Algebra - Quesiti esame di stato 1. Dei numeri 1, 2, 3, . . . , 6000, quanti non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5? [Q5 2014] 2. In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè del0,76%)”. È così? Si motivi esaurientemente la risposta. [Q5 PNI 2013] 3. In un libro si legge: “Ogni misura di grandezza implica una nozione approssimativa di numero reale”. Spiega, eventualmente con qualche esempio, il significato di tale frase. [Q2 Eur 2013] 4. Risolvi l’equazione ∣x−1∣=1−∣x∣ . [Q5 Ame 2011] 5. Dimostra che la media geometrica di due numeri positivi non è mai superiore alla loro media aritmetica. Ovvero:  ab≤ab/ 2 . [Q4 Ame 2010] (Il quesito è stato riproposto, con minime variazioni, in numerose occasioni). 6. Sono dati gli insiemi A={1, 2, 3, 4} e B={a , b , c} . Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive? 7. Considera le seguenti espressioni: [Q2 PNI 2009] 0 0 1 ; ; ; 00 . 1 0 0 A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. [Q5 PNI 2009] 8. Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? 9. Dimostra che un numero di quattro cifre tutte uguali è divisibile per 101. [Q8 PNI 2009] [Q9 sup 2009] 10.Dati nel piano cartesiano i punti di coordinate P  x ,∣x∣ e Q  x ,  4− x 2  , determina, al variare di x, l’insieme dei punti Q la cui ordinata è minore dell’ordinata di P. [Q7 Ame 2008] 11.Una scatola di forma cilindrica ha raggio r e altezza h. Se si aumenta del 5% ciascuna sua dimensione, di quanto aumenterà, in termini percentuali, il suo volume? [Q7 sup 2014] 12.Un certo numero formato da tre cifre è uguale a 56 volte la somma delle cifre che lo compongono. La cifra delle unità è uguale a quella delle decine aumentata di 4, mentre, scambiando la cifra delle unità con quella delle centinaia, si ottiene un valore che è uguale a quello originario diminuito di 99. Si determini il numero di partenza. [Q10 sup 2014] 13.Siano x1 e x2 gli zeri di P  x= x 2− x−2014 , con x 1 x 2 . Siano x3 e x4 gli zeri di Q  x= x 2−2 x−2014 con x 3 x 4 . Si calcoli  x 4− x 2  x 3− x 1  . [Q8 Eur 2014] 14.A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre il centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare». [Q8 PNI 2007] 15.Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito? [Q6 2007] 16.Sia Aa , b un punto della parabola G di equazione f  x= x 21 . Dimostra che, qualunque sia a∈ℤ , l'ordinata b non è mai un numero divisibile per 3. [P1 Eur 2007] 17.Si vuole che delle due radici reali dell'equazione x 22h1 xm2 h 2=0 una risulti doppia dell'altra. Quale relazione deve sussistere tra i parametri h e m? [Q5 Eur 2007] 18.Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per delimitare il perimetro di un’aiuola rettangolare. a) Qual è l’aiuola di area massima che è possibile delimitare? Si pensa di tagliare il filo in due parti e utilizzarle per delimitare un’aiuola quadrata e un’altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché: b) la somma delle due aree sia minima? c) la somma delle due aree sia massima? Un’aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno? [P1 PNI 2006] 19.Considerata l’equazione x 5−2 x 31=0 , spiegare, con il metodo preferito ma in maniera esauriente, perché non può ammettere più di una soluzione razionale. [Q8 str 2006] (Anche questo quesito è comparso, cambiando l'equazione, in diversi esami). 20.La somma di due numeri è s. Determina i due numeri in modo che il loro prodotto sia massimo. (Altro quesito riproposto in numerose occasioni). [Q3 Aus sup 2006] 21.Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta. [Q10 PNI 2005] 22.Si dimostri che tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato. (Spero sia evidente che si tratta del precedente quesito 20 in un'altra forma) [Q4 2005] 23.Trova due numeri reali a e b, con a≠b , che hanno somma e prodotto uguali. [Q8 PNI 2004] 24.La coppia (1, 2) è la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Quale può essere il sistema? [Q1 Ame 2004] 25.Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del 30% il prezzo di listino di tutti gli articoli. Se il prezzo scontato di un abito è di 275 euro quale era il suo prezzo di listino? [Q4 Ame 2004] 26.x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x− y=2 . Il numero x 3− y 3 : A) è divisibile per 2 e per 3. B) è divisibile per 2 ma non per 3. C) è divisibile per 3 ma non per 2. D) non è divisibile né per 2 né per 3. Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata. [Q8 2003] 27.Dire se è vero che risulta:  x 22 x  33= x 3 per ogni x reale e giustificare la risposta. [Q4 str 2003] 28.x ed y sono due numeri naturali qualsiasi tali che x – y=1 . Stabilire se il numero x 4 − y 4 è divisibile per 2 o se non lo è. [Q4 Ame 2003] 29.Se a e b sono numeri positivi assegnati qual è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n? (Versione estesa del quesito 5). [Q1 PNI 2002] 30.Considerati i numeri reali a, b, c, d – comunque scelti – se ab e cd allora: A) ad bc ; B) a−d b−c ; C) ad bc ; D) a / d b/ c . Una sola alternativa è corretta: individuala e motiva esaurientemente la risposta. [Q3 2002] 31.Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione: 1 a b =  sia un’identità. x −2 x−3 x−3 x1 2 [Q5 2002] 32.In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione: y=  x 2−1  1− x 2 . Tale luogo è costituito da: A) un punto; B) due punti; C) infiniti punti; D) nessun punto. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta. [Q9 2002] 33.Se il polinomio f  x si divide per x 2−1 si ottiene x come quoziente e x come resto. Determinare f  x . [P1 sup 2002] 34.Un titolo di borsa ha perso ieri l’x% del suo valore. Oggi quel titolo, guadagnando l’y%, è ritornato al valore che aveva prima della perdita. Esprimi y in funzione di x. [Q5 sup 2002] 35.La cifra delle unità dello sviluppo della potenza 22002 è: A) 2 ; B) 4 ; C) 6 ; D) 8. Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta effettuata. [Q3 Lat sup 2002] 36.Considerata l'equazione 2 x 2−4 x−3=0 , e indicate con x1 e x2 le sue soluzioni, calcola il valore della seguente espressione:  x 12 x 22 3 x 12⋅x 22 3− x 1 x 2 − x 1⋅x 2  . [Q4 Lat sup 2002] 37.Si consideri il seguente sistema di equazioni nelle indeterminate x, y: { x 2 y 2=17/ 4 . x 3 y 3=1 Ogni sua soluzione rappresenta le coordinate di un punto del piano cartesiano (Oxy). Calcolare quanti e quali punti rappresenta il sistema. 38.Dimostrare che il numero 5 non è razionale. [Q6 Eur 2004] [Q4 Spe 2002] 39.Si considerino i numeri 21/ 2 , 31/3 , 51/5 . Senza usare strumenti di calcolo automatico (salvo che per controllare eventualmente l'esattezza del risultato), disporli in ordine crescente ed illustrare il ragionamento fatto per tale operazione. [Q5 Spe 2002] 40.I numeri reali a, b sono tali che: 4.3a5.2 e −1.7b−1.5 . Dire se è vero o falso che risulta: 5.8a−b6.9 e fornire un'esauriente spiegazione della risposta. [Q8 Spe 2002] 41.La somma di due numeri non negativi è 16. Qual è il valore più basso che assume la somma dei loro quadrati? Quale il valore più alto? [Q8 Est 2001] 42.Un'azienda, in un momento di crisi, abbassa gli stipendi di tutti i dipendenti del 7%. Superata la delicata fase, aumenta tutti gli stipendi del 7%. Come risulta, dopo queste operazioni, la situazione dei dipendenti? [Q2 Spe sup 2002] 43.Senza usare il simbolo del valore assoluto, si descriva il dominio di x per cui ∣x1∣4 . [Q2 Lat sup 2001] 44.Verifica che la somma dei quadrati di assegnato prodotto p0 : a) decresce quando decresce il valore assoluto della differenza dei due numeri; b) raggiunge il valore minimo quando i due numeri sono uguali. Deduci da questo fatto che, tra i rettangoli di data area, il quadrato ha la diagonale minima. [P3 1986]