Capítulo IV: FUNCIONES
FUNCIONES
La idea de función.
En la vida diaria nos encontramos con expresiones como:
“el consumo de gasolina está
en función de la velocidad y la
marca del auto”.
En Física:
“la aceleración que experimenta
un cuerpo está en función de la
fuerza que se le aplique”.
“que me quede al
supletorio,
depende de las
notas que saque
en los exámenes”
“la cosecha de arroz
depende del tiempo
que haga en la
temporada”.
“el tráfico depende
de la hora”
En Biología:
“la contaminación
ambiental depende de
los gases emanados a
la atmósfera”.
En Economía:
“el índice de inflación depende
de los precios de los artículos”.
En todas estas expresiones aparecen las palabras: “depende de” o “está en
función de”, lo que significa que hay “algo” que está sujeto a una condición
determinada.
1
Capítulo IV: FUNCIONES
En Matemática, decimos que UNA EXPRESIÓN ESTÁ EN FUNCIÓN DE
OTRA.
Actividades preparatorias:
 Temperatura en Quito:
Observemos con atención el siguiente gráfico:
En él, el eje x
(horizontal)
representa
las
horas de un día de
invierno en Quito,
y
el
eje
y
(vertical)
representa
los
grados
centígrados
de
temperatura.
Según el gráfico, contesta lo siguiente:
1.- ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la mañana?, ¿a las 8 de la mañana?
2.- ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la tarde?, ¿a las 10 de la noche?
3.- ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura “crece”?, ¿en qué intervalos de
tiempo la temperatura “decrece”?,
4.- ¿A qué hora se tiene la temperatura “máxima”?, ¿a qué hora la temperatura
es “mínima”?, ¿cuáles son esas temperaturas?
AYUDA:
Por ejemplo, vamos a “leer” la temperatura a las 10 de la mañana, para lo cual:
buscamos el número 10 en el eje de las x, trazamos mentalmente una línea vertical
hasta que le “toque” a la curva (punto D), desde ese punto trazamos ahora una línea
vertical hacia el eje de las y, leemos el número correspondiente, en este caso: 16 oC.
2
Capítulo IV: FUNCIONES
 Un ejemplo en Biología.Las amebas son seres unicelulares cuyo
crecimiento poblacional depende del tiempo.
Simbolicemos
la población de amebas y
el tiempo (en días). Para indicar que la
población depende del tiempo transcurrido,
utilicemos la “notación”:
“
( ). Se lee:
”
Los biólogos han probado experimentalmente que la población de amebas se
“dobla” cada 24 horas. Utilicemos al día como unidad de tiempo y a un millón
de amebas como la unidad de población. Suponiendo que empezamos con un
millón de amebas, entonces es natural escribir
Es evidente que:
(1) = 2;
Completa: (7) =…….;
(2) = 2x2 =
(0) = 1.
;
(3) =
(4) =
; etc.
(9) =…….
¿Qué te parece si podemos deducir la fórmula general?:
. Si es un
número entero, por ejemplo: para
pero el tiempo no
siempre es un número entero, si tenemos un día y medio por ejemplo,
En la calculadora, para calcular
, utilizamos la tecla:
yx
Ahora vamos a estudiar el crecimiento de la población de amebas en los 4
primeros días, es decir, cuando
pertenece al intervalo
.
En el eje x ponemos los días, del
1 al 4, y en el eje y ponemos la
población
de
amebas
(en
millones de individuos), la “curva”
quedaría así:
Observamos
que
la
curva
representa el crecimiento de la
población de amebas en millones
de individuos para un período de
tiempo
3
de
4
días,
Capítulo IV: FUNCIONES
matemáticamente, diremos que la curva representa el gráfico de la
“función”:
, en el “intervalo”:
.
“Leyendo” el gráfico, contesta lo siguiente:
1.- ¿Cuál es la población aproximada en 36 horas?, ¿en 60 horas?
2.- Con la calculadora, calcula los valores siguientes:
y
y compara tus
respuestas con las de la pregunta anterior.
3.- “Lee” en el gráfico: ¿cuántos días son necesarios para que haya una
población de 8 millones?, ¿de 12 millones?
 Otro ejemplo, ahora en Economía:
La
siguiente
curva
representa
el
balance
comercial
(exportaciones-
importaciones) de un país, tomando como 0 al año 2000 (en el eje de las x),
en el eje y tenemos el monto en millones de dólares.
Vamos a contestar lo siguiente:
1.- Expresar lo que representa esta curva con una frase que contenga la
expresión: “en función de”.
2.- ¿Entre qué años está definida esta curva?
3.- ¿Cuál es el valor de la balanza comercial para los años: 1980, 1995,2005?
4.- ¿En qué año, la balanza es de 40 millones?, ¿de -10 millones?
5.- ¿En cuales años la balanza estuvo o estará equilibrada?
4
Capítulo IV: FUNCIONES
6.- ¿Sobre qué intervalo de tiempo hay un déficit en la balanza comercial?, ¿un
superávit?
7.- ¿Cuál es el comportamiento (crece o decrece) de la balanza comercial entre
mediados de 1997 al 2010? Lo mismo para los años 1985 y mediados de 1997.
8.- ¿En qué año la balanza tiene su “máximo”?, ¿su “mínimo”?, ¿cuáles son
esos valores?
Puedes encontrar más ejemplos de funciones, tales como: el estiramiento de
un resorte en función de la masa que se cuelga de él, el área de un círculo en
función de su radio, la presión atmosférica en función de la altura, etc. Tienes
como tarea buscar esos ejemplos.
La noción de función:
Veamos este ejemplo: “desde las 6 de la mañana hasta las 10 de la noche, el
número de pasajeros en la estación norte del trole varía en función del tiempo”.
Esta frase nos indica una relación entre el tiempo, sobre “el intervalo” entre las
6 y las 22 horas y el número de pasajeros en la estación. Lo podemos ver en el
siguiente esquema:
Tiempo
entre las 6
y 22 horas
Análisis
del caso
Número de
pasajeros
Lo que acabamos de hacer se llama modelización matemática de un caso de la
vida cotidiana, lo que nos conduce a definir “una función”, que la vamos a
llamar
5
, de tal manera que a un tiempo
del intervalo [6, 22] le asocia un
Capítulo IV: FUNCIONES
único resultado, llamado
, que es el número de pasajeros presentes
en la estación norte del trole a la hora .
Esta función está definida sobre el intervalo [6, 22], y como los resultados son
números, se llama función numérica.
Ahora, definamos formalmente a una función numérica:
Una función
definida sobre un subconjunto de los números reales D es una
“relación” que a cada número
perteneciente a
D, le asocia un único
resultado numérico que le llamaremos
Simbología:
Al conjunto D le llamamos: conjunto de definición o dominio de la
función, también se le “nota” Df (según el nombre de la función).
El número
se llama la imagen de
llama pre-imagen de
a través de .
a través de . Al número
es la variable, que también puede llamarse:
que también puede llamarse:
,
se
es la función,
Por generalización llamamos
Es importante anotar que el resultado
es único para cada . En el
caso analizado, no es posible que, por ejemplo, hayan más o menos de 56
pasajeros a las 8 de la mañana.
En el fenómeno descrito, la función
general, la función
toma valores continuos en D. En
es definida sobre un intervalo I, subconjunto de
Cuando el conjunto de definición no está dado, la función se escribe:
En algunos ejercicios se pedirá encontrar el conjunto de definición o dominio.
Por lo general,
, donde
número que resulta de reemplazar el valor numérico de
Por ejemplo:
serían:
6
es un
en la fórmula.
es la fórmula para , algunos valores numéricos
Capítulo IV: FUNCIONES
Podemos ver que esta función está definida para valores no negativos (por la
raíz cuadrada), luego Df
Hay infinitos ejemplos de funciones, como:
;
;
;
;
¿Qué es una curva que representa a una función?
Definición.- En un plano cartesiano, la curva C que representa a la función
conjunto de puntos M del plano, de coordenadas
tal que:
o la abscisa
recorre el conjunto de definición Df
o la ordenada es la imagen de por .
En símbolos:
Df y
es el
Observa que:
una curva es un conjunto de puntos;
es la abscisa en el “eje de las x”;
es el número en el “eje de las y”,
llamada ordenada;
es la ecuación de la curva C; y,
El conjunto de definición Df está en el eje de las x.
Definimos además: el rango o conjunto imagen de , como al conjunto formado
por todas las , de tal manera que
, donde
Df.Le notamos Imf
 El conjunto imagen está en el “eje de las y”.
7
Capítulo IV: FUNCIONES
Observa con atención el siguiente gráfico:
 El punto M tiene coordenadas: (
Hagamos a continuación un ejemplo numérico:
C es la curva de una función
definida sobre el intervalo: Df=
 La imagen de -2 es 5, es decir
.
esel punto de la curva
correspondiente es



 2 es la imagen de -1 y de 7, es decir, 2 tiene como pre-imágenes a los
números -1 y 7.
8
Capítulo IV: FUNCIONES
Observa ahora el gráfico y comprueba lo anterior:
Ahora, según el siguiente gráfico, trata de responder el cuestionario:
1.- ¿Cuál es el conjunto de definición de
2.- Dar imágenes aproximadas de: 0, 3, -3
3.- Aproximadamente, el conjunto imagen de
4.- ¿Cuáles son las pre-imágenes de 6?
9
es el intervalo:
Capítulo IV: FUNCIONES
Bien, ahora ya sabes reconocer algunos elementos de la noción de función,
que es uno de los conceptos más importantes en Matemáticas. Es
recomendable que hagas más ejercicios de reconocimiento, para lo cual
puedes utilizar una calculadora gráfica o el programa DeadLine, por ejemplo.
¡Aquí vale la pena un...
Paréntesis Cultural!
El Gran Leonhard Euler: Apuntes biográficos
Leonhard Euler nació en Basilea (Suiza) en
1707. Su padre, pastor calvinista, se
preocupó de que la formación intelectual de
su hijo fuese de gran calidad. Leonhard
estudió matemáticas con Jean Bernoulli,
física, astronomía, medicina, teología y
lenguas orientales.
En 1727, animado por sus amigos y
compatriotas Daniel y Nicolás Bernoulli,
ingresó en la Academia de San Petersburgo.
En 1730, ocupó la cátedra de filosofía
natural y a los veintisiete años, después de
que Nicolás y Daniel dejasen San
Petersburgo, se convirtió en el matemático
más relevante de la Academia. A los
veintiocho años perdió la vista de su ojo
derecho. En 1741 se incorporó a la Academia
de Berlín, pero en 1766 volvió a Rusia. En
1771 se quedó ciego pero ello no impidió que
Euler siguiera publicando e investigando.
Se cuenta que cuando el filósofo ateo D.
Diderot visitó la corte rusa fue informado
de que un matemático suizo había
demostrado la existencia de Dios mediante
razonamientos
de
tipo
algebraico.
Interesado por dicha noticia y esperando
rebatir tales argumentos, Diderot concertó
una entrevista con Leonhard. Puesto en
contacto con Euler, éste le dijo: “Señor (a +
bn)/n = x, entonces Dios existe”. Diderot,
cuyos conocimientos de álgebra eran nulos,
se quedó sin respuesta y regresó a Francia.
Leonhard murió en 1783 mientras se estaba
tomando una taza de té y jugando con uno de
sus nietos.
10
Euler escribió sobre temas relativos a
todas las ramas de las matemáticas. A lo
largo de su vida publicó más de quinientos
libros y artículos y fue padre de trece
hijos.
Entre sus numerosísimas contribuciones
destacamos las referentes al simbolismo
matemático. Así, Euler introdujo el símbolo
e para la base de los logaritmos naturales;
π para la razón de la circunferencia al
diámetro; i para la unidad imaginaria; a, b,
cpara los lados de un triángulo; A, B, Cpara
los ángulos de un triángulo;
Σpara la suma;
y f(x) para una función de x.En geometría
elemental es famosa su fórmulac + v = a
+ 2, que relaciona el número de caras (c),
vértices (v) y aristas (a) de cualquier
poliedro convexo.La expresión
+ 1 = 0,
que aparece en su Introduction in analysin
infinitorum (1748), incluye los cinco
números
más
importantes
de
las
Matemáticas.
Su definición de función dice textualmente:
“Una función de una magnitud variable es
cualquier expresión analítica formada con la
cantidad variable y con números o
cantidades constantes”
Desde luego, no coincide exactamente con
la definición actual de función. Pero más allá
del rigor de la definición, el hecho
destacable y realmente significativo es que
Euler convirtió a la función en el objeto
fundamental del Cálculo, que hasta esa
época se basaba esencialmente en las
propiedades de las curvas.
Capítulo IV: FUNCIONES
Listo, sigamos con un poco más de materia, veamos ahora:
Cuando nos dan la ley de la función:
…, o si nos dan de la forma:
Analicemos dos casos importantes:
a) Si hay un denominador en la fórmula de
, entonces:
, ejemplo:
, como
, por lo tanto: el conjunto de
definición de la función es: Df
.
Como aplicación, calcula el Df de
b) Si existe una raíz cuadrada en la fórmula de
ejemplo:
, igualmente, cómo
, entonces:
,por lo tanto, el dominio de la función es:
Df
.
Aplicación, calcula el Df de
.
Combinando los dos casos, calcula el Df de
Seguidamente
vamos
a
formalizar
ciertos
conceptos
que
se
dieron
anteriormente de manera intuitiva, como: creciente, decreciente, máximo,
mínimo, etc.
Crecimiento y Decrecimiento de una Función
¿Qué es crecer?, naturalmente tenemos que remitirnos a la noción cotidiana
de crecer, como por ejemplo el niño que pasa de los 3 a los 6 años, decimos
que ha crecido en estatura; en los países industrializados crece la
11
Capítulo IV: FUNCIONES
contaminación ambiental; en nuestros países latinoamericanos crece el interés
de la deuda externa, a pesar que ya se les ha pagado el monto de la deuda;
cuando aprendemos matemáticas estamos creciendo en nuestro intelecto; en
fin asociamos crecimiento al “aumento de algo”; Para el decrecimiento
podemos hacer un razonamiento análogo. Pero, tenemos que definir
formalmente estos conceptos en matemática, para lo cual veamos los
siguientes ejemplos:
1.- En Geometría:
El área de un círculo está en función de su radio, con la conocida fórmula:
, donde: es el área y
es el radio. Observa que de esta manera se ha
definido una función, en este caso :
y la
en lugar de la
, utilizando la
en lugar de la
. Es lógico observar que el área del círculo aumenta
conforme aumenta el radio, por ejemplo, para un radio de 2 cm tenemos un
área de
si aumentamos el radio a 6 cm, tendremos un área
de
En este caso diremos que el área de un círculo, que
está en función del radio, es una función creciente.
Definición intuitiva.-Si los valores de
de
aumentan, entonces los valores
también aumentan, luego diremos que una función es creciente; o lo
que es lo mismo, si los valores de
disminuyen, los valores de
también
disminuyen.
Definición formal.-Sea f una función definida sobre un intervalo I
de los
reales, se dice que f es creciente sobre el intervalo I, si para toda pareja de
números reales:
que pertenecen a I:
si
Observa que las dos desigualdades tienen el mismo sentido
12
Capítulo IV: FUNCIONES
2.- En la carretera: Un auto está en movimiento, la
cantidad de gasolina en su tanque disminuye o
“decrece” conforme el auto avanza en el camino, es
decir, mientras aumentan los kilómetros recorridos, la
reserva del tanque disminuye. Podemos entonces
decir que la cantidad de gasolina en el tanque es una función decreciente con
respecto a la distancia recorrida.
Definición intuitiva.- Si los valores de
de
aumentan, entonces los valores
disminuyen, luego diremos que una función es decreciente; o lo que
es lo mismo, si los valores de
disminuyen, los valores de
aumentan.
Definición formal.-Sea f una función definida sobre un intervalo I
de los
reales, se dice que f es decreciente sobre el intervalo I, si para toda pareja de
números reales:
que pertenecen a I:
si
Observa que las dos desigualdades tienen sentido contrario.
3.- Un reloj antiguo:
¿Te acuerdas de los relojes de péndulo, como este
grandfather en
imagen contigua? La siguiente figura que
encontrarás es una simulación gráfica de los movimientos del
péndulo de este reloj: el punto A representa la extremidad del
péndulo. La distancia AH desde A hasta la vertical Ox está en
función del tiempo. En un intervalo de 1 minuto, esta función
no es creciente ni decreciente, en efecto, como el péndulo
se balancea varias veces en este intervalo de tiempo, esta
distancia aumenta y disminuye alternativamente.
13
Capítulo IV: FUNCIONES
Definición.- Se dice que una función
definida sobre un intervalo I es
constante, si para todo elemento
I se tiene que
donde es
un número real.
Hagamos algunas aplicaciones:
1) El ascensor de un edificio, sube del primero al sexto piso, entonces, la
distancia que le separa del piso, ¿es una función creciente o decreciente
en función del tiempo? El mismo ascensor, sube al noveno piso y luego
baja al tercero, en este caso, la distancia que le separa del piso, ¿es una
función creciente, decreciente o ninguna de las dos
en función del
tiempo?
2) Un bus interprovincial que viaja desde Quito hasta Ambato:
a) La distancia entre Quito y
el bus, ¿es una función creciente o
decreciente en función del tiempo? ¿Por qué?
b) La distancia entre Ambato y el bus, ¿es una función creciente o
decreciente en función del tiempo? ¿Por qué?
14
Capítulo IV: FUNCIONES
3) Cuando vas a una cabina de Internet, el precio que te cobran está en
función del……………...de utilización, ¿será esta función creciente o
decreciente?
4) En el círculo trigonométrico, de radio 1, se define al seno y al coseno
como los segmentos siguientes:
Si el ángulo
varía desde
, en el sentido anti horario, el
seno y el coseno dependen del ángulo, es decir son funciones de
,
analizando el gráfico, el seno: ¿es creciente o decreciente?, el coseno:
¿es creciente o decreciente?
5) Tienes como tarea averiguar si el precio del petróleo a nivel
internacional, es una función decreciente, creciente o ninguna de los
dos, en el lapso de tiempo de los dos últimos meses.
Interpretación gráfica
Funciones crecientes.-Veamos los siguientes gráficos de funciones
crecientes:
i)
15
Capítulo IV: FUNCIONES
Analizando algunos puntos en la gráfica, por ejemplo:
*Se conservan las desigualdades, parece ser una función creciente, pero…:
ADVERTENCIA: Es muy importante señalar que para probar que la
función es creciente, no es suficiente hacerlo con ejemplos
numéricos, por numerosos que sean, puesto que no estamos
seguros que en algún par de puntos no se cumpla la condición. Esta
es una aseveración indispensable en la matemática, puesto que una
de sus características más potentes es precisamente la
generalización de resultados: NO SE PUEDE DEMOSTRAR UNA
PROPOSICIÓN MATEMÁTICA SOLO CON EJEMPLOS.
ii)
iii)
En los dos gráficos anteriores se observa que las curvas “suben” de izquierda
a derecha en el plano cartesiano.
iv) Veamos un caso especial:
16
Capítulo IV: FUNCIONES
Esta función está definida en el intervalo
la función “crece”, pero
intervalo
, observamos que en el
en el intervalo
, la función
permanece constante, cuyo valor es 1 (su gráfico es una línea horizontal),
después, en el intervalo
sigue “creciendo” hasta alcanzar su “máximo”
valor en 6,
La pregunta es: ¿En el intervalo
la función crece o decrece?Veamos si
cumple con la definición:
número
números
en el intervalo
: como para todo
, entonces para cualquier pareja de
en el intervalo, se tiene que
, por lo tanto se cumple
con la definición de función creciente, porque, no te olvides que:
* Por lo tanto se puede concluir que: una función
constante en un intervalo I, es una función creciente en
I.
¿Podrá ser decreciente también?
17
¡Piénsalo!
Capítulo IV: FUNCIONES
Funciones decrecientes.- Observemos los siguientes ejemplos:
i)
Probemos con unos puntos en la gráfica:
* Las desigualdades cambian.
Sin embargo, como antes, no podemos asegurar con certeza que la función es
decreciente, pero el gráfico nos da una buena pista.
ii)
iii)
Como puedes observar, en el gráfico de una función decreciente, la curva
“baja” de izquierda a derecha en el plano cartesiano.
18
Capítulo IV: FUNCIONES
iv)
Caso especial:
En el dibujo, se puede notar que la función es decreciente en el intervalo
, es constante en el intervalo
intervalo
para
, y otra vez decreciente en el
. Nos interesa el intervalo
verificar
que
es
decreciente
como en el análisis anterior,
es
necesario
que
cumpla:
; pero como:
;
La definición se ajusta perfectamente al intervalo en que la función es
constante.
Luego, una función constante en un intervalo I también es decreciente en I.
* Conclusión: Una función que es constante en un intervalo I, es creciente
y decreciente a la vez en I.
Toma un respiro y vamos con otras definiciones:
Definición.- Se dice que una función definida sobre un
intervalo es estrictamente creciente, si cumple con:
Definición.- Se dice que una función definida sobre un
intervalo es estrictamente decreciente, si cumple con:
19
Capítulo IV: FUNCIONES
¿En qué se diferencian estas dos definiciones de las ya anotadas
anteriormente?, pues precisamente en los signos de desigualdad, fíjate bien y
compara.
Analizando estos conceptos:

Si una función
es estrictamente creciente (estrictamente
decreciente) sobre un intervalo , entonces esta función es
creciente (decreciente) sobre el intervalo, pero una función
creciente (decreciente) no es necesariamente estrictamente
creciente (estrictamente decreciente) en el intervalo.

Se dice que una función es monótona sobre un intervalo si es
creciente o decreciente sobre el intervalo .

Se dice que una función
intervalo
si
es
es estrictamente monótona sobre un
estrictamente creciente o estrictamente
decreciente sobre el intervalo .

El gráfico de una función estrictamente monótona no presenta
líneas horizontales.

Hay que notar que la noción de creciente o decreciente,
estrictamente o no, está relacionada con el intervalo escogido, por
ejemplo, la función del gráfico siguiente, no es creciente ni
decreciente (no es monótona) en el intervalo
estrictamente monótona decreciente en
monótona creciente en
20
:
, pero es
y estrictamente
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejemplos:
Estrictamente monótona
creciente en
Estrictamente
en
monótona Ni creciente ni decreciente
en
Estrictamente
decreciente en
creciente Estrictamente decreciente Constante en
en
Puedes construir más ejemplos para que te acostumbres a las nociones
precedentes, hazlo a mano y también con la ayuda de una computadora o
calculadora gráfica, en matemática es imprescindible explorar nuevos
conocimientos, no importa equivocarse al principio, que de los errores se
aprende.
Ahora
vamos a
ver cómo
demostrar
formalmente el
crecimiento
o
decrecimiento de una función; el método es bastante “algebraico”, es decir que
hay un algoritmo fácil a seguir:
Para demostrar que una función
es creciente, tomamos un par de
números cualquiera en el dominio de definición de , digamos
que
, y debemos mostrar que:
decreciente, debemos mostrar que
21
, tal
Para probar que es
.
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejemplo: Probemos que la función:
es creciente:
Solución: Sea
Multiplicando por 3 a los dos miembros de la desigualdad se obtiene:
Restando 2 a los dos miembros de la desigualdad se tiene:
Pero
por lo tanto:
, que es lo que queríamos probar, luego
es
creciente.
Otra forma: mostrar que
es lo mismo que mostrar que:
, para lo cual, según la definición de se tiene que:
Pero como
por lo tanto
De lo cual concluimos que:
, entonces
entonces la función
es creciente.
*Puedes escoger cualquiera de las dos formas
Ejemplo: Mostremos que
es decreciente:
Solución: Sea
Multiplicando por -4 a los dos miembros de la desigualdad se obtiene:
(No te olvides que al multiplicar por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido)
Sumando 1 a los dos miembros de la desigualdad obtenemos:
Pero
,
por lo tanto:
, que es lo que queríamos probar, luego
es
decreciente.
Como tarea, prueba el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones:
a)
c)
b)
, sugerencia para esta función: considerar dos intervalos:
y
Como ves, es indispensable conocer las propiedades de las desigualdades y, a
partir de
vas construyendo
y
gráficos son de gran ayuda, usa el DeadLine.
22
, al final los comparas y listo. Los
Capítulo IV: FUNCIONES
Máximos y Mínimos
Estos conceptos matemáticos también se ajustan al lenguaje ordinario,
escuchamos frecuentemente: La Liga, al ganar la Copa Libertadores es “lo
máximo”; ayer la temperatura “mínima” en Quito fue 10 grados y la “máxima”
de 21 grados; los préstamos hipotecarios tendrán
un monto “máximo” de 70000 dólares; la nota
“mínima” para pasar de año es de 28 puntos sobre
Espacio para la
publicidad:
40, etc.
"El razonamiento se
hace por el sentimiento
que nos produce en la
mente la evidencia de la
verdad, sin necesidad de
norma o regla alguna"
La idea intuitiva de “máximo” es el valor más
grande que se pueda alcanzar en una situación
determinada, igualmente, el “mínimo” es el valor
más pequeño.
Pero, ahora nos toca definirlo matemáticamente,
Frase del matemático francés
Jean Marie Duhamel (1797-1872)
toma aire y…
Definición:
MÁXIMO.- Sea
una función definida sobre un intervalo , sea
real que pertenece a
máximo de
Decir que
tiene un máximo en
en , significa que: para todo
, o que
un número
es el
elemento de ,
Definición:
MÍNIMO.-Sea
una función definida sobre un intervalo , sea
que pertenece a Decir que
de
tiene un mínimo en , o que
en , significa que: para todo
en el intervalo
todos los valores de
23
es el mínimo
elemento de ,
Esto quiere decir que el máximo de una función
puede alcanzar
un número real
es el valor más alto que
el mínimo en cambio es el menor valor de
en el intervalo .
Capítulo IV: FUNCIONES
Interpretación gráfica
MÁXIMO:
El punto
es el punto más alto de la curva,
tiene un máximo en
; el máximo es
MÍNIMO:
El punto
el mínimo es
24
es el punto más bajo de la curva,
tiene un mínimo en
Capítulo IV: FUNCIONES
Veamos el siguiente caso, es una función definida a trozos, sobre el intervalo
Esta función está definida en el intervalo
.
o En el intervalo
la función tiene un máximo en x = 2, ese máximo
es 5.
o En el mismo intervalo:
, el mínimo es 1, para x = 0y x = 5.
o En el intervalo
el mínimo es 1, para x = 0, el máximo es 5, para
x = 2.
o En el intervalo
el mínimo es 1, para x = 5, el máximo es 5, para
x = 2.
o En el intervalo
el mínimo es 1, para x = 5, el máximo es 3, para
x = 8.
Con esto, hay que notar que las nociones de máximo y mínimo están
relacionadas con el intervalo a considerarse, además vemos que alguna
función puede alcanzar su máximo o mínimo en varios puntos.
Una pregunta: ¿será que todas las funciones tienen máximos y mínimos?
La respuesta es obviamente NO, ejemplos:
i.
no tiene máximo ni mínimo en
ii.
no tiene máximo ni mínimoen .
Otros ejemplos:
iii.
iv.
v.
tiene mínimo en 0, pero no tiene máximo en .
tiene máximo en 0, pero no tiene mínimo en
, definida en el intervalo
valor es 1, y tiene un mínimo en
tiene un máximo en , cuyo
, cuyo valor es -1.
¡Compruébalo con la ayuda de la calculadora o un programa de gráficos, el
programa GeoGebra: http://geogebra.softonic.com/ también es muy bueno!
25
Capítulo IV: FUNCIONES
Simetrías
Funciones: Pares, Impares, Periódicas
SIMETRÍA.- La simetría es un concepto también asociado a la realidad, en la
naturaleza encontramos algunos ejemplos: muchas flores tienen dispuestos
sus pétalos de forma “simétrica”, el cuerpo humano es “simétrico”, algunas
figuras geométricas son “simétricas”, etc.
La idea intuitiva asociada al concepto de simetría es el espejo. Pero tenemos
que definirla matemáticamente, para lo cual consideramos dos tipos de
simetría:
A. Simetría axial.- Se dice que dos puntos A y B
son simétricos respecto a un eje d, llamado
“eje de simetría”, si d es la mediatriz del
segmento
.
En el plano cartesiano, los ejes de simetría suelen ser
precisamente el eje x y el eje y.
B. Simetría central.- Dos puntos M y N son
simétricos respecto a un punto O, si O es la
mitad del segmento
.
Igualmente, en el plano cartesiano, el origen de
coordenadas suele ser el punto de simetría central.
26
Capítulo IV: FUNCIONES
Sea
una función definida sobre un intervalo , entonces aprendamos las
siguientes definiciones:
Función par
I está centrado en cero y
para todo x elemento de
I, se tiene que:
I está centrado en cero y
para todo x elemento de
I, se tiene que:
El eje de las ordenadas
(eje y) es el eje de
simetría de la curva
El origen de
coordenadas es el
centro de simetría de la
curva
Función impar
Función periódica
El dominio de definición
de f es y para todo x
elemento de , se tiene
que:
La curva es “invariante”
por traslación horizontal
Donde p es un número
real, llamado período de
f
Notas: muchas funciones no son ni pares ni impares, en particular, no lo son
las funciones cuyo conjunto de definición no esté centrado en cero, por
ejemplo, el intervalo:
no lo está.
27
está centrado en cero, mientras el intervalo
Capítulo IV: FUNCIONES
Ahora ¿cómo reconocer si una función es par o impar?, el siguiente esquema
nos ayudará:
Cálculo de f(-x)
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
f es par
f es impar
f no es par ni
es impar
Ejemplos:
Estudiar la “paridad” de las siguientes funciones:
1.-
, definida sobre
Calculamos inmediatamente:
Luego, la función es par.
2.-
, definida sobre
Calculamos
Luego la función es impar.
3.-
definida sobre
Calculando
Luego la función no es par ni es impar.
* La función seno es periódica de período
puesto
que:
,
(comprueba con algunos valores en la
calculadora). Más adelante veremos con
detalle estas funciones. Pero si puedes
contestar lo siguiente, ¿el seno es par o
impar?, construye el gráfico y deduce.
28
Un chistecito gringo:
Capítulo IV: FUNCIONES
Sentido de Variación de una Curva.Analicemos la siguiente curva:
La función
que representa esta curva, está definida en el intervalo
, en
el cual no es creciente ni decreciente, pero si la analicemos por sub-intervalos
veremos mejor su comportamiento: en el intervalo
decreciente, en el intervalo
es estrictamente
es constante y en el intervalo
es
estrictamente creciente.
De esta manera hemos estudiado el “sentido de variación” de la curva que
representa la función. Es decir, hemos encontrado los intervalos en los que la
curva es estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante. Pero
esto lo podemos simplificar con una tabla, llamada tabla de variación de la
función, para el ejemplo anterior quedaría así:
x
0
5
7
4
4
f
1
29
10
1
Capítulo IV: FUNCIONES
Como aplicación, encuentra la tabla de variación de la siguiente curva:
Pero, en la mayoría de casos, nos dan la tabla de variación y se pide construir
la curva, como vemos en el siguiente ejemplo:
Construye la curva de una función que tiene la siguiente tabla de variación:
x
-4
0
2
5
-1
-1
3
f
-2
30
Capítulo IV: FUNCIONES
Como pueden ver, la representación anterior coincide con lo planteado en la
tabla de variación.
Claro que la curva también podría ser así:
Es decir, hay infinidad de curvas que se pueden dibujar con esa tabla de
variación. Entonces el método de la tabla es una manera solo aproximada de
dibujar la curva, pero en todo caso es muy útil para ver su “comportamiento” en
forma general, es decir su monotonía en cada intervalo., además no
necesitamos conocer la ley de
la función.
Tracemos ahora una curva por otro método, el llamado “punto por punto”:
Sea la función:
, definida sobre el intervalo
El método consiste en construir una tabla de valores de la siguiente manera:
X
y
-7
0.5
-6
0.55
-5
0.65
-4
0.75
-3
0.9
-2
1
-1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
-3
-3.5
-2.2
-1.5
-1.1
-0.9
-0.75
-0.6
Se han colocado en la fila se las x, los valores enteros entre -7 y 7, en la fila de
las y, se han colocado los valores obtenidos con UNA CALCULADORA
programable, con una aproximación de 2 centésimas, siguiendo la fórmula:
; la secuencia de teclas es la siguiente:
(
31
(-)
4
-
3
)
(
Capítulo IV: FUNCIONES
^
2
+
1
)
¡Comprueba los valores de la tabla!
Observemos y analicemos los valores obtenidos:
De -7 a -2, la variación no es muy importante, los valores de la función
crecen “despacio” desde 0.5 a 1.
De -2 a -1 hay un “pequeño” decrecimiento, en cambio de -1 a 0, el
decrecimiento es más “rápido”, calculemos por ejemplo:
y
Podemos deducir que la función tiene un máximo que es 1, para x = -2,
se puede observar que al calcular
para valores “próximos” a -2, nos
dan números menores que 1. Pero Cuidado, no está demostrado
formalmente que 1 es el máximo, para ello habría que demostrar que
para todos los x que pertenecen a
Según la tabla, la función tiene el valor más pequeño: -3.5, para x =1,
pero por si acaso calculemos algunos valores más:
Deducimos que hay un mínimo en 0.5, este valor es -4.
Ahora ya podemos dibujar la curva
Bueno aquí nos paramos de tanta teoría y nos vamos a hacer
algunos ejercicios, lo cual es muy necesario para reafirmar la
teoría. Aquí se necesita tu mayor concentración, si no sabes
alguna pregunta, revisa nuevamente la teoría, no te rindas
frente a un problema, algunos son más difíciles que otros, pero
TODOS SON RESOLUBLES.
32
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejercicios Propuestos
CONTESTA VERDADERO O FALSO:
1. La “relación” que une a un padre con sus dos hijos ¿es una función?
2. Si x es un elemento del conjunto de definición de
, entonces
siempre existe.
3. Sea A(-3,2) un punto de una curva que representa a la función
entonces es verdad que
,
.
4. Las pre-imágenes de una función está en el eje de las ordenadas.
5. Una función que no es par, entonces es impar.
IDENTIFICACIÓN GRÁFICA:
1. Observar las siguientes curvas:
a) Indicar cuáles curvas representan una función (sugerencia: Si trazas una
línea vertical en cualquier parte del plano, para que la curva represente a
una función, ésta debe cortar en un SOLO PUNTO a la curva).
b) ¿Cuáles son pares, impares?
c) Para cada curva encontrar el conjunto de definición.
33
Capítulo IV: FUNCIONES
2. Observa la siguiente curva, definida en
y contesta lo siguiente:
i.
Realiza la tabla de variación de la función
ii.
¿Cuál es el máximo, cuál es el mínimo en el intervalo
iii.
¿Cuál es el mínimo en el intervalo
intervalo
iv.
?
?, ¿Cuál es máximo en el
?
Encuentra los siguientes valores de la función:
, la función
¿es par, es impar?
v.
Si
vi.
Traza otra curva con la misma tabla de variación de esta función.
3. En el gráfico siguiente se han trazado unas curvas que representan la talla y
el peso de los muchachos y las muchachas entre 0 y 18 años.
Las dos curvas superiores indican las tallas y las dos inferiores indican el peso.
Las curvas que indican a las muchachas están en rojo, las de azul indican a los
muchachos y la verde indica los pesos de un muchacho con desnutrición.
34
Capítulo IV: FUNCIONES
Nota que hay dos ejes de ordenadas, la de la izquierda indica las tallas en cm y
la de la derecha indica los pesos en kg.
PREGUNTAS:
a) ¿Cuáles curvas son estrictamente crecientes?, ¿cuáles son crecientes,
decrecientes?, ¿ninguna de las dos?En el intervalo
b) Indicar el máximo y el mínimo en el intervalo
de cada una de las
cinco curvas representadas, precisar la edad.
c) Un chico desnutrido pesa 35 kg, ¿qué edad tiene?
d) Comparar la manera de crecer en talla y en peso entre los muchachos y
las muchachas.
e) Busca tu edad y encuentra tu peso y tu talla.
f) Definimos una nueva función llamada
muchacho de edad , y sea
donde
el peso de un muchacho de edad
que tiene desnutrición, entonces, sea la función:
35
es el peso de un
Capítulo IV: FUNCIONES
Encontrar aproximadamente los valores
,
,
. Saca alguna
conclusión.
¿En qué intervalos la curva que representa a la función
es creciente,
decreciente? Concluye algo interesante.
4. Un problema de Física:
El gráfico siguiente representa la variación de la distancia en
función del
tiempo
realizada por un móvil M. también se da una tabla de datos, en la cual se
tiene valores del tiempo , expresado en segundos y su respectiva distancia
, expresada en metros.
0
2
5
10
15
20
30
40
50
0
19
29
42
56
61
78
88
98
Recordemos que la velocidad media de un móvil, entre los instantes:
está definida como el cociente entre la variación de la distancia recorrida
y el tiempo utilizado, es decir:
Veamos lo que se puede concluir de los datos anteriores:
a. ¿El móvil recorre la misma distancia en iguales intervalos de tiempo?, es
decir, ¿el movimiento es uniforme? Sugerencia: fíjate en la tabla, por
36
Capítulo IV: FUNCIONES
ejemplo en el intervalo entre 5 y 10 segundos, ¿es la misma distancia
que el intervalo entre 10 y 15, o 15 y 20?, etc.
b. ¿Recorre más metros durante los primeros cinco segundos que durante
los diez últimos?, es decir ¿es mayor la velocidad en el intervalo de
tiempo
que sobre el intervalo
?
c. De acuerdo al gráfico, la velocidad del móvil: ¿tiende a disminuir?, ¿a
ser constante?, verificar con la tabla.
d. Según el gráfico y la tabla, ¿cuál es el intervalo de tiempo en que el
móvil tiene mayor velocidad?
e. ¿Cuál es la velocidad media en el intervalo
?, ¿en el intervalo
?
f. Supongamos que otro móvil N, se mueve con la misma velocidad que el
móvil M en el intervalo
, es decir el móvil N se mueve con esa
velocidad constante desde el tiempo
, sin hacer
cálculos, directamente sobre el gráfico, traza la curva que representa la
función
que es la distancia en metros que recorre el móvil N en el
tiempo .
5. a)
es una función creciente en el intervalo
en el intervalo
b)
¿por qué f(3) es el mínimo
?. ¿Por qué f(7) es el máximo en el mismo intervalo?
es una función decreciente en el intervalo
máximo en el intervalo
¿por qué f(-4) es el
?. ¿Por qué f(5) es el mínimo en el mismo
intervalo?
6.
es una función definida en
, f es creciente sobre
puede decir que es cierto que: si
7.
, tal que f(0) = 1, ¿se
?
es una función estrictamente creciente en el intervalo
falso lo siguiente:
es cierto o
se tiene que:
8. Indicar la monotonía (decir si es creciente, decreciente, estrictamente o no)
de las siguientes funciones:
I.
37
Capítulo IV: FUNCIONES
II.
III.
IV.
V.
VI.
¿Las funciones I y II, tienen la misma monotonía?
9. Dada la siguiente tabla de variación de una función, hacer dos gráficos
aproximados de la misma.
X
-2
0
3
5
6
0
F
-1
10. Sea la función
sobre
-3
, definida por
a. Verificar que
b. Demostrar las dos propiedades siguientes:
c. Deducir de a. y b. que
es estrictamente creciente en el intervalo
y que es estrictamente decreciente en el intervalo
. Hallar
la tabla de variación de la función.
d. Resolver la ecuación:
(factora e iguala a cero cada factor).
e. Utiliza c. y d. para resolver la inecuación:
.
11. Resolver lo siguiente:
i.
¿Qué número real es igual a su opuesto?. Deducir la función definida
sobre
38
, que es a la vez par e impar.
Capítulo IV: FUNCIONES
ii.
f es una función impar, definida sobre el intervalo –
, entonces,
demostrar que
iii.
Demostrar que si f es creciente sobre el intervalo
, entonces
también es creciente en el intervalo
iv.
Demostrar que si f es decreciente sobre el intervalo
, entonces
también es decreciente en el intervalo
v.
Analizar lo mismo si
es par
una función definida sobre el intervalo –
12. Sea
consideremos las funciones
definidas así:
a. Determinar las funciones
b. Estudiar la paridad de
cuando:
es par,
es impar.
en una forma general.
13. Para cada par de números reales
tiene:
. Sobre este intervalo,
tal que:
, se
.
a) ¿Qué se puede decir de la monotonía de esta función?
b) f es una función definida sobre
y tal que:
¿se puede decir que la función es creciente en
c) Se sabe que
que
, y que para todo real
,
?. Justificar.
del intervalo
se tiene
. ¿se puede decir que esta función es decreciente en
, justificar.
14. Dibujar las siguientes curvas:
i.
ii.
Decreciente en
está definida en el intervalo
decreciente en
iii.
, tal que : sea decreciente en
,
, pero no estrictamente decreciente en
es creciente en el intervalo
de definición:
39
y creciente en
, y tal que, para todo
del conjunto
Capítulo IV: FUNCIONES
iv.
es una función decreciente sobre los números negativos y tal que para
todo
, se tiene que
15. Considera la siguiente curva de la función :
a) Encontrar el conjunto de definición de
b) Resolver gráficamente las ecuaciones:
c) Encontrar los puntos de las abscisas donde la imagen es negativa
d) Resolver gráficamente:
16. Una función definida a trozos tiene la forma siguiente:
Se ha representado dicha función en cada una de sus partes para que puedas
observar cómo se grafica este tipo de funciones cuya curva de definición no
tiene un comportamiento igual en todo su dominio.
40
Capítulo IV: FUNCIONES
a. ¿Hay máximo?, ¿hay mínimo?, ¿cuáles?
b. ¿En qué intervalos es creciente?, ¿en qué intervalos es decreciente?
c. La función se “anula” ¿en qué puntos?
d. ¿En qué intervalos es positiva?, ¿En qué intervalos es negativa?
e. ¿Cuál es su conjunto imagen?
17. Un problema de medicina: Se inyecta a un ratón de laboratorio por vía
intramuscular una sustancia inofensiva que pasa del músculo a la sangre y es
eliminada enseguida por los riñones. El gráfico siguiente muestra la variación
de la cantidad de sustancia
instante
(en segundos). “Leer” el gráfico siguiente para responder las
preguntas:
41
en gramos por litro presente en la sangre en el
Capítulo IV: FUNCIONES
Observa que el proceso de asimilación de la sustancia sucede en el intervalo
de 0 a 18 segundos, mientras que el proceso de eliminación sucede a partir de
los 18 segundos en adelante.
a. ¿Cuál es la cantidad máxima de sustancia que pasa a la sangre?, ¿en
qué tiempo?
b. ¿A partir de qué momento comienza la eliminación de la sustancia?
c. ¿El tiempo de la asimilación de la sustancia es más largo o más corto
que la eliminación? ¿por qué?
d. ¿Cuál es el tiempo de paso de 1.5 g a 2.3 g en el proceso de
asimilación? ¿Cuál es el tiempo de paso de 2.3 g a 1.5 g en el proceso
de eliminación?. Compara los dos tiempos.
18. Demostrar que la función
en el intervalo
, es estrictamente decreciente
, y es estrictamente creciente en el intervalo
,
construye la tabla de variación y dibuja la curva
19. Un problema de Física: Un proyectil se lanza desde el suelo , designamos
por
la altura en metros al instante en segundos, los físicos estiman que la
altura del objeto responde a la ley siguiente:
.
a) ¿En qué instante el proyectil regresará al suelo?
b) Demostrar que la función
intervalo
es estrictamente creciente en el
y es estrictamente decreciente en el intervalo
c) ¿Cuál es la altura máxima a la que llega el proyectil?
d) ¿En qué tiempo llegó a esa altura?
e) Acuérdate de las clases de Física y responde: ¿cuál es la velocidad
inicial con la que se lanzó el proyectil?, ¿qué valor aproximado de g
(aceleración de la gravedad) se ha tomado en la fórmula de
?
f) Dibuja la curva
20. Vamos por la Ecología, tema tan de moda en estos tiempos: Estudio de la
evolución de las fuentes de energía en el mundo desde 1950 a 1985.
1. Hacer la tabla de variación de cada función
42
Capítulo IV: FUNCIONES
2. A partir de 1980, ¿qué pasa con el consumo del carbón y la madera?
3. ¿Qué función “tiende “a crecer más rápidamente?
4. ¿En qué año se presenta la máxima producción de carbón?
5. ¿Por qué tiende a disminuir el consumo de la madera?
21. La relación que une a cada número real con su cuadrado ¿es una función?
V____
F____
22. Si el punto P (3, 2) pertenece a la curva de la función
verifica que:
. V____
, entonces se
F____
23. El dominio de una función es un subconjunto del eje de las x. V____ F____
24. Si
, entonces
25. En una relación
función
43
se tiene
V_____ F____
V____
F____
, entonces no es una
Capítulo IV: FUNCIONES
26. En el siguiente gráfico se representa la distancia recorrida por los ciclistas
en la Vuelta a la República en la etapa Quito - Santo Domingo:
a) ¿A qué hora salen?_______,
¿A qué hora llegan?_______
b) Suponiendo que tienen velocidad constante en cada hora, calcula la
velocidad en cada tramo: 10-11:_____km/h; 11-12:____km/h; 1213____km/h; 13-14_____km/h; 14-15____km/h; 15-16____km/h
c) ¿Dónde y a qué hora hay la mayor cuesta?: hora_______; Km_______
d) ¿Dónde y a qué hora hay la mayor bajada?: hora_______; Km_______
27. Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 20 cm de lado, se recorta
en cada esquina un cuadrado de
cm de lado y luego se dobla para fabricar
una caja.
a) Expresar
el
volumen
de
la
caja
en
función
de
:
b) Hallar el dominio de :
Nota: El volumen de la caja es igual a la superficie de la base por la
altura
44
Capítulo IV: FUNCIONES
28. Una agencia de alquiler de autos propone dos tarifas diarias a sus clientes
para alquilar un auto: Primera: $50 fijos más $0.5 por kilómetro. Segunda: $25
fijos más $1.5 por kilómetro. Llamemos
el día,
al número de kilómetros recorridos en
al precio que se pagaría en la primera tarifa;
al precio que se
pagaría por la segunda tarifa.
a) Encontrar
y
;
b) Suponiendo que se recorra 500 km en el día, ¿Cuál de las dos tarifas es
más conveniente? Explicar: (se sugiere hacer un gráfico en la parte de
atrás)
29. Hallar el dominio de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
___
d)
__
e)
30. Dados los siguientes gráficos, encontrar el dominio y el conjunto imagen
45
Capítulo IV: FUNCIONES
Paréntesis cultural: Galois
Galois fue un matemático genial
que no es conocido por el público
en general. Su obra pertenece al
campo del Análisis Matemático
que no está entre los contenidos
de
la
escuela
primaria
ni
secundaria, quedando al margen de
los estudios básicos de cultura
general. Su genio le permitió dejar
una obra de inestimable valor
habiendo vivido sólo 21 años. Su
vida se desarrolló en Francia a
comienzos del siglo XIX en uno de
los turbulentos períodos de la
historia de Europa.
Evaristo Galois nació en Bourgla-Reine el 25 de octubre de
1811. A los doce años ganó una
beca para estudiar en el Colegio
de Reims y al poco tiempo se fue
a París para estudiar en el Liceo
Luis-le-Grand, donde con sus
escasos doce años discutía
violentamente sobre el destino
político de Francia. En realidad
la política era el tema que lo
volvía agresivo y por lo demás
era un adolescente soñador,
gustaba de la literatura, sin por
esto descuidar su inclinación ya
notable por la matemática.
Con solo 13 años estudió la
geometría de Legendre, y en
pocos
meses
asimiló
su
contenido.
Buscó
aprender
álgebra así que se puso a
desentrañar
la
obra
de
Lagrange.
Estos
dos
matemáticos,
Legendre
y
Lagrange,
influyeron
notablemente en su pasión por la
matemática y entonces se
propuso prepararse para el
ingreso a la Escuela Politécnica
46
Operaciones con Funciones:
Las funciones, al igual que los números también se
pueden “combinar” con varias operaciones para
producir otras funciones, vamos a estudiar algunas
de estas operaciones:
SUMA Y RESTA DE FUNCIONES:
Para poder sumar o restar dos funciones es
necesario que ambas tengan el mismo dominio de
definición , de esta forma definimos:
Sean
dos funciones con el mismo dominio de
definición , entonces la suma de
y simbolizada:
tiene la ley:
, donde
pertenece a
Sean
dos funciones con el mismo dominio de
definición
, entonces la resta de y
tiene la ley:
, donde
pertenece a
Ejemplos:
1. Sean
entonces:
Gráficos:
simbolizada:
,
y
Capítulo IV: FUNCIONES
1. Sean
;
; entonces:
Gráficos:
3. Sean
Gráficos:
47
;
de París sin dejar, por supuesto
las otras actividades. Intervenía
en las discusiones artísticas. En
el año 1827, Galois fracasó en su
intento de ingresar a dicha
institución, así que se dedicó a
preparar una memoria con sus
trabajos y la presentó por su
cuenta en la Academia de
Ciencias. Sus apuntes sobre la
teoría de ecuaciones algebraicas
fueron olvidados sin que nunca
más se supiera de ellos; algunos
argumentan que por celos
profesionales, otros que los
prejuicios de la época fueron los
causantes. Al año siguiente
volvió a dar el examen de
ingreso a la Politécnica. Esta vez
no consiguió entenderse con los
profesores que le tomaron el
examen y se puso a corregir las
preguntas que le hacían sobre la
teoría de logaritmos, es muy
probable que Galois, a esa
altura, supiera mucho más que
sus profesores. Pero claro, a
ellos no les gustó nada la
observación del aspirante y le
llamaron seriamente la atención
con lo cual Galois ya no pudo
dominar su temperamento, les
tiró el borrador por la cabeza y
se fue diciendo que eran unos
"ganapanes de la enseñanza" y,
por supuesto, tampoco esa vez
pudo ingresar a la Politécnica de
París.Abandonó para siempre la
posibilidad del ingreso a la
Politécnica y se dedicó a entrar
en la Escuela Normal que había
sido reabierta.
Entró en la Escuela Normal el 20
de febrero de 1830. Ganarse la
incomprensión de sus maestros
fue una condición que Galois
Capítulo IV: FUNCIONES
conservó toda su vida de
estudiante. En la Escuela Normal
sus profesores de matemática lo
tenían por un alumno inteligente,
lúcido y aceptaban que había
obtenido resultados nuevos en el
Análisis Matemático, pero los
otros lo consideraban un pésimo
alumno. La atmósfera política de
la ciudad ya estaba cargada y
desde ese momento lo que siguió
fue a desembocar directamente
en la revolución de julio que
derrocó a Carlos X y puso en el
poder a Luis Felipe. Y así fue
como Galois se lanzó nuevamente
a la actividad política. Pero esta
vez sin descuidar totalmente sus
estudios matemáticos. En esta
época publicó el resultados de
algunas de sus investigaciones,
dio clases particulares de
álgebra
superior,
funciones
elípticas y teoría de números,
pero también se hizo tiempo
para participar de las reuniones
literarias en el Cenáculo, una
sociedad
literaria
famosa
fanática de Víctor Hugo que se
reunía en el salón Charles
Nodier.Así que Galois, llevado
por
su
temperamento
extremista no tuvo mejor idea
que dejar aclarado su punto de
vista y para eso eligió a un
partidario de Luis Felipe, nada
menos que el director de la
Escuela Normal a quien envió una
explosiva carta de protesta. Y
así fue como lo expulsaron
también de la Escuela Normal.
Por
su
comportamiento
apasionado en temas políticos,
sus mañas para convencer a las
masas a compartir sus ideales, y
48
4. Sean
;
entonces:
Gráficos:
Multiplicación y División de Funciones:
De la misma forma que la suma y la multiplicación,
para que dos funciones puedan multiplicarse deben
tener el mismo dominio de definición. La multiplicación
entonces sigue las mismas reglas que el producto
entre números reales; sin embargo para la división es
necesario constatar que el denominador sea diferente
de cero.
Sean
definición
dos funciones con el mismo dominio de
, entonces el producto de
y
Capítulo IV: FUNCIONES
simbolizado:
, donde
Sean
pertenece a
dos funciones con el mismo dominio de
definición
simbolizada:
donde
tiene la ley:
, entonces la división de
por
tiene la ley:
pertenece a
,
y
Ejemplos:
1. Sean
;
entonces:
Veamos los gráficos:
2. Sean
entonces:
49
;
su continuas muestras de
desafecto por Luis Felipe, fue
en varias ocasiones tomado
prisionero, pero por cortos
períodos. Esta fue sin dudas la
causa
de
su
temprana
desaparición física, cuando una
vez más se complicó en enredos
políticos con sus enemigos y
aceptó batirse a duelo por
motivos que nunca quedaron muy
claros.
Consciente
de
su
desventaja ante su adversario la
noche antes del duelo escribió
su
última
voluntad:
un
testamento científico que daría
buen trabajo a los científicos
que lo sucedieron. En él puso sus
especulaciones sobre la teoría
de grupos que había concebido
en los último tiempos y a las que
nunca había destinado el tiempo
suficiente para escribirlas ya
que estaba siempre involucrado
en episodios confusos. Así
expuso sus teorías en una sola
noche. Al día siguiente se
enfrentó con su adversario:
duelo a pistola y a veinticinco
pasos. Recibió un balazo en el
vientre y a pesar de recibir
atención médica falleció al día
siguiente, el 31 de mayo de 1832
y fue enterrado en la fosa
común. Galois era un genio
netamente romántico. Tanto su
vida como su muerte tuvieron los
detalles
del
romanticismo
francés. No es casual entonces
que los temas matemáticos de su
interés hayan sido abstractos y
que incursionara en la teoría de
las estructuras mostrando así
las aspiraciones románticas de
ocuparse de ideales filosóficos
elevados.
Capítulo IV: FUNCIONES
Pero:
,
Veamos a continuación los gráficos de dichas funciones:
Como se puede apreciar en la mayoría de los gráficos, los resultados de
sumar, restar, multiplicar o dividir resultan gráficos diferentes a las funciones
iniciales.
También se pueden combinar las operaciones.
Ejemplos:
Sean
Hallar:
Solución:
Un ejemplo interesante:
Sea
cero.
Solución:
50
, se pide encontrar:
, donde
es un número diferente de
Capítulo IV: FUNCIONES
Veamos un ejemplo de la vida real:
Una pequeña industria
produce zapatos, suponiendo que la materia
prima cuesta $7 por cada par de zapatos, se deben pagar gastos fijos,
como: luz, agua y teléfono: $75, a los 3 empleados se les paga $300
mensuales a cada uno; suponiendo que al mes se producen
pares de
zapatos, se pide encontrar las fórmulas matemáticas de las siguientes
funciones,
: gastos fijos al mes;
gastos móviles, de acuerdo al
número de pares de zapatos producidos al mes; si cada par de zapatos
se vende a $20, encontrar la función
de
de dinero producido por la venta
pares de zapatos, por último, se pide encontrar la función
ganacias al vender
de
pares de zapatos.
Solución:
Si vende 100 pares de zapatos, ¿cuál es su ganancia?:
, luego su ganancia es: $325
¿Cuántos pares de zapatos debe vender para obtener una ganancia de por lo
menos $1000?
Luego, para conseguir una ganancia de por lo menos $1000 debe vender 152
pares de zapatos o más.
51
Capítulo IV: FUNCIONES
Composición de Funciones
Vamos a aprender una nueva forma de operar funciones, es un poco más
complicada que las anteriores pero una vez que la comprendas se te hará fácil,
además esta operación es muy útil en muchos temas de la matemática. Toma
un respiro y va la definición siguiente:
Definición.- Sean
función de
en
tres conjuntos de los números reales, sea
, sea
una función de
en
función: “compuesta de g con f”, simbolizada
manera que:
,donde
una
, definimos entonces la
que va de
en , de tal
pertenece a .
Parece un poco complicado, pero vamos analizando la definición:
Esta operación se llama “composición” porque la nueva función resulta de
aplicar una función en otra, es decir, la función
función
a la función
tomamos un elemento
si este número
número:
. En general, si tomamos dos funciones
pertenece al dominio de
. Entonces el dominio de la nueva función
, de tal manera que
, el conjunto imagen o rango de
f(x)
g(f(x))
gof
Con un ejemplo numérico se aclara tremenda duda que tienes:
Por definición:
52
y sea
, hallemos
Luego:
es un
pertenece al
es un subconjunto del
Con el siguiente esquema lo podemos ver mejor:
x
,
, entonces podemos calcular el
rango de .
Sea
, si
del dominio de , calculamos luego su imagen:
subconjunto del dominio de la función
dominio de
resulta de aplicar la
Capítulo IV: FUNCIONES
Otro ejemplo: Sea
y sea
Por definición:
, hallemos
luego:
Y otro más: Sea
y sea
Por definición:
, hallemos
luego:
Otro caso: De igual manera podemos definir la función
, que sería así:
Esquema:
g(x)
x
f(g(x))
fog
Ejemplo: Sea
y sea
Por definición:
luego:
Otro: Sea
Por definición:
53
y sea
, hallemos
, hallemos
luego:
Capítulo IV: FUNCIONES
Otro más: Sea
y sea
Por definición:
luego:
Ejercicio: Sea
y sea
, halla
Analicemos el caso inverso de las operaciones algebraicas que hemos
realizado hasta ahora en los ejemplos anteriores:
Variando los ejercicios: Dadas
Sea
Vemos que:
y
Sea
Vemos que
54
y
o
, hallar
Capítulo IV: FUNCIONES
Sea
Vemos que:
Sea
y
Hallar
.
¿Será cierto que la operación “composición es conmutativa”?, es decir que:
, evidentemente y por definición: en general NO. Pero puede
darse el caso en que
Encontremos
Ahora calculemos
, por ejemplo:
;
;
Entonces vemos que en este caso
, pero es solo un caso
particular, en general la composición no es conmutativa.
¡Encuentra otro ejemplo!
¿Será cierto que la operación “composición es asociativa”?
Veamos, para que la composición sea asociativa se debe cumplir:
Desarrollemos los dos lados de la igualdad:
Por otro lado:
55
Capítulo IV: FUNCIONES
Como se puede ver las dos expresiones son iguales, por tanto, hemos probado
formalmente que la composición de funciones es asociativa.
Probemos con un ejemplo:
Sean
Calculemos primero:
;
Ahora:
Por otro lado:
Por lo tanto:
Encuentra otro ejemplo para que te ejercites
Existe una función real muy particular, que se llama la función identidad, la
notamos:
, es decir es una función que a cualquier valor
le devuelve el mismo valor. Su gráfico es:
56
Capítulo IV: FUNCIONES
Sea
cualquier función real, hagamos la composición de
con la función
identidad:
Es decir al componer cualquier función con la identidad, tanto a la izquierda
como a la derecha nos da como resultado la misma función. Decimos entonces
que la función identidad cumple con una misión modulativa o de neutralidad,
si te acuerdas un poco de los números reales, existen dos números que
cumplen con esa propiedad, el cero para la suma y el uno para la
multiplicación.
En este caso, como estamos tratando con funciones y con la operación
composición, es lógico que ese papel lo cumpla otra función, y esta es pues, la
función identidad.
Haciendo un resumen: hemos visto que la composición de funciones es una
operación que cumple con dos propiedades: la asociativa y la existencia de
un elemento neutro, que se llama función identidad, más adelante veremos
que cumple con otra propiedad más, que se llama la existencia de un inverso
y verás cómo se juntan mágicamente dos partes esenciales de la matemática:
el análisis en los reales y el álgebra abstracta, todo esto claro está, es
posible bajo las condiciones de existencia y de cada una de las composiciones
de las funciones que intervienen en las propiedades.
57
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejercicios Propuestos
1. Dadas las siguientes funciones, hallar las operaciones indicadas y su
conjunto de definición
a)
d)
b)
e)
c)
f)
g)
j)
h)
k)
i)
l)
2. Hallar
sabiendo que para cualquier
3. Hallar
sabiendo que para cualquier
4. Hallar
sabiendo que para cualquier
5. Hallar
sabiendo que para cualquier
6. Si sabemos que
7. Si
se tiene que:
se tiene que:
se tiene que:
, hallar una función
, hallar una función
8. Definimos la siguiente operación:
reales
se tiene que:
, tal que:
, tal que:
, de tal manera que, dadas dos funciones
, se tiene que:
. Si
y
, demostrar que:
9. Definimos:
, sean:
,
, demostrar que
10. Si
Si
58
, hallar
¿Cuánto vale
. Encontrar
. Compara con
,
(en función de h)
Capítulo IV: FUNCIONES
Funciones Inyectivas
Hay un tipo muy especial de funciones que se llaman inyectivas o uno a
uno, para acercarnos a su concepto veamos un par de ejemplos de la vida
real:
Si a cada ciudadano del Ecuador le asociamos el número de su cédula de
identidad, es decir si
establecemos una relación entre el conjunto de
ciudadanos y sus números de cédula, sabemos que, en primer lugar cada
ciudadano tiene un único número de cédula(es decir no puede tener más de
uno), lo cual convierte a esta relación en una función, pero por otro lado, dos
ciudadanos distintos, digamos Pedro y Luis, no
pueden tener el mismo
número de cédula, lo cual, ya vamos a ver, le convierte a esta función en
inyectiva.
En el conjunto de los números naturales:
subconjunto de los números pares:
, tomemos el
, encontremos una función que:
a cada número par “le asocie” un determinado y único número natural, así por
ejemplo tendríamos las parejas:
, en este caso
hemos formado una función inyectiva,
es decir, a cada número par se le
asocia un número natural determinado, de tal manera que: dos números pares
distintos, tienen distintas parejas.
De esta manera podemos acercarnos al concepto defunción inyectiva,
“una función es inyectiva cuando por cada dos números distintos del dominio,
se les asocia dos números diferentes en el conjunto imagen”
Definición formal: Sea
decimos que
donde
Traduciendo:
una función real definida sobre un intervalo
es inyectiva si:
o
,
,
.
, significa que: en una función inyectiva, si
tenemos dos elementos distintos del dominio entonces sus imágenes deben
ser también distintas. También se puede poner así:
, lo
que quiere decir que: para que la función sea inyectiva, si dos imágenes son
iguales, entonces, sus pre – imágenes deben ser también iguales.
También podemos interpretar este concepto gráficamente: “si trazamos líneas
horizontales en cualquier parte de la gráfica, estas líneas deben cortar a la
gráfica de la función en un solo punto”.
59
Capítulo IV: FUNCIONES
En cambio, si trazamos líneas horizontales y éstas cortan a la gráfica en dos
puntos o más, entonces esta función no es inyectiva:
También lo podemos ver en un diagrama de conjuntos:
Función inyectiva
Ejemplos:
Funciones inyectivas:
60
Función no inyectiva
Capítulo IV: FUNCIONES
Funciones no inyectivas:
Ahora, ¿cómo podemos probar formalmente que una función es inyectiva?
El método es relativamente fácil: tomamos dos imágenes iguales y mostramos
que sus pre – imágenes son iguales también.
Ejemplo:
Probemos que la función:
es inyectiva.
Tomamos
por lo tanto, hemos partido de la igualdad de las dos
imágenes y hemos concluido en la igualdad de las pre-imágenes, por lo tanto la
función:
es inyectiva.
Prueba con la función:
Veamos en cambio esta función:
. Suponemos la igualdad de dos imágenes cualquiera:
este caso no podemos probar que
, en
, puesto que, por ejemplo:
Esta función (cuadrática) no representa una función inyectiva, lo puedes
comprobar además haciendo el gráfico con el programa Deadline, y trazando
líneas paralelas al eje “x”, verás que cada paralera corta a la curva en 2 puntos.
Ya estamos listos entonces para hacer algunos ejercicios sobre este tema:
61
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejercicios Propuestos
1. Dadas las siguientes funciones:
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
Determine cuáles son inyectivas y cuáles no. Justifique.
2. Dadas las siguientes representaciones gráficas de ciertas funciones:
Diga cuáles representan funciones inyectivas. Justifique.
3. Determine si las siguientes funciones son o no inyectivas.
a)
b)
g)
c)
h)
d)
i)
e)
62
f)
j)
Capítulo IV: FUNCIONES
Funciones inversas:
A continuación analicemos otra propiedad que cumplen las funciones. Para
determinar dicha propiedad es muy importante conocer si la función es o no
inyectiva. Estamos hablando de las Funciones Inversas, las cuales solo pueden
obtenerse a partir de una función inyectiva.
El concepto de Función Inversa cotidianamente se asocia con la imagen que se
obtiene al reflejar un cuerpo en un espejo. Es exactamente esta la relación que
existe entre una función y su inversa.
Tomando la función f, como una función inyectiva, podemos
representar a la función inversa de f como f -1. La relación
existente entre estas 2 funciones recíprocamente inversas
una de la otra establece que:
Dominio de
Imagen de
= Imagen de
TRABALENGUAS:
Toda función inyectiva
es la función inversa
de otra función, y
viceversa.
Dominio de
Tal que:
Gráficamente una función y su inversa son simétricas respecto a la recta f(x)=x,
o también representada como y=x. Esta recta es quien funciona como el espejo
entre las curvas de las funciones recíprocamente inversas.
63
Capítulo IV: FUNCIONES
En general, en dicha representación cada par ordenado
principal
representa el par ordenado
de la función
de la función inversa. Como ya
habíamos enunciado el dominio (o valores que toma la función en x) de la
función
pasa a ser la Imagen (o valores que toma la función en y) de
decir que si
entonces
Por ejemplo, las funciones:
, es
.
, e
son inversas, veamos sus
gráficos por separado:
Ahora, en el siguiente gráfico, se ve a las dos funciones, cuyos gráficos son
simétricos respecto a la recta
qué?
64
: (pero solo en el intervalo
), ¿por
Capítulo IV: FUNCIONES
Veamos entonces cómo obtener la inversa de una función inyectiva utilizando
métodos algebraicos.
Ejemplo:
Sea
. Hallar la función inversa si es posible.
Antes de comenzar definamos el Dominio y la Imagen de
A continuación hay que determinar si es esta una función inyectiva:
Simplificamos en cada miembro el -1 por ser factor
común.
Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.
Simplificamos en cada miembro el -3 por ser factor común.
Por lo tanto:
Entonces la función es inyectiva, y por lo tanto se puede
determinar su función inversa.
Entonces procedemos a despejar la x de la función principal. Para más
comodidad sustituiremos F(x) por y:
Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.
65
Capítulo IV: FUNCIONES
Al despejar la variable
cual podemos intercambiar las variables
hemos invertido la ecuación, con lo
para obtener la ecuación de
definición de la Función Inversa, haciendo un cambio de variable:
Queda definida entonces
Teniendo en cuenta la relación de Dominio e Imagen de las funciones y sus
inversas queda definida esta nueva función de modo siguiente:
Ejercitemos los contenidos de este resultado para garantizar una mejor
comprensión del tema.
Ejercicios Propuestos
1. Represente gráficamente la función
. Por simetría con
la recta y=x represente en el mismo gráfico la función inversa
correspondiente.
2. Según los resultados obtenidos en los ejercicios de comprobación de
inyectividad en el epígrafe anterior, halle las funciones inversas en los
casos en que sea posible.
3. Encuentre algébricamente la inversa de la función:
4. Si una función no es inyectiva en todo su dominio, ¿será posible
encontrar su inversa en la parte en que sí es inyectiva? Prueba con la
función:
66
, en el intervalo:
Capítulo IV: FUNCIONES
Funciones Especiales
En esta parte de la materia vamos a comenzar con el estudio de ciertas
funciones especiales, muy comunes en matemáticas de números reales, así
pues, empezamos con:
La función lineal y la función afín
Para todos es conocida la frase: “el camino más corto entre dos puntos es la
línea recta”. Pues bien, la línea recta es una de las funciones más conocidas y
útiles, muchos fenómenos físicos, económicos y sociales se describen
mediante una recta. Vamos a definirla correctamente:
UNA FUNCIÓN LINEAL ESTÁ DEFINIDA SOBRE LOS REALES, DE ESTA
FORMA:
Donde
.
Gráficos:
Vemos que la gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el origen,
si
es positiva, el gráfico va de izquierda a derecha “subiendo”, es decir es una
función creciente (acuérdate de la definición) en cambio si
es negativa, el
gráfico va “de bajada” de izquierda a derecha (es decir es una función
decreciente).
Igualmente, es evidente que el dominio de la función lineal es el conjunto de los
números reales, lo mismo para el conjunto imagen
67
Capítulo IV: FUNCIONES
La función lineal siempre pasa por el origen. ¿Por qué? ¿Cómo será el gráfico
de
si
es cero?
Casos particulares:
Función identidad: es de la forma:
, es decir
Su gráfico:
La función opuesto aditivo: es de la forma:
, es decir
Su gráfico:
En la función lineal, las imágenes , son proporcionales a los valores de .
Por ejemplo:
68
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
Capítulo IV: FUNCIONES
Ser proporcional significa que el cociente
es siempre constante e
igual a
Comprueba con los valores de la tabla.
En física, un ejemplo de una función lineal es el espacio recorrido cuando
transcurre el tiempo, en el movimiento uniforme (sin aceleración)
este caso la constante
, en
es la velocidad y la variable independiente es el
tiempo .
En geometría, la longitud de un círculo en función del radio es lineal y se
mide por
,
y la variable independiente es
UNA FUNCIÓN AFÍN ESTÁ DEFINIDA SOBRE LOS REALES, DE ESTA
FORMA:
Donde
. (
Como puedes ver, se diferencia de la función lineal en que a ésta se le suma el
número , en su gráfica, la función afín pasa por el punto
Si
es positiva,
función
afín
creciente sobre
69
la Si
es negativa,
es función
afín
decreciente sobre .
la Si
.
es cero,
la
es función afín se llama
función
constante:
Capítulo IV: FUNCIONES
Analicemos su fórmula:
, con
, al número
se le llama
coeficiente director o pendiente de la recta, de tal forma que si la recta forma un
ángulo agudo
con el eje de las
, se tiene que:
Veamos en el gráfico:
Ejemplo:
Sea la función:
curva pasa por el punto
, observamos que
,y
, entonces la
, donde
Como vemos, la noción de una función afín:
Generaliza a estos tipos de funciones:
Si
Si
Si
, entonces
, es una función lineal.
, entonces
, es una función constante
, entonces
, es la función nula.
Para pensar: ¿cuál sería el gráfico de la función nula?
70
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejercicios Propuestos
1. Señale la respuesta correcta: si f(x) = (-3/7) x, entonces f (2) es:
a) -32/7
b) -0.857
c) -6/7
2. El precio P de un producto aumenta en un 10 %, entonces el nuevo precio
es:
a) 1.1 P
b) 110 P
c) 0.9 P
3. Para una función lineal g, la imagen de 2 es -3, entonces el coeficiente
director es:
a) -2/3
b) -3/2
c) -6
4. i) El ancho de un rectángulo es 2 cm, el largo es x cm, entonces el perímetro
P es:
a) 2x
b) 2 + 2x
c) 4 + 2x
ii) Complete la tabla siguiente:
x
0
1
2
3
4
5
P
iii) ¿Es esta una tabla de proporcionalidad? ________
iv) ¿La función que asocia a x con P es aplicación lineal? ________
5. a) La base de un triángulo es 4 cm, su altura es x, entonces el área es: A =
______.
b) ¿Es A una aplicación lineal? _______
c) Calcular el área si x = 5. A = _________cm2
d) ¿Para qué valor de la altura, el área es 100 cm2?: x = _______cm.
6. En un campamento de vacaciones hay 360 personas, de las cuales 198 son
niños, el resto son adultos. Todos los días, 176 niños y 1/3 de los adultos van a
la piscina.
a) ¿Cuántos adultos van todos los días a la piscina? __________
71
Capítulo IV: FUNCIONES
b) ¿Cuál es el porcentaje de todas las personas que van a la piscina?
__________%
7. El siguiente gráfico representa el consumo de gasolina: C (en litros) de un
auto en función de los kilómetros recorridos: x, a la velocidad constante de 90
km/h.
a) Leer en el gráfico el consumo de gasolina para 250 km: _________litros.
b) Deducir el consumo para 100 Km: __________litros.
c) ¿Cuál es la aplicación lineal que representa a la gráfica?: C = ______x.
8. Dados los puntos A = (1.4; 4.55) y B = (-1.8; -5.85), encuentre la ecuación
que define la recta que une esos dos puntos: y = __________________.
¿Es una aplicación lineal? ________
9. Grafique la siguiente función: y = x + 1
10. Grafique en el plano las siguientes parejas de puntos:
X
-2
-1
0
1
2
y
5
3
1
-1
-3
¿Es una aplicación afín? _________ Su ecuación es: y = _____________a
11. En cada caso, indicar si existe una relación del tipo y = ax entre x e y.
Indicar también, ¿qué representa a?
72
Capítulo IV: FUNCIONES
a) y = distancia en Km recorrida por un auto con velocidad constante. x =
tiempo en horas que se demora el auto en recorrer esa distancia.
b) y = distancia en un mapa. x = distancia real.
12. Para cada tabla: decir si es una tabla de proporcionalidad de la forma y =
ax, en ese caso, encontrar a.
x
1
5
y
4
20
x
-2
0
3
y
-8
0
12
x
-3
5
7
y
-6
-10
-15
13. La receta de un mousse de chocolate para 3 personas necesita la
utilización de 2 huevos. En esta receta, el número de personas: x, es
proporcional al número de huevos utilizados: n.
a) ¿Cuál es el coeficiente de la aplicación lineal que asocia x con n?
b) Calcular n, si x = 24
c) Calcular x, si n = 44.
14. ABC es un triángulo rectángulo en A. El ángulo B = 60 o, h es la longitud de
la hipotenusa y x es la longitud del lado AB.
a) Expresar h en función de x
b) ¿Es una relación de proporcionalidad? , en tal caso encontrar el coeficiente
de proporcionalidad. Dato adicional: cos 60 o = 0.5
15. Un rectángulo de ancho: A y de largo: L tiene por perímetro igual a 500.
Decir si hay una aplicación lineal que asocia A con B, encontrar su ecuación.
16. f es la aplicación lineal tal que f: x
Calcular: f (10), f (0), f (-5).
73
- 0.9 x
Capítulo IV: FUNCIONES
Calcular x si f (x) = 0.99.
Graficar Y = - 0.9 x
17. Para demostrar que una propiedad es falsa, basta con encontrar un
ejemplo en que la propiedad es falsa, este método se llama: por contraejemplo.
a) Si f es la aplicación lineal definida por f (x) = x. (se llama aplicación
identidad), verificar que f (2) x f (3) = f (2 x 3). b) Sea f la aplicación lineal
definida por f(x) = 4x. María afirma que: para todo par de números: c y d, se
cumple que f(c x d) = f(c) x f (d), demostrar que María está equivocada.
18. Sea la función: f(x) = 5x. Demostrar que cumple: f (2+4) = f (2) + f (4). Dar
un ejemplo más. Sea ahora la función general f(x) = ax, demostrar que para
cualquier par de números a y b, se cumple que f(a + b) = f(a) + f (b) (ES LA
PROPIEDAD QUE DEFINE A UNA FUNCIÓN LINEAL, LUEGO LO VAS A VER
EN ÁLGEBRA LINEAL)
19. En un sistema de coordenadas cartesiano, la recta L pasa por el origen y
por el punto (1,3). ¿Representa esta recta una aplicación lineal?, si es así,
¿cuál es su coeficiente, cuál es su ecuación? Iguales preguntas para la recta
que pasa por los puntos (3,1.5) y (6,3).
20. Dar un ejemplo de una función que sea afín pero no lineal: f(x)=
___________
21. Se mide el ancho (a) y el largo (l) de unas hojas de ramas de cedro, se
obtienen los siguientes resultados:
a
5.2
4.8
4.4
4.2
4
l
6.5
6
5.5
5.25
5
a) ¿Es esta una tabla de proporcionalidad? Si: ____. No:____
b) Expresar a en función de l :
a =___________
c) Expresar l en función de a :
l = ___________
74
Capítulo IV: FUNCIONES
22. a) Convertir una velocidad de 35 m/s en km/h: __________km/h. Sea V la
velocidad expresada en km/h, sea v la velocidad expresada en m/s. Expresar
V en función de v: V = __________v; expresar v en función de V: v
=__________V.
Convertir
una
velocidad
de
46.8
km/h
en
m/s;
__________km/h.
23. Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos: (1,-1) y
(3,3), Ecuación: y = _____________. ¿Esta recta pasa por el punto (0,-2)?.
Si___, No___. ¿Pasa por el punto (2,1)?. Si___. No___.
24. Decir si es verdadero o falso:
a) En cualquier aplicación afín : f(x) = ax + b, se cumple que: f(0) = b
_____
b) Toda aplicación afín es lineal. _____
c) En cualquier aplicación afín : f(x) = ax + b, se cumple que: f(-b/a)= 0
_____
d) Toda aplicación lineal es constante.____
25. Sea la aplicación lineal: y = ¾ x, Entonces:
a) La imagen de 6 es :____
b) Si y = -9, entonces x =____
26. Unos zapatos costaban $ 55 hace dos años, cada año el precio aumentó en
5%. ¿Cuál es el valor actual de esos zapatos?
27. Graficar la función: y = 2x -4
28. Encontrar la ecuación de la recta que representa el siguiente gráfico:
75
Capítulo IV: FUNCIONES
y =__________
29. Si una aplicación lineal tiene coeficiente director 5, (a = 5) entonces, la
imagen de 80 es:
a) 85
b) 400
c) 16
30. Un cuadrado tiene de lado x, entonces su área es: A = ____, ¿es una
aplicación afín?______
31. Se tiene la aplicación lineal f(x)= -3x, calcular f (-5) =_____. Si la imagen
de x es -9, entonces x = ____
32. Sea la aplicación afín: f(x) = 3x – 5, calcular f (-2/3). Calcular el número que
tiene por imagen 4, es decir, si y = 4, entonces x =____
33. Sea la función afín definida por:
x
x - , completar la tabla:
1
y
2
1
2
34. Sea la función f(x) = 3x – 2, encontrar un número x tal que su imagen sea el
mismo número. x =_____
35.
es una función afín, tal que: f (3) = -1 y f (-3) = 5, encontrar la ecuación
de Y de la forma: y = ax + b.
Y = ___________
76
Capítulo IV: FUNCIONES
36. Trazar la gráfica de la función: y = 2x – 4
37. Dada la siguiente gráfica:
Hallar su ecuación: y = _____________
La imagen de -10 es _____, si y = 3, entonces x = ______
38. Se quiere comprar un computadora portátil, cuyo precio es $ 1600, se
ofrece el 25 % de descuento, ¿cuánto se debe pagar? $_________
39. Por un DVD se obtuvo una rebaja del 10 %, se pagó 57.60 dólares. ¿Cuál
fue el precio real del aparato? $_________
40. Un automovilista recorre media hora a la velocidad de 200 km/h, luego una
hora a la velocidad de 100 km/h.
a) Hacer un gráfico de la distancia en función del tiempo
b) ¿Cuántos kilómetros recorrió en total? ______________km
77
Capítulo IV: FUNCIONES
Función valor absoluto
En la sección de los números reales hemos visto ya el valor absoluto, ahora lo
vamos a ver en su aspecto analítico y gráfico:
La función valor absoluto se define así:
Su gráfico es:
Se puede deducir que:
El valor absoluto es una función afín para x positivo:
El valor absoluto es una función afín para x negativo
El valor absoluto es creciente en
El valor absoluto es decreciente en
El valor absoluto tiene un mínimo en
El valor absoluto es par
El valor absoluto tiene como eje de simetría al eje y
78
Capítulo IV: FUNCIONES
El valor absoluto como distancia
Si se te pregunta: ¿cuál es la distancia entre tu casa y el colegio o universidad
donde estudias?, seguramente harás un cálculo en metros o kilómetros,
haciendo una línea recta imaginaria entre las dos localidades.
Igualmente podemos preguntarnos: ¿cuál es la distancia entre el 7 y el 12?, la
respuesta es sin duda: 5, puesto que el número de unidades que separa al 12
del 7 es 5. Con esto, vamos a formalizar la distancia entre dos números reales
cualesquiera, así:
Llamaremos
a la distancia entre un par de números reales
,
Definimos formalmente:
Es decir
.
Veamos con ejemplos:
Encontrar:
Calculamos:
entre –
, luego escogemos el máximo (más grande)
, que naturalmente es el
Entonces
,
Observaciones:
O lo que es lo mismo:
d(x ; 0) = max(-x ; x)
79
Capítulo IV: FUNCIONES
Se observa fácilmente que la distancia es simétrica, es decir:
Pero, ¿qué tiene que ver esto con el valor absoluto?, fácil, fíjate bien:
Es la misma definición del valor absoluto, es decir:
O lo que es lo mismo:
Otra forma de definir al valor absoluto:
Para pensar:
,
Así pues, es lógico deducir que:
Veamos ahora la relación entre valor absoluto e intervalos:
Por las propiedades de valor absoluto, sabemos que:
, significa que
Ahora bien, consideremos la siguiente igualdad:
Se tiene que:
, de lo cual resulta que:
, es decir,
intervalo
80
puede tomar los valores extremos del
Capítulo IV: FUNCIONES
En cambio, si tenemos la desigualdad:
,
, sabemos que,
por la propiedad del valor absoluto:
desigualdad:
valores entre
significa que la variable
y
es decir, la
puede tomar todos los
, que es equivalente a decir que:
En otras palabras, decimos que alrededor del punto
, existe una vecindad o
un entorno de radio , en el idioma de las distancias pondremos:
Y esta es la idea fundamental para comprender muchos conceptos en
matemática, como es el límite.
Ejercicios Propuestos:
1. ¿Cuánto vale
?
2. Si
3. Si
V____; F____
. Determine la respuesta correcta dentro de las siguientes
opciones:
a) la distancia entre
y 7 es igual a 4;
b) la distancia entre
y 4 es igual a 7;
c) la distancia entre
y -7 es igual a 4;
d) la distancia entre
y -4 es igual a 7.
4. La inecuación
81
tiene por solución:
Capítulo IV: FUNCIONES
5. La inecuación
tiene por solución:
6. La inecuación
tiene por solución:
7. Resolver la ecuación:
por dos métodos:
Primer método: Considere dos casos: cuando
Segundo método: Sean
, llene la siguiente
tabla:
Grafique las dos funciones y concluya.
8. Mediante el uso del valor absoluto, encontrar una expresión para:
a)
b)
]
significa que: __________________
significa que: __________________
Ejemplo:
significa que:
9. Escriba en símbolos matemáticos (con valor absoluto):
a) La distancia entre
y 3 es mayor a 2:
_______________________________________
b) La distancia entre -5 y
es menor o igual a7:
________________________________
10. La propiedad llamada desigualdad triangular dice que para cualquier
par de números reales
e
se cumple que:
a) “Pruebe” que se cumple con dos números cualquiera
b) ¿Qué significa geométricamente la desigualdad triangular?
82
Capítulo IV: FUNCIONES
La función cuadrática
Es una función de la forma:
, donde:
son números
reales. Es evidente verificar que:
Si
,
entonces
Si
,
entonces
Si
,
entonces
Si
,
entonces
, es una función afín
, es una función lineal
, es una función constante
, es la función nula
Para lo cual, vamos a considerar que
Vamos por partes:
Consideremos la función:
, en este caso:
,
Su gráfico, muy sencillo:
Se llama parábola, nos recuerda al tiro parabólico, o a los faros del auto o a la
trayectoria de ciertos cometas.
Ahora grafiquemos la función
,
Comparando los dos gráficos, vemos que: el gráfico de
angosto que el gráfico de
, lo que en realidad significa que la curva
crece más rápido que la curva
83
es más
, de tal manera que, si seguimos
Capítulo IV: FUNCIONES
aumentando el valor de
la curva será cada vez más angosta, es decir
crecerá más rápido para valores positivos de
y decrece más rápido para
valores negativos de , mira esto,
En cambio si tomamos valores de
ejemplo:
Ahora
84
más pequeños que 1, pero positivos, por
, su gráfico queda así:
Capítulo IV: FUNCIONES
Como puedes observar, los gráficos se vuelven cada vez más anchos
conforme
se acerca a 0 con valores positivos, lo cual quiere decir que la
curva crece más lento para valores positivos y decrece más lento para valores
negativos de .
En todos los casos anteriores, la gráfica de estas funciones es:
Decreciente en el intervalo:
Creciente en el intervalo:
Y efectivamente, la función
Si
, tiene un mínimo en
toma ahora valores negativos:
Como puedes observar es el mismo gráfico de la función
hacia abajo. Análogamente, los gráficos cuando
, solo que
tome cada vez valores más
pequeños menores a -1, el gráfico se tornará más angosto, pero hacia abajo
del eje y. Mientras que, si
toma valores entre 0 y -1, (excluyendo el 0), la
gráfica se volverá más ancha, otra vez, hacia abajo.
Como tarea tienes que hacer estos gráficos en el DeadLine y concluir sobre los
intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso de que
tome valores
negativos, y decir dónde hay mínimo o tal vez, máximo
Avancemos un poco, veamos ahora cómo graficar una función cuadrática de la
forma:
El gráfico de
(No te olvides que
85
)
Capítulo IV: FUNCIONES
Como puedes ver el gráfico es muy parecido al de
, solo que se ha
“corrido” 3 unidades a la izquierda.
Veamos este otro:
En cambio se ha recorrido 4 unidades a la derecha, podemos entonces
generalizar así:
“El gráfico de
es igual al gráfico de
unidades en el eje de las x, si
, pero desplazado
es positivo, se desplaza a la derecha, y si
es
negativo, se desplaza a la izquierda del origen”
Observación: No te olvides que
, se desplaza a la izquierda puesto que:
este caso,
, por eso, en el gráfico de
), en
es negativo
Es evidente que se pueden deducir los gráficos de:
Continuemos con otro ejemplo para ilustrar mejor el comportamiento gráfico de
las funciones cuadráticas:
86
Capítulo IV: FUNCIONES
Vamos por partes: el gráfico tiene la misma forma de
, pero se ha
desplazado 3 unidades a la derecha en el eje de las x, y 4 unidades hacia
arriba en el eje de las y.
Otro:
Y otro más:
87
Capítulo IV: FUNCIONES
Listo, ya podemos graficar una parábola de la forma:
, donde:
El vértice de la parábola es:
Si
es positivo, el gráfico se abre hacia arriba y la gráfica tiene un
mínimo en el punto:
Si
es negativo, el gráfico se abre hacia abajo y la gráfica tiene un
máximo en el punto:
Su anchura o angostura depende del valor absoluto de
, el gráfico es más angosto que el gráfico de
, es decir: si
, en cambio, si
, el gráfico es más ancho.
Pero y si nos piden graficar y analizar una función cuadrática de la forma:
, pues fácil, igualemos las dos formas:
Obtenemos:
De donde deducimos que:
Y de esta forma,
la podemos expresar como:
Ejemplo: Probemos con un gráfico
Graficar la función:
Haciendo las transformaciones anteriores, esta expresión es equivalente a:
, y su gráfico es:
88
Capítulo IV: FUNCIONES
Claro que esto lo podemos hacer también completando los cuadrados, así:
, se obtienen las “raíces de la función”, es decir las abscisas
Si hacemos
donde la curva interseca al eje de las x, así:
, despejando x, se obtiene:
Bueno, basta de álgebra, aquí lo importante es observar las propiedades de la
parábola, pues bien, podemos observar que ésta tiene un eje de simetría y es
la recta:
.
Además, si tenemos el siguiente gráfico de la función:
Se puede observar que sus raíces son: -3 y 2, luego como
parábola se abre hacia arriba, y en el intervalo
es positivo, la
, se tiene que la función
es negativa (
), mientras que en el intervalo
es positiva (
). Un análisis similar se puede hacer para los siguientes
casos:
Intenta hacerlos tú.
89
la función
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejercicios Propuestos
1. Completar: a) x2 + 2x – 15 = (x +…….)2 – 16;
b) x2 - 2x – 8 = (x -1)2
Graficar a) y b)
2. Encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que las medidas
de sus lados son tres números enteros consecutivos. (Utilizar el teorema de
Pitágoras)
3. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que: si al cuadrado del
mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 3.
4. Las soluciones de la ecuación: (2x + 3) 2 – x2 = 0 son:
a) -1 y -3
b) 1 y -3
c) -1 y 3
5. Probar que la ecuación: x2 + x + 3 = 0 no tiene soluciones reales.
6. Graficar las siguientes funciones cuadráticas:
a) x² – 3x – 10 = 0
b) x² – 10 = 0
d) -x² + 7x – 1 = 0
e) -2x² + 3x – 7 = 0
7. Si a = 0, entonces, la función
c) 9x² – 12x + 4 = 0
se convierte en una función:
____________.
8. El gráfico de la función cuadrática se llama una: _____________.
9. Con la función:
, completa la tabla:
x
y
-2
1
-1
2
90
Capítulo IV: FUNCIONES
10. i) Dar un gráfico aproximado de:
a)
b)
ii) Sabiendo que los siguientes gráficos tienen la misma forma de
,
encontrar las ecuaciones de:
Y =________________
y =________________
11. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar: vértice, decir si es
máximo o mínimo y su eje de simetría:
a)
.
b)
c)
V(
,
) es _________, Eje simetría: X = ____
V(
,
) es _________, Eje simetría: X = ____
V(
,
) es _________, Eje simetría: X = ____
12. En las siguientes ecuaciones, encontrar su discriminante y decir si hay: dos
raíces reales distintas, una sola raíz o no hay raíces reales:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
91
;
_
Hay_______________________
Hay_______________________
Hay_______________________
_
Hay_______________________
Capítulo IV: FUNCIONES
13. Encontrar las raíces de:
a)
b)
c)
14. Demostrar que la suma de las raíces de una ecuación cuadrática:
, es igual a:
15. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la
edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada
uno?
16. Dar un gráfico aproximado de: a)
17. Factorizar los siguientes polinomios:
18. Desarrollar:
19. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a)
b)
20. Encontrar un número de tal manera que su triple aumentado en dos sea
igual a su doble disminuido en tres.
92
Capítulo IV: FUNCIONES
21. Encontrar dos números pares consecutivos, de tal manera que su producto
sea 2024.
22. Probar que la ecuación: x2 + 2x - 3 = 0 tiene soluciones 2 soluciones reales
distintas.
23. i) Dar un gráfico aproximado de: a)
b)
24. Resolver las ecuaciones:
a)
b)
c)
25. ¿Para qué valores de x, el perímetro del rectángulo es más pequeño que el
3.5
perímetro del triángulo equilátero?
x
93
Capítulo IV: FUNCIONES
Funciones exponenciales:
En tus estudios precedentes debes haber definido y trabajado con potencias.
Este concepto define que para todo número real positivo
real c, existe un único número real
y todo número
, y recíprocamente
tal que
es la potencia de base a y exponente c.
Esta es la base de la definición de la Función Exponencial. Solo cambiaremos
la variable c por una x para homogenizar con otras bibliografías sobre el tema
que podrás consultar.
Entonces decimos que a cada número real x una única potencia del número
real a (
. Esta propiedad permite definir la Función Exponencial.
Definición: se llama función exponencial de base a
a la función
que a cada número real x le hace corresponder , es decir el conjunto de pares
ordenados
Debes observar que en la función exponencial
la base es constante en
tanto que el exponente es variable. Las funciones de tipo
en las cuales
la base es variable y el exponente constante son funciones potenciales (como
).
Al ser la relación de x con la potencia
única para cada valor de x, podemos
inferir que las funciones exponenciales son inyectivas. Siendo así podemos
afirmar que dichas funciones tienen una función inversa asociada: la función
logarítmica que estudiaremos más adelante. Debido a esto a las funciones
exponenciales también se les conoce como Antilogaritmo.
Comencemos a estudiar a continuación un ejemplo que nos ayudará a
entender mejor el comportamiento y las propiedades de la función exponencial.
94
Capítulo IV: FUNCIONES
Es muy común la utilización de la base a=10 en las funciones exponenciales
por su alto grado de aplicación, pues los números reales se escriben
cómodamente en el sistema decimal. Sin embargo no es preciso tomar como
base al número 10, cualquier otro entero positivo diferente de 1 puede tomarse
como base.
La representación gráfica de la función
Como puedes ver para lodo
la función
es la siguiente.
, por lo que su gráfica no
toca el eje “x”, aunque sí se acerca ilimitadamente a él. Esta recta a la cual la
curva se aproxima ilimitadamente se denomina Asíntota de la Función
Exponencial.
A partir de la Gráfica podemos definir las propiedades de la función:
Dominio:
Imagen:
(reales positivos)
Ceros (puntos donde la curva interseca el eje “x”): no tiene
Monotonía: Creciente
Valor máximo: no tiene pues la función toma cualquier valor positivo
Valor mínimo: no tiene pues la función se aproxima indefinidamente al
eje “x” sin tocarlo
95
Capítulo IV: FUNCIONES
Paridad: no es par ni es impar pues la función no es simétrica respecto
al origen ni al eje “y”
Analicemos los siguientes gráficos de las funciones
;
;
respectivamente.
¿Qué notas en común? ¿Qué diferencias puedes determinar?
A continuación te resumo las principales conclusiones que podrás aprender de
este análisis.
Para las funciones de tipo:
, y la
96
Capítulo IV: FUNCIONES
En ambos casos las propiedades de las funciones resultantes coinciden con las
de
, solo es diferente la monotonía en el caso de
que pasa a
ser decreciente.
Transformaciones de funciones exponenciales:
Partiendo de los gráficos de las funciones
esbozar cómo serían las gráficas de
CASO 1:
que la función
así
es del tipo
la
gráfica
de
se obtiene por un
desplazamiento de la función
en 8 unidades hacia
abajo. Partiendo de
función
en la
la
para la función
; y
, la x
correspondiente
se
ubica
8
unidades más abajo. Por lo
tanto sería
, y el par
ordenado sería (-7; 1)
Tarea:
Cuál
97
tratemos de
;y
.
Tomando como base la función
Siendo
; y
sería
el
gráfico
de
en su forma
donde
podemos decir
y
.
Capítulo IV: FUNCIONES
CASO 2: Utilizamos el mismo
procedimiento que en el caso
anterior. Definimos entonces
que
de tipo
y
es una función
donde
.
De aquí que su gráfica se
obtenga recorriendo la gráfica
de
derecha.
2 unidades a la
Tarea:
Cuál sería el gráfico de
Función exponencial con base
Leonard Euler, como pudiste leer en el primer Paréntesis Cultural, realizó
disímiles investigaciones y aportes a la matemática moderna. El más
reconocido es el número
. Con él se logra la ampliación de las
aplicaciones de las funciones exponenciales mediante la conceptualización de
las funciones exponenciales naturales. Dichas funciones tienen como base a .
Estas son muy aplicadas en cálculos, estadísticas, análisis económicos, y en
problemas que implican crecimiento o decaimientos naturales, como estudios
poblacionales, intereses compuestos de inversiones y decaimientos radiactivos,
por citar algunos ejemplos.
98
Capítulo IV: FUNCIONES
Como puedes constatar a través de la representación gráfica, la función
mantiene las características y propiedades generales de las funciones
exponenciales con base
.
Recuerda las siguientes propiedades de las potencias que te serán muy
útiles
Si
*
*
*
*
, entonces
*Si
A continuación analicemos otros ejemplos que te ayudarán a comprender mejor
la aplicación de las funciones exponenciales en la resolución de problemas.
CASO 3: Una de las principales inquietudes de los padres es qué talla
alcanzarán sus hijos. Este es el caso de un niño llamado Carlos, quien tiene 3
años de edad. Carlos midió al nacer 30cm de longitud, y ha aumentado su
estatura a razón de 45% anual en sus 3 primeros años de vida.
a) Determine la función de crecimiento de Carlos
Estatura inicial= 30cm
% de crecimiento anual= 1.45%
Variable (exponente)= t (tiempo en años de vida de Carlos)
Con estos datos podemos definir la función de crecimiento de Carlos
como
.
b) Qué estatura tiene Carlos actualmente.
Han transcurrido 3 años desde el nacimiento de Carlos, por lo tanto
. Entonces
99
Capítulo IV: FUNCIONES
Secuencia en la calculadora:
1
.
45
x^y
3
=
*
3
0
=
Carlos mide aproximadamente 91,5 cm de estatura.
c) Represente gráficamente la función de crecimiento de Carlos, y ubique
en la misma el punto de crecimiento hasta los 3 años.
CASO 4: El monto que se obtiene de una cantidad de dinero invertida a un
interés compuesto, está expresado por la función:
Donde:
S=monto compuesto
n= años transcurridos desde el inicio de la inversión (variable independiente de
la función)
P=capital al final de n años
r= tasa de interés compuesto anual
100
Capítulo IV: FUNCIONES
Supongamos que hemos realizado una inversión de 1000 dólares a una tasa
de interés compuesta del 9% anuala) Representa gráficamente la función.
Comenzamos como puedes ver con un capital P=1000, la asíntota de la
función será la recta y=1000, porque desde que se inicia la inversión se
comienza a percibir ganancias de los intereses, por lo que el monto S nunca va
a ser 1000 aunque se aproxime infinitamente a él.
b) Determine el monto acumulado a los 5 años.
Secuencia en la calculadora:
1
.
09
x^y
5
=
*
1
0
0
0
=
Ya tenemos sistematizados los contenidos principales de esta sección, por lo
cual te propongo realizar los siguientes ejercicios de consolidación.
101
Capítulo IV: FUNCIONES
Ejercicios Propuestos
1. Los puntos A1; A2; A3; A4 están situados en la curva
. Sus
ordenadas son iguales a los números 1; 0,1; 1,2; 2; 79,6 respectivamente.
Determina las abscisas de dichos puntos.
2. Dadas las funciones
;
. Determine a qué función corresponde
cada uno de los siguientes puntos:
(0;1); (-0,1;0); (5;1/32); (0;2); (-2;-4); (0;0); (-2;1/4)
3. Resuma las propiedades que son comunes a
todas las funciones
exponenciales.
4. Sean las funciones:
a)
Determina el Dominio y la Imagen de cada una de ellas.
b)
Diga si tienen ceros.
c)
Para qué valor de x se cumple que:
5. Si
a)
Determina el punto de intersección entre las 2 funciones.
b)
Calcula
6. De las funciones siguientes:
a)
Determine el Dominio y la Imagen de cada una.
b)
Identifique los ceros en los casos donde sea posible.
c)
Obtén en cada caso el par ordenado (0;y)
102
Capítulo IV: FUNCIONES
d)
Realiza un esbozo gráfico de cada una de ellas.
7. Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Justifique su respuesta.
“Para toda función exponencial se cumple que si su base se encuentra en el
rango de 0 a 1, la representación gráfica de la misma es idéntica a la de la
función
”
8. Sea la función
Determina si los pares ordenados siguientes
pertenecen a ella:
(0;5); (3;7); (0;6); (3;13); (5;37); (4;23); (11;126)
9. Sea
.
Para qué valores de x se cumple que
10. Calcula x en
a)
Si
b)
Si
c)
Si
d)
Si
11. Resolver las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
12. Sea la función
a)
Determina el Dominio y la Imagen de la misma
b)
¿Tiene ceros?
c)
Clasifíquela en cuanto a la paridad
d)
Cuáles son sus valores mínimos y máximos.
103
Capítulo IV: FUNCIONES
e)
Determine si los pares ordenados siguientes pertenecen a dicha función:
(0,015;15); (0;618)
13. En un mismo eje de coordenadas ortogonales graficar las siguientes
funciones:
a)
y = 2x
b)
y = 3x
c)
y = 4x
14. Idem ejercicio anterior:
a)
y = (1/2)x
b)
y = (1/3)x
c)
y = (1/4)x
15. Resolver los siguientes sistemas:
a) 4x = 16.y
2(x + 1) = 4.y
b) 2x - 2y = 24
x+y=8
16. Observe las bases de cada una de las funciones exponenciales y las
gráficas trazadas en los ejercicios anteriores, ¿qué conclusiones extrae?
17. En un cultivo de laboratorio, el número de células en el momento t está
dado por la función
, siendo
la cantidad de células. ¿En qué
tiempo la cantidad de células se duplicará con respecto a la cantidad inicial?
18. Producto de la crisis económica mundial que está enfrentando todo el
planeta, los economistas han pronosticado para los países pobres una
disminución de las importaciones promedio en un 15% anual para los próximos
12 meses. Si uno de estos países tiene un nivel de importaciones de 1500
millones de dólares ¿cuánto debería estar importando en el noveno mes? ¿y
en el onceno mes?
104
Capítulo IV: FUNCIONES
19. Producto del envejecimiento poblacional que estaban experimentando
algunos países desarrollados, los estados implantaron políticas para incentivar
al aumento del número de hijos de un matrimonio. Después de 5 años de
comenzado el proyecto, se ha constatado un aumento de un 2% anual en la
cantidad de niños nacidos. Si al inicio la población de niños de uno de estos
países era de 2,5millones. ¿A cuánto debe ascender la población de niños
dentro de 4 años?
20. Para la función
, determine:
a)
¿Para qué valor de x la función toma valor -5?
b)
¿Cuál es el Dominio e Imagen de la función?
c)
¿La función tiene ceros?
Funciones logarítmicas
A continuación definiremos la función logarítmica formalmente.
Una vez más vemos la interrelación entre la función exponencial y la
logarítmica, tanto que hasta para su definición una está en dependencia de la
otra. Decimos que
es la forma logarítmica de la forma exponencial
Te muestro otro estilo de definición con un enfoque a los pares ordenados y los
valores admitidos para la constante y la variable de la ecuación. Veamos:
Se llama función logarítmica de base
a la función que a cada
le hace corresponder
, es decir, al conjunto:
Gráfica:
105
Capítulo IV: FUNCIONES
Para obtener la gráfica de la función logarítmica podemos hallar los valores de
y
que corresponden a cada x (ya sabemos que la función logarítmica es
inyectiva así que cada y se obtiene a partir de un solo valor de x) Pero además
al saber la relación inversa entre las funciones logarítmicas y exponenciales,
podemos utilizar el procedimiento gráfico explicado en el epígrafe de funciones
inversas, donde trazando la recta
sobre el eje de coordenadas, y con la
representación gráfica de la función exponencial, proyectamos sobre la recta
dicha función, obteniéndose la curva correspondiente a la representación
gráfica de la función logarítmica.
Vamos a representar la función
, ya que en la sección de funciones
exponenciales habíamos representado la función inversa de esta, o se a
.
Una vez representada la función, comparemos las propiedades de esta, con su
función inversa.
Dominio
Imagen
Ceros
Monotonía
Valor
máximo
Valor
mínimo
Paridad
106
No tiene
x=1
Creciente
No tiene
Creciente
No tiene
ya
que
No tiene, se acerca No tiene, se acerca
infinitamente al eje x
infinitamente al eje y
No es impar ni par
No es impar ni par
Capítulo IV: FUNCIONES
Como vez, la relación entre dominio e imagen de ambas funciones nos
confirmar la relación inversa que existe entre ellas.
Analicemos ahora un Ejemplo en el que utilizaremos la base
a determinar par qué valores de , la función
, y vamos
alcanza los valores 5; 10 y
42,5 respectivamente.
Los valores 5; 10 y 42,5 son imágenes de la función, o lo que es igual, son
valores que toma la variable y con determinado valor de x respectivamente.
Entonces si:
Los valores de x en cada caso los determinamos despejando dicha variable,
con lo cual obtenemos una ecuación logarítmica.
Importante: Los logaritmos de base 10 son llamados Logaritmos comunes, y no es
necesario colocar el 10 en la base para saber que se trata de este tipo.
Recuerda que puedes obtener los valores de los logaritmos utilizando una
calculadora científica. La secuencia de teclas sería la siguiente:
Para
5 Log =
En el caso de calculadoras con editor de fórmulas la secuencia es
siguiente:
la
log 5 =
Ahora te propongo determinar cuáles serían las imágenes de la función anterior
si los valores de las abscisas (x) son 0,5; 1,3 y -1,7.
107
Capítulo IV: FUNCIONES
En la calculadora científica se obtienen dichos valores utilizando la secuencia
de teclas siguiente:
1 0
0 , 5 =
Para curiosos
¿Cómo sería la representación gráfica de
programa computarizado?
sin utilizar ningún
Tenemos una función de forma:
Primero transformaremos la expresión en una potencia de base 10:
(ecuación 1)
Despejamos c en la ecuación 1 quedando:
(ecuación 2)
Calculamos el valor numérico de:
En la función principal sustituimos las ecuaciones 1 y 2 y queda:
Como puede verse la función y=2^x se obtiene gráficamente por una
contracción de la función
en el sentido del eje “x”. Por lo que si
gráfica tiene la misma representación que esta última con una ligera
contracción con respecto a ella.
Se infiere además que las propiedades de dicha función son muy similares
a las de la función de tipo
Apoyados en la demostración anterior podemos llegar a la siguiente conclusión:
En general las propiedades de las funciones
obtenerse de la de la función
y sus gráficas pueden
ya que
Es decir que una función exponencial desconocida se puede transformar una
en una variación de otra conocida. Lo mismo puede aplicarse en las funciones
logarítmicas, pero eso ya debes suponerlo debido a la relación inversa que ya
conoces existe entre exponenciales y logarítmicas.
A continuación se relacionan algunas propiedades algebraicas de los
logaritmos que te serán muy útiles para el trabajo con estas funciones.
108
Capítulo IV: FUNCIONES
Si
*Si
, entonces
Ya estamos listos entonces para trazar la gráfica de la función
hicimos en las funciones exponenciales con
, como
, sin utilizar un programa
computarizado.
Utilizamos la propiedad del cambio de base, para cambiar la base 2
por base 10.
Calculamos con la calculadora científica el valor de
. Por lo
que:
Por lo tanto la gráfica se puede obtener de la de
por una
contracción en el sentido del eje x. Realiza el gráfico de ambas
funciones y comprueba sus concordancias (Recuerda que puedes
utilizar el programa DeadLine)
Al igual que las funciones exponenciales, las logarítmicas de base
pueden obtener de la de
gráfica:
las propiedades de la función
Ahora, si la base
se
por una dilatación o contracción de su
Por consiguiente estas funciones mantienen
.
, entonces se tiene que:
; con
Esto significa que la gráfica se obtendría de
.
añadiéndole a la
dilatación o contracción de su gráfica, una simetría con respecto al eje x (la
misma situación que en exponenciales) Por ello las propiedades de estas
109
Capítulo IV: FUNCIONES
funciones coinciden con las de
monotonía, de creciente para
pero cambia el sentido de la
a decreciente para estas ultimas.
Existe un tipo de logaritmo llamado logaritmo natural, cuya particularidad es
que tiene como base al número , cuya notación es
. Su representación gráfica, al ser
, que es igual a
, coincide con la representación
gráfica de las funciones logarítmicas con base
. Puedes comprobarlo
representando gráficamente la función con la ayuda del programa DeadLine.
Esta coincidencia en los gráficos se hace extensiva a las propiedades, así que
la función
, coincidirá con las propiedades de la función
.
Veamos a continuación algunos ejemplos que tanto nos ayudan a comprender
la importancia y aplicación del contenido teórico.
CASO 5: Revisa el caso 3 de la sección de Funciones Exponenciales y
responde:
Suponiendo que Carlos mantuviera dicha función de crecimiento y teniendo en
cuenta la talla promedio máxima de un hombre adulto (para este ejemplo la
fijaremos en 180cm). ¿Hasta qué edad necesitaría crecer Carlos a este ritmo?.
¿Es probable que a esa edad ya Carlos haya alcanzado esa talla?
En este caso podemos hacerlo utilizando la representación gráfica y ubicando
en el eje x el valor 180cm, y buscando cuál es el valor de y correspondiente.
110
Capítulo IV: FUNCIONES
Pero lo haremos calculando por ser más exacto el resultado, y porque no todos
los editores de gráficos nos permiten ese nivel de detalle. Siendo así:
Por lo que,
Despejamos y,
, Simplificando obtenemos
, Despejamos en función de t, y quedaría
, Transformamos para poder calcular el valor,
Quedando,
, con lo que
.
Carlos alcanzaría la estatura de 180cm a los 5 años aproximadamente, lo cual
no es probable que ocurra.
CASO 6: Análogamente revisa el CASO 4 de funciones exponenciales y
responde: A qué tiempo el monto acumulado será igual a 40000.
Por lo que,
Simplificamos y queda,
Despejamos en función de n,
, Transformamos para poder calcular el valor,
, Quedando,
, con lo que
El monto acumulado será igual a 40000 a los 10 años aproximadamente.
CASO 7: Este es un caso de aplicación de funciones exponenciales, y su
relación con los logaritmos naturales:
El señor Marcos López trabaja en las obras de construcción del nuevo
aeropuerto de Quito que se piensa se termine en el año 2011. El turno de
trabajo del señor Marcos comienza a las 11pm y termina a las 7am del otro día.
Es así que Marcos necesita dormir durante el día para estar listo en la noche
para su jornada laboral. Marcos decidió comprarse unas cortinas para tapar las
111
Capítulo IV: FUNCIONES
ventanas, disminuir un poco la intensidad de la luz del día y poder conciliar el
sueño. Cada tela de 1mm de espesor con las que están elaboradas las cortinas
que don Marcos escogió, según le indicó el vendedor reduce el 10% de la
intensidad de la luz. Si don Marcos quisiera disminuir la intensidad de la luz en
su cuarto al 50%, cuántas capas de esta tela deben tener estas cortinas.
Solución: Como puedes ver este es un problema clásico de decaimiento de un
factor natural (como es la intensidad de la luz). Es por ello que supongo que
hayas inferido que en nuestra formulación del caso estará involucrada el
número
como constante de nuestra ecuación de decaimiento.
El factor que queremos disminuir es la intensidad de la luz, que la definiremos
con la letra
, con lo cual la intensidad de la luz inicial (o sea en un 100%) la
definimos por
. Como queremos reducirla al 50%, o sea a la mitad, en
nuestro caso diríamos que la intensidad que necesitamos es
La variable que necesitamos encontrar es la cantidad de capas de tela
necesarias, y la representaremos con la letra
disminución de la intensidad de la luz
. Dicha variable provoca una
a razón de un 10% por capa, o sea
, y al ser decaimiento debemos afectar dicho producto por un signo
negativo de denote la disminución, es decir
.
Con todos los datos definidos procedemos a plantear la ecuación que define la
función.
Para reducirla al 50% quedaría entonces:
Algebraicamente podemos cancelar la
dividiendo por
como factor común de ambos miembros
. La formula queda entonces:
Despejamos para hallar , quedando:
Recuerda que es el logaritmo la función inversa de la función exponencial con la cual
podemos determinar el valor del exponente de la exponencial.
112
Capítulo IV: FUNCIONES
La secuencia en la calculadora seria:
0
,
5
ln
*
-
0
,
1
Resultando:
Por lo tanto, don Marcos necesitaría 7 capas de tela para reducir la intensidad
de la luz en su cuarto a la mitad.
Después de los ejemplos citados, y con el estudio de los temas teóricos de esta
sección, ya estás listo para comenzar a realizar ejercicios para lograr una mejor
comprensión del contenido.
Ejercicios Propuestos
1. Calcular utilizando las propiedades de logaritmo estudiadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
113
Capítulo IV: FUNCIONES
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Hallar el logaritmo de los siguientes números:
a)
b)
c)
d)
e)
4. Determine si los siguientes pares pertenecen a
5. Encuentre los valores de x para los cuales están definidas las siguientes
funciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6. Represente gráficamente los incisos anteriores, y determine la imagen en
cada caso. (Recuerda que puedes utilizar el programa DeadLine para estos
fines)
114
Capítulo IV: FUNCIONES
7. Determine la función inversa de los incisos del ejercicio 2. ¿Cuáles serían los
dominios respectivos?
8. Utilizando las propiedades de los logaritmos expresa las funciones siguientes
tan reducidas como sea posible:
a)
b)
c)
9. Determina el conjunto solución en cada caso:
a)
b)
c)
d)
10. Si
a)
En qué punto de la gráfica cortan al eje x
b)
Determina el Dominio y la Imagen de cada una.
c)
Represéntelas gráficamente.
d)
Halla x si
11. Complete las coordenadas de los puntos siguientes, si todos pertenecen a
la función
a)
b)
c)
d)
e)
f)
12. Sea la función
115
Capítulo IV: FUNCIONES
a)
Cuáles de los pares siguientes pertenecen a la función.
b)
Determina la imagen de la función en el intervalo
c)
Para qué valor de x, h(x)=12, h(x)=5
13. Las propiedades radiactivas de las sustancias disminuyen con el paso del
tiempo. Digamos que tenemos la cantidad R de miligramos de una sustancia
radiactiva después de n años, y que la relación de dependencia entre estas 2
variables se define por la función
. Determine a partir de ella:
a)
La cantidad de sustancia inicial.
b)
La cantidad de sustancia presente después de 3,5 años. Y después de 5
años.
c)
Determine la vida media de la sustancia (apóyate en el ejemplo CASO 3)
d)
Después de qué cantidad de tiempo, encontraremos una cantidad de
sustancia de 35 miligramos.
14. El crecimiento poblacional normalmente se expresa en términos de una
función exponencial. Dado esto, si tenemos que en cierto país la población está
disminuyendo a razón de un 0,5% anual a partir de una población inicial de 10
millones de habitantes.
a)
Plantee la ecuación de definición de la función, donde la variable
dependiente es el crecimiento poblacional (C) y la variable independiente
es t (años transcurridos).
b)
Cuántos años tardará en disminuir al 50% de la población inicial.
15. En un submarino hay censores que determinan la intensidad de la luz solar
que está influyendo sobre el mismo. Estos censores marcan la intensidad de la
luz en cero a partir de un 2% de intensidad. Si se sabe que la intensidad de la
luz disminuye en un 15% por cada 50cm de profundidad.
a)
Determine la función que representa dicha situación.
b)
A qué profundidad se detecta una intensidad media de la luz.
c)
A qué profundidad comenzará el censor a registrar la ausencia de luz.
116
Capítulo IV: FUNCIONES
16. Vamos a invertir un capital de 6000 dólares en un proyecto empresarial en
el cual recibiremos un incremento anual de la inversión inicial, por concepto de
intereses compuestos del 15%. La ecuación que define dicha función es la
siguiente:
, donde A es el monto compuesto que obtendremos de
dicha inversión. Con estos datos responda:
a)
Cuántos años hacen falta para que la inversión inicial se triplique.
b)
Si en el primer año se retira hasta el 50% del capital inicial, según el
contrato, no se acumula ningún interés por el tiempo que estuvo
completo, pero en su lugar se ganará una tasa de interés del 8% desde el
inicio de la inversión y hasta 5 años mínimos, en los cuales no podrá
retirar el capital restante. Entonces, cuál sería la ecuación de definición. Y
a cuánto ascendería el monto de la inversión después de los 5 años.
17. Las ventas de un producto que recientemente se lanzó al mercado han
registrado un comportamiento según la siguiente función:
, siendo t el tiempo en días que ha transcurrido desde el
lanzamiento.
a)
Cuál fue la cantidad vendida el primer día. (aproxime el resultado al
número natural más cercano.)
b)
¿Cuántos días harán falta para que a este ritmo de ventas, se aumente 6
veces la cantidad vendida el primer día?
c)
En cuántos días se habrán vendido 30000 unidades.
18. De acuerdo con Richter, la magnitud
de un terremoto que ocurre a 100
km de cierto tipo de sismógrafo está dada por
, donde A es la
magnitud del trazo registrado (en milímetros) del terremoto.
a)
Encuentre la magnitud de un terremoto que registra una amplitud de trazo
de 1mm.
117
Capítulo IV: FUNCIONES
b)
Si un terremoto tiene amplitud
y magnitud
, determine la magnitud
de un temblor con amplitud 100
. Exprese su respuesta en términos de
.1
19. Dada la función
a)
Simplifique la expresión de la función hasta que sea posible.
b)
Determine el Dominio e Imagen de la misma.
c)
¿Cuál es su Monotonía?
d)
¿Tiene ceros? ¿Cuáles?
20. En Química debes recordar que el pH de una disolución acuosa se
determina por la fórmula
. En dependencia del valor del pH
podemos decir que una disolución es ácida si
neutra si
, básica si
, y
. Diga entonces:
a)
¿Para qué valores de
b)
Si el
c)
Represente gráficamente el la función, rotulando en el mismo los
cuál es el
la disolución es ácida? ¿y básica?
de esta disolución.
intervalos en que la función cambia de
y por consiguiente de
propiedades.
d)
Cuál es el pH de una disolución salina utilizada en la preparación de
cosméticos, si su
1
.
Ernest F. Haeussler Jr., Richard S. Paul, “Matemática para Administración y Economía”, Pearson
Education, 209p.
118
Capítulo IV: FUNCIONES
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