Astronomia Lezione 17/10/2014 Docente: Alessandro Melchiorri

Astronomia
Lezione 17/10/2014
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:[email protected]
Slides delle lezioni:
oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014
Riepilogo lezione passata.
In Astronomia e’ di fondamentale importanza trovare dei metodi per la determinazione
delle distanze da noi degli oggetti celesti.
Il metodo piu’ semplice e’ quello della Parallasse (misurare angolo p dopo ½ anno):
Se la parallasse si misura in secondi d’arco
invece di radianti vale questa relazione.
Le distanze delle stelle pero’ si misurano in
parsec, vale a dire la distanza a cui corrisponde
Una parallasse stellare di 1’’.
Riepilogo lezione passata.
La parallasse pero’ vale solo per distanze «piccole». Da terra al massimo si misurano
distanze < 50 pc. Nello spazio (Hypparcos) 1Kpc, e al massimo 10 Kpc con missioni
future come Gaia. Il raggio (luminoso) della Via Lattea e’ di circa 10 Kpc.
Data una stella possiamo introdurre tre quantita’: la sua distanza d, il flusso radiativo
F (energia per unita’ di tempo per unita’ di area) che riceviamo qui sulla Terra, e la sua
luminosita’ L (energia emessa per unita’ di tempo). Queste tre quantita’ sono legate tra
loro dalla semplice relazione:
L
F
4d 2
Riepilogo lezione passata.
In astronomia, invece di usare i Flussi si preferisce usare le magnitudini apparenti m.
Un flusso 100 volte maggiore corrisponde alla variazione di 5 magnitudini.
Si ha quindi, date due stelle di flussi F1 ed F2, la seguente relazione con le magnitudini:
Oppure, prendendo il logaritmo:
notare il segno meno !!
Magnitudini piu’ grandi corrispondono a flussi minori.
Più è brillante è la stella nel cielo minore è la sua magnitudine apparente.
Riepilogo lezione passata.
In astronomia, invece di usare i flussi si preferisce usare le magnitudini apparenti m.
Un flusso 100 volte maggiore corrisponde alla variazione di 5 magnitudini.
Si ha quindi, date due stelle di flussi F1 ed F2, la seguente relazione con le magnitudini:
Oppure, prendendo il logaritmo:
notare il segno meno !!
Magnitudini piu’ grandi corrispondono a flussi minori.
Più è brillante è la stella nel cielo minore è la sua magnitudine apparente.
Magnitudine apparente
La stella Vega e’ usata come stella di riferimento per le magnitudini apparenti.
Vega viene quindi assunta avere magnitudine apparente m=0.
In realtà dato che può non essere visibile si usa il flusso di Vega e si calibrano le altre
magnitudini nel modo seguente:
Vega e’ distante 25,3 anni luce, 7,76 pc.
Magnitudine Assoluta
Possiamo dare ad ogni stella una magnitudine intrinseca ovvero che non dipende
dalla distanza alla quale si trova. Per ogni stella si definisce come magnitudine assoluta
la magnitudine apparente che la stella avrebbe se fosse posta a 10pc da noi.
Dato che tra due stelle si ha che:
Considerando ora la stessa stella ma prendendo una delle due magnitudini a 10pc ovvero
la sua magnitudine assoluta, si ha:
e quindi la relazione:
Modulo di distanza
Quindi in pratica, data una stella la relazione che lega flusso, luminosita’ e distanza:
L
F
2
4d
In astronomia diventa la seguente espressione detta modulo di distanza:
m=0.41
d=152 pc
M=-5.5
m=0.14
d=244 pc
M=-6.8
Magnitudine Assoluta del Sole
Conoscendo la distanza del Sole dalla Terra e la sua magnitudine apparente
possiamo calcolare la sua magnitudine assoluta:
Notate che la magnitudine assoluta e’ maggiore in questo caso di quella apparente perche’
Il Sole a 10 pc e’ chiaramente meno luminoso che visto dalla Terra !
In generale la magnitudine assoluta di una stella e’ sempre minore di quella apparente
(tranne per quelle piu’ vicine a noi di 10 pc).
Magnitudine Assoluta
Data una stella, di luminosita’ L, la sua magnitudine assoluta puo’ essere ricavata
a partire dalla luminosita’ e magnitudine assoluta del Sole, tramite:
Dove
=+4.74 e
e
Lo Spettro Elettromagnetico
Le onde elettromagnetiche sono caratterizzate dalla lunghezza d’onda λ e dalla frequenza ν.
Lunghezza d’onda e frequenza determinano la posizione nello spettro elettromagnetico.
La frequenza (numero di oscillazioni per unità di tempo) si misura in Hertz (Hz =oscillazioni/s).
La lunghezza d’onda si misura in micron (μm; 10-6 m), nanometri (nm, 10-9 m) o Ångstrom (Å,
10-10 m). La luce visibile ha lunghezze d’onda comprese tra 400-700
nm (4000-7000 Å). Colori diversi corrispondono a lunghezze d’onda diverse. Lo spettro solare
ha il massimo di emissione a λ = 550 nm.
Indice di Colore
Fino adesso quando abbiamo parlato di magnitudini non abbiamo considerato
che solo una parte dello spettro elettromagnetico della stella e’ misurabile.
Questo sia per filtri posti davanti al nostro ricevitore, sia per i vari assorbimenti
(atmosfera, etc). Nel caso in cui non si consideri questi effetti la magnitudine
si definisce come magnitudine bolometrica.
Gli astronomi pero’ misurano la magnitudine di un oggetto ponendo due o piu’
filtri davanti al rivelatore e facendo la differenza tra queste. Questo porta
all’indice di colore.
Indici di colore – Sistema Johnson
Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:
Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm
Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm
- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm
-
Sistema Johnson Esteso
Nebulosa dell’Aquila
Indice di Colore
L’indice di colore e’ definito come la differenza tra due magnitudini di uno stesso
oggetto misurate in bande di colore diverse.
-
Le magnitudini apparenti in una certa banda di colore si indicano con U,V,B
-
Le magnitudini assolute in una banda di colore si indicano invece con MU,MV,MB
Quindi, ad esempio, U-B e’ l’indice di colore tra l’ultravioletto ed il blu, B-V e’
l’indice di colore tra blu e visibile. Notare che:
dato che magnitudini apparenti e assolute differiscono solo per la distanza che
è la stessa per ogni banda.
Magnitudine in una Banda
La relazione tra magnitudine apparente in una banda e il flusso della stella e’ data da:
Dove S e’ appunto il filtro e C e’ una costante di calibrazione. Entrambi variano a seconda
Della banda selezionata.
Per misurare la magnitudine apparente U si usano delle funzioni di sensibilita’ S:
La costante C la possiamo misurare ponendo una magnitudine di riferimento.
In generale si assume che la stella Vega abbia magnitudine zero in ogni banda.
Per la magnitudine bolometrica si ha, per definizione:
La costante in questo caso si e’ cercata in modo tale che la correzione bolometrica:
m=0.41
d=152 pc
M=-5.5
B-V=1.85
Indice di colore B-V maggiore significa che la magnitudine e’ maggiore nel Blu
rispetto al Visibile. Ovvero che la stella e’ più luminosa a frequenze minori o
lunghezze d’onda maggiori. B-V maggiore significa quindi che la stella e’ più rossa.
Indici di colore bassi
Indici di colore alti
Stella Blu
Stella Rossa
m=0.14
d=244 pc
M=-6.8
B-V=-0.03
Il colore e’ legato alla temperatura.
Maggiore e’ la temperatura della stella, piu’ questa
appare blu e minore e’ l’indice di colore
Costellazione
di
Orione
Il Corpo Nero
Questo accade perche’ gli spettri di
emissione di una stella sono in prima
approssimazione dei corpi neri.
Un corpo nero e’ un oggetto che
assorbe tutta la radiazione incidente
e che riemette radiazione con uno
spettro in lunghezza d’onda la cui
formula e’ stata scoperta da Planck e
che dipende solo dalla
temperatura superficiale dell’oggetto.
Maggiore e’ la temperatura maggiore
e’ l’emissione a lunghezze d’onda minori.
Legge di Wien:
Corpo Nero: Derivazione Teorica
La luce nel vuoto si propaga come un’onda
elettromagnetica costituita da un campo elettrico ed
uno magnetico ortogonali tra loro e variabili nel tempo.
L’onda elettromagnetica possiede una lunghezza
d’onda l (intervallo spaziale tra due creste) e procede
ad una velocità pari alla velocità della luce c.
Si ha quindi che la frequenza
n (intervallo temporale tra due creste) sarà data da:
Spettro nel
visibile .
Lunghezze
In nm
Il Corpo Nero
L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta
da Max Planck (1858-1947):
Con
costante di Planck e
costante di Boltzmann.
Corpo Nero
Un risultato facilmente intuibile è che la radiazione di corpo nero non dipende dalla forma
della cavità. Possiamo quindi limitarci a considerare una cavità che abbia una geometria
semplice, ad esempio un cubo di spigolo di lunghezza a. Supponiamo che le pareti siano
perfettamente conduttrici, allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m.
all'interno della cavità senza perdite purché le frequenze corrispondano alle frequenze di
risonanza della cavità. Le frequenze di risonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano
delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere comprese un numero intero di
semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato si potranno avere solo lunghezze d’onda:
ovvero frequenze (con l numero intero):
nel caso tridimensionale si avrà:
con l, m, n numeri interi.
Corpo Nero – Caso Classico
Il problema si riconduce quindi nel trovare l’energia media di un singolo modo.
Dalla statistica di Boltzmann si ha che la probabilità di avere un modo con energia
tra E e E+dE alla temperatura T e’data da:
si ha quindi che l’energia media vale:
Ora ponendo
si ha:
Da cui:
per ottenere infine la formula di Rayleigh-Jeans:
Corpo Nero – Catastrofe
Ultravioletta
La formula di Rayleigh-Jeans:
k  1.38 10 23 J K 1  1.38 10 16 erg K 1
I (erg cm-3 s-1)
però non funziona per i seguenti motivi: come prima cosa se adesso vogliamo
calcolare l’energia totale dobbiamo integrare le frequenze tra 0 e infinito.
Il risultato e’ un valore dell’energia totale infinita che è chiaramente impossibile.
Questo problema prende il nome di catastrofe ultravioletta e segna il fallimento
della fisica classica.
In secondo luogo la formula di Rayleigh-Jeans
funziona bene per basse frequenze ma
appunto diverge per alte frequenze
(piccole lunghezze d’onda) e’ non e’ in
Rayleigh-Jeans
accordo con le osservazioni.
l (mm)
Corpo Nero – Caso Quantistico
La soluzione (geniale) trovata da Planck consiste nell’imporre che tutti i modi di frequenza
n
possono avere energia pari solo a multipli di hn con h costante.
la probabilità diviene:
e il valore medio adesso si media su sommatorie e non integrali:
Si ha quindi:
da cui:
ottenendo infine la formula di Planck:
Max Planck (1858-1947)
Ha ideato la teoria dei quanti, che insieme con la teoria
della relatività di Albert Einstein è uno dei pilastri
della fisica contemporanea.
Nel 1900 Planck rese nota la sua ipotesi nella quale
sosteneva che gli scambi di energia nei fenomeni di
emissione e di assorbimento delle radiazioni
elettromagnetiche avvengono in forma discreta
(proporzionale alla loro frequenza di oscillazione,
secondo una costante universale), non già in forma
continua, come sosteneva la teoria elettromagnetica
classica.
Nel 1901 Planck passò dall'ipotesi quantistica alla vera e
propria teoria quantistica, secondo la quale
gli atomi assorbono ed emettono radiazioni in modo
discontinuo, per quanti di energia, cioè quantità di
energia finite e discrete. In tal modo anche l'energia può
essere concettualmente rappresentata, come la materia,
sotto forma granulare: i quanti sono appunto
come granuli di energia indivisibili.
La sua teoria gli valse il premio Nobel per la
fisica del 1918.
Corpo Nero – Formula di Planck
La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energia
va a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda.
Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo:
La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da:
Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale:
Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente
trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).
Formula di Planck
Un punto importante da ricordare e’ che la densità di energia trovata è una quantità per
Intervallo di pulsazione, se passiamo alle frequenze deve valere:
  , T d    , T d
e quindi, sostituendo:
 3
d
8h 3
d
  , T d  3 2  / kT

   , T d
3
h / kT
c e
1
c
e
1
8h 3
d
  , T d 
c 3 e h / kT  1
Spettro di Planck - Brillanza
In astronomia saremo interessati all’energia emessa per unità di superficie, per unità di
tempo, per unità di angolo solido, la brillanza o brightness. Questa quantita’ per un raggio
di luce e’ legata alla densità di energia di un corpo nero (che è isotropa) tramite:
c
2h 3
d
B T d 
  , T   2 h / kT
4
c e
1
Attenzione al cambiamento di variabile in lunghezza d’onda perché:
B T d   B T d
e quindi si ha (notare la potenza di l):
2hc 2
d
B T   5 hc / kT
 e
1
Spettro di Planck
In figura riportiamo lo spettro di
corpo nero nel caso di 4 temperature
diverse.
Da notare:
2000 K
A temperature crescenti lo spettro
ha un incremento complessivo.
Due curve di corpo nero a
temperature diverse non si intrecciano
mai !
-
1750 K
A temperature maggiori la posizione
del picco si sposta verso frequenze
maggiori (lunghezze d’onda minori).
Cioè va dal rosso al blu.
OGGETTI BLU SONO PIU’ CALDI
DI ROSSI.
-
1500 K
1250 K
l (mm)
Spettro di Planck - Esempi
corpo umano
T = 37° C = 310 K
lmax  9 m
B(l, 310 K) (x108 erg cm-3 s-1)
La funzione di Planck per un corpo nero che
emette alla temperatura del corpo umano. Il
massimo di emissione si ha a circa 9 micron,
mentre al di sotto di 3 micron non c’è
praticamente alcuna emissione. Infatti al buio
una persona risulta invisibile, mentre diventa
visibile con un sensore di luce infrarossa.
l (mm)
Spettro di Planck - Esempi
lampada a incandescenza
T  3 000 K
lmax  1 m
B(l, 3000 K) (x1013 erg cm-3 s-1)
La funzione di Planck per un corpo nero
che emette alla temperatura di una
lampadina a incandescenza. Di nuovo, il
massimo di emissione è collocato
nell’infrarosso, eppure la lampadina
emette luce visibile. Questo è possibile
perché come si vede dal grafico la
funzione si estende fino a 0.3 micron,
includendo l’intervallo di lunghezza d’onda
visibile. Quindi solo una frazione della
radiazione globale emessa dalla lampadina
è luce visibile.
l (mm)
Spettro di Planck - Esempi
stella
T  30 000 K
lmax  1000 Å
B(l, 30000 K) (x1018 erg cm-3 s-1)
La funzione di Planck per un corpo
nero che emette alla temperatura
superficiale di una stella molto calda.
Questa volta il massimo di emissione
cade nell’ultravioletto. La stella risulta
visibile ad occhio nudo perché la
funzione si estende fino all’infrarosso
e oltre con emissione decrescente, ma
pur sempre con valori molto alti.
l (mm)
z, e, d Orionis (Alnitak, Alnilam e Mintaka da sinistra in basso
a destra in alto) le stelle della cintura
di Orione sono un esempio di stelle a questa temperature.
Emettono di più nell’ultravioletto ma noi le vediamo…
Notare la nebulosa testa di cavallo poco sotto Alnitak.
Il Corpo Nero
Le stelle emettono approssimativamente come dei corpi neri. Tale emissione ha uno
spettro continuo come quello raffigurato in figura (grafichiamo l’energia emessa per
unita’ di tempo, di area, di lunghezza d’onda e di angolo solido) in funzione della lunghezza
d’onda e della temperatura superficiale dell’oggetto.
Maggiore e’ la temperatura minore e’ la lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo.
Oggetti piu’ caldi avranno il massimo a lunghezze d’onda minori e ci appariranno piu’ blu.
Il Corpo Nero
Legge di Wien (con lunghezza d’onda misurata in metri):
Il corpo nero: Legge di Wien, esempio
Usando la legge di Wien:
Calcolare la lunghezza d’onda di massima emissione per Betelgeuse (T=3600 K)
e per Rigel (T=13000K).
Betelgeuse
Rigel
Dimostriamo che la legge di
Wien:
deriva dalla formula di Planck
2hc 2
1


B
T

Consideriamo:

5 e hc / kT  1
Facciamo un cambio di variabile:
x  hc / kT
Il massimo si ha per:
d  Ax 5 
 x 0
dx  e  1
Deriviamo:


d  Ax 5  5 Ax 4
Ax 5
5 Ax 4 e x  1  Ax 5e x
x

e 
 x  x
2
2
x
dx  e  1 e  1 e  1
ex 1




5 x 4 e x  1  x 5e x  0
5  5e  x  x  0
x
x
1

e

0
Equazione trascendente:
5
Con soluzione numerica:
Per cui:
x max  4 , 9651
hc
 max T 
kxmax


Dimostriamo che la legge di
Stefan-Boltzmann :
deriva dalla formula di Planck
Il Corpo Nero
2
2hc
1
B T   5 hc / kT
 e
1
Questa formula e’ in unita’ di steradianti, integrando su tutto l’angolo solido si ha:
2  / 2

0 0
2hc 2
1
2hc 2
1
cos  sin d  5
5
hc / kT
 e
1
 e hc / kT  1
La luminosita’ di una stella sferica per unita’ di lunghezza d’onda e’ data da:
2hc 2
1
8 2 R 2 hc 2
1
L d   5
dA 
hc / kT
5
hc / kT

e

1

e
1
A
L   L d  8 R hc
2
2
2
e
1
hc / kT
d
 1 5
Facendo un cambiamento di variabile:
x  hc / kT
Si ha:
dx  
hc d
kT 2
kT  kT 
L  8 2 R 2 hc 2
 
hc  hc 
3

hc
kTx
4
x3
8 2 R 2
4 
 e x  1 dx  h3c 2 kT  15
Confrontando con la legge di Stefan-Boltzman per la luminosita’:
8 2 R 2  4 4 4
4R T  3 2
k T
h c 15
2
4
Si ha la relazione che lega la costante di Stefan-Boltzman con quella di Boltzman, Planck,c:
2 5 k 4

15 h 3c 2
Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans
2c kT
lim B T  
4
 

lim e
x 0
hcx / kT
hc
 1
x  ..
kT
Rayleigh-Jeans
(catastrofe ultravioletta)
à
I (erg cm-3 s-1)
2hc 2
1
B T   5 hc / kT
 e
1
Rayleigh-Jeans
2hc 2  hc / kT
lim B T   5 e
 Wien
 0

I (erg cm-3 s-1)
l (mm)
Wien
l (mm)
Qualche esempio di uso del corpo nero
e indici di colore
Una stella molto calda ha una temperatura superficiale di 42000 K mentre una
stella meno calda ha una temperatura superficiale di 10000 K. Stimare i loro
Indici di colore B-V sapendo che
Approssimiamo i flussi come i valori dello spettro di Planck al centro delle bande
e come integrale semplicemente moltiplichiamo per la larghezza di banda:
Ricordando che
e
Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?
Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?
Qui no
c’e’ assorbimento
da parte
dell’atmosfera
stellare
Qui le stelle seguono
un corpo nero in modo
quasi perfetto
Linee spettrali
Ha identificato delle linee «nere»
nella luce del Sole dispersa da un
prisma. Intorno il 1814, Fraunhofer
Catalogo’ oltre 475 linee di questo
Tipo.
Linee e moti propri
Se le linee non combaciano perfettamente con quelle in laboratorio ma vi e’
Uno «shift» sistematico questo e’ dovuto all’effetto Doppler della stella che si muove
di moto proprio. Per v<<c si ha:
Atomo di Bohr
Cerchiamo di capire adesso il perche’ vi siano solo alcune righe di emissione ed
Assorbimento e non vi sia uno spettro continuo.
Consideriamo due cariche di segno opposto, tra loro vi e’ una
attrazione secondo la legge di Coulomb:
Se consideriamo un atomo di idrogeno, questo e’ composto da un elettrone e da un
protone entrambi di carica (in modulo):
Massa ridotta e massa totale del sistema daranno praticamente la massa dell’elettrone
e la massa del protone rispettivamente:
Atomo di Bohr
Usando la II legge di Newton abbiamo:
L’energia totale e’ negativa (sistema legato):
Atomo di Bohr
Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:
riscrivendo la formula per l’energia:
Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:
Solo multipli del raggio di Bohr:
Ad ogni orbita corrisponde una energia:
Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.
La conservazione dell’energia stabilisce che:
Atomo di Bohr

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