Data una funzione scalare 0(x, y, z, t) si definisce equazione
d'onda la seguente equazione differenziale:
"
2
0(x, y, z, t)
1
=
v
2
0(x, y, z, t)
t
2
2
In una dimensione questa equazione si riduce a:
2
0(x, y, z, t)
2
x
2
1
=
v
2
2
0(x, y, z, t)
t
2
Equazione delle onde: dimostrazione
L'equazione delle onde può essere ricavata per una
dimensione dalla legge di Hooke e dalla seconda legge della
dinamica.
Sia u(x, t) la distanza dalla posizione di equilibrio di un punto di
massa m.
n
∑
t
2
F^
Hooke,i
= m
i=1
u(x + h, t)
2
Facendo tendere a zero la distanza h e a 8 il numero di punti:
2
u(x, t)
x
2
1
=
v
2
2
u(x, t)
t
2
Teorema di Fourier
Si può dimostrare che una qualunque funzione matematica
periodica si può sviluppare in quella che viene definita Serie di
Fourier:
N
f (x) =
∑
n=1
M
a n sin(n1 x +
:n )
+
∑
b m cos(m1 x +
:m )
m=1
Tale teorema è molto utile in quanto ci permette di trattare le
onde nella loro forma più semplice: quella sinusoidale. Onde di
forma più complessa possono essere sempre immaginate
come la somma di tante onde sinusoidali.
Soluzione dell'equazione differenziale.
Si può dimostrare che la soluzione dell'equazione differenziale
deve dipendere dalla posizione x, dal tempo t e dalla velocità v ^ .
Si potrà scrivere quindi come:
0
=
00 sin(kx
−
1
t)
dove 00 rappresenta l'ampiezza massima dell'oscillazione. Il
termine $k$ si chiama numero d'onda ed è uguale a k
=
2(
#
Rappresentazione grafica di un'onda 1/2
Rappresentazione grafica di un'onda 2/2
Fronte d'onda
Data un'onda che si propaga nello spazio, si definisce fronte
d'onda l'insieme dei punti che vibrano concordemente, in
modo tale che per ciascuno di essi lo spostamento dalla
posizione di equilibrio assuma lo stesso valore in ogni istante.
Onda piana
Un'onda piana è un'onda i cui fronti d'onda sono
infiniti piani paralleli perpendicolari alla direzione di
propagazione.
Le onde piane soddisfano l'equazione delle onde in
una dimensione:
f
x
2
2
1
−
v
2
f
t
2
2
= 0
Onda sferica
Un'onda è sferica se il suo fronte d'onda è una
sfera.
Le onde sferiche soddisfano l'equazione delle
onde in tre dimensioni:
"
2
1
f −
v
2
f
t
2
2
= 0
Equazione delle onde elettromagnetiche
L'equazione che descrive la propagazione di un'onda
elettromagnetica è l'equazione delle onde, che può essere
scritta a partire dai campi elettrico e magnetico:
"
2
E^
t
B^
t
2
^
E −
I$
" B^ − I$
2
2
= 0
2
2
= 0
Nel vuoto v diventa la velocità della luce:
LL
L
1
v =
√
I$
,
LLL
LLL
1
c =
√
I0 $ 0
Interferenza 1/3
Interferenza 2/3
Consideriamo due onde aventi la stessa ampiezza e velocità
ma sfasate di ::
01
=
00 sin(kx
−
1
02
t),
L'onda risultante sarà:
0
=
01
+
02
=
00 sin(kx
−
1
=
00 sin(kx
t) +
−
00 sin(kx
1
t +
−
1
Ricordiamo ora le formule di prostaferesi:
sin( ) + sin = 2sin(
0
= 200 cos(
:
+
)cos(
2
)sin(kx −
2
−
2
1
t +
:
)
2
)
:)
t +
:)
Interferenza 2/3
Osserviamo che l'ampiezza dell'onda è rappresentata dal
termine:
200 cos(
Due onde sono in fase se:
:
2
+ n( = 0
õ
:
)
2
200 cos(
Due onde sono in opposizione di fase se:
:
2
+ m( =
(
2
õ
:
2
200 cos(
) = 200
:
) = 0
2
Principio di Huygens
Ogni elemento dΣ di un fronte d'onda Σ si può considerare
come una sorgente secondaria di onde sferiche in fase con la
primaria e di ampiezza proporzionale a quella dell'onda
primaria e all'area dΣ.
Moto armonico smorzato
Equazione del moto armonico smorzato
Si dimostra che l'equazione del moto armonico smorzato è la
seguente:
−t
x(t) = X0 e
sin(1 t +
:0 )
Nello studio di fenomeni fisici reali i corpi in movimento sono di
solito soggetti ad attriti, di solito direttamente proporzionali
alla velocità:
R = −kx − bv = max
d
2
dt
x
2
b
dx
+
k
+
m
dt
õ
x = 0
m
Ricerca soluzioni del moto armonico
smorzato 1/4
Per semplificare i calcoli si definisce:
b
=
2m
Impongo x(t)
differenziale:
2
t
e
1
,
2
= e
t
+
õ
=
0
t
+ 2 e
k
m
con 1
2
0
t
e
d
2
dt
x
+ 2
2
dx
+
dt
1
4
=
0
x = 0
# rsoluzione dell'equazione
= 0
õ
t
e
(
2
+ 2 +
Ricerco le soluzioni dell'equazione omgenea associata:
u
2
2
−
1
2
0
=
1
2
1
2
0
) = 0
Ricerca soluzioni del moto armonico
smorzato 2/4
Se il discriminante è maggiore o uguale di zero esistono due
soluzioni reali
Se il discriminante è minore di zero esistono due soluzioni
immaginarie:
1
= − + i1 ,
2
= − − i1
L'equazione differenziale per il principio di sovrapposizione
ammette una combinazione lineare delle due soluzioni:
x(t) = Ax 1 (t) + Bx 2 (t) = Ae
x(t) = e
−t
[A e
i1 t
(−+i1 )t
+ Be
+ Be
−i1 t
]
(−−i1 )t
Ricerca soluzioni del moto armonico
smorzato 3/4
Per la formula di Eulero posso riscrivere la funzione esponenziale
complessa come combinazione di seno e coseno:
x(t) = e
−t
[A[cos(1 t) + isen(1 t)] + B[cos(1 t) − isen(1 t)]
x(t) = e
−t
[(A + B)cos(1 t) + i(A − B)sen(1 t)]
x(t) sarà una funzione reale solo se A e B saranno complessi
coniugati:
A = a + ib,
B = a − ib
x(t) = e
−t
õ
A + B = 2a,
A − B = 2ib
[2acos(1 t) − 2bsen(1 t)]
Ricerca soluzioni del moto armonico
smorzato 4/4
Esprimo le costanti a e b in questo modo:
2a = X0 sin( ),
2b = −X0 cos( )
õ
tg( ) = −
Applicondo la formula della somma degli angoli:
sin( +
x(t) = e
−t
)
a
b
= sin( )cos( ) + cos( )sin( )
[ X0 sin( )cos(1 t) + 2X0 cos( )sen(1 t)]
x(t) = X0 e
−t
sin(1 t +
)
Moto armonico forzato smorzato
(risonanza)
Risonanza
La risonanza è una condizione fisica che si verifica quando un
sistema oscillante forzato viene sottoposto a sollecitazione
periodica di frequenza pari all'oscillazione propria del sistema
stesso:
Felastica + Fattrito_viscoso + Festerna = ma
dx
−kx − b
dt
+ Fe cos(1
d
e t)
2
= m
dt
x
2
Un fenomeno di risonanza provoca un aumento significativo
dell'ampiezza delle oscillazioni.
Risonanza - dimostrazione 1/3
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione
propria rispettivamente:
b
=
2m
,1
0
=
L
L
kL
√m
L'equazione differenziale dell'oscillatore armonico forzato
diventa:
d
2
dt
x
2
+ 2
dx
+
dt
1
2
0
x =
Fe
m
cos( 1
e t)
Risonanza - dimostrazione 2/3
La soluzione generale dell'equazione differenziale è una
combinazione lineare tra la soluzione dell'omogenea associata
x Omogenea (t) = A0 e
−t
)
sin(1 t +
e la soluzione particolare:
′
x Particolare (t) = A sin(1
avendo posto:
′
A
=
Fe
1
m
√
2
0
e
et
+

)
21
′
L
LLL−
LL1LLL
LLLLLLLLL
(1
) + 4 1
2
′
2
2
2
e
, tg( ) =
1
2
0
−
e
1
2
e
Risonanza - dimostrazione 3/3
La soluzione particolare rappresenta quindi la soluzione a
regime, infatti la soluzione della omogenea associata è
destinata a diventare nulla dopo un tempo ragionevole:
′
x Regime (t) = A sin(1
′
et
+

)
Se la pulsazione propria del sistema 1 0 ha un valore che tende
alla pulsazione della forza esterna 1 e si verifica il fenomeno
della risonanza.
Battimenti
Il battimento in acustica
In acustica il battimento è la frequenza (di battimento)
risultante dalla sovrapposizione di grandezze periodiche, in
genere oscillazioni sinusoidali aventi frequenze poco diverse
L'effetto è un rafforzamento seguito da un indebolimento del
suono a seconda che le frequenze siano in concordanza o in
discordanza di fase.
0:00
Il battimento - Approccio matematico 1/2
Rappresento due suoni con due onde sinusoidali di uguale
ampiezza A:
&1
= Asin(1
1
&2
t),
= Asin(1
2
t)
Faccio la somma applicando le formule di prostaferesi:
&
=
&1
+
&2
1
= 2Acos(
1
−
2
1
2
t)
1
1
sin(
1
+
2
1
2
t)
Il battimento - Approccio matematico 2/2
Pongo:
1
õ
1
=
1
+
1
2
2
&
=
&1
+
&2
,

1
=
1
−
1
2
2
= 2Acos( t)sin(1 t)
Se << 1 , cioè se 1 1 e 1 2 sono vicine, si può esprimere la
somma dei due suoni come un suono di frequenza intermedia,
pari a 1 , la cui frequenza sia modulata alla frequenza molto più
bassa .

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