TD 8 Diffusion thermique - mpx

TD 8
Diffusion thermique
❒ 1. Fusible
Un fusible est constitué d’un fil conducteur cylindrique homogène, de section droite d’aire S, de longueur
utile L, de masse volumique µ et de capacité thermique massique C. Il possède une conductivité électrique γ
et une conductivité thermique K. il est traversé par un courant électrique continu d’intensité I. Ce fil est
enfermé dans une capsule remplie d’une substance assurant une isolation thermique et électrique parfaite.
Les températures en x = 0 et x = L sont imposées et égales
à la température T0 du milieu ambiant.
Données: K = 65 SI, γ = 1,2.106 SI, C=460 SI, µ = 2,7.103 kg.m−3, T0 = 290 K, L = 2,5 cm.
On rappelle que la résistance R d’un conducteur cylindrique de conductivité γ, de longueur h, de section S,
parcouru par un courant d’intensité I uniformément réparti et parallèle à son axe est R = h/γ S.
On se place en régime permanent.
1. Établir l’équation différentielle liant la température T, x, S et les données. Donner l’expression littérale de
T(x) et représenter graphiquement T en fonction de x.
2. Le matériau constituant le fil fond à TF = 390 K. On veut fabriquer un fusible qui admet une intensité
maximale Imax = 16 A. Préciser l’endroit de la rupture en cas de dépassement de Imax.
Déterminer l’expression littérale de l’aire S à prévoir. Faire l’application numérique.
3. On fixe I = 10 A. Le fil a une section S trouvée à la question précédente. Évaluer littéralement puis
numériquement la puissance thermique Pth(0) transférée par conduction en x = 0.
Préciser si cette puissance est reçue ou fournie par le fil. Même question pour la puissance thermique Pth(L)
transférée en x = L.
Quelle relation a-t-on entre Pth(0), Pth(L) et la puissance électrique Pe fournie à l’ensemble du fil ?
Commenter.
❒ 2. Barre de combustible nucléaire
Le combustible d’un réacteur nucléaire se présente sous forme de barres solides de rayon r1, de très grande
longueur et de conductivité thermique λ1, à l’intérieur desquelles les réactions nucléaires dégagent une
puissance volumique P. Chaque barre est entourée d’une couche protectrice, sans activité nucléaire, de rayon
intérieur r1, de rayon extérieur r2 et de conductivité thermique λ2, sont la surface extérieure est maintenue à la
température T2 par circulation du liquide.
Données : r1 = 6,0 mm; r2 = 9,0 mm; λ1 = 2,0 W.m−1.K−1 ; λ2 = 25 W.m−1.K−1; P = 2,0.108 W.m−3 ; T2 = 500K.
On s’intéresse à la température T(r) à l’intérieur d’une barre et de son enveloppe en régime permanent à
distance r de l’axe de symétrie d’une barre. On note T1 = T(r1).
1. Montrer que la résistance thermique de la couche protectrice d’une barre de longueur L se met sous la
forme Rth = α/L. Calculer numériquement α.
2. Exprimer T1 en fonction de T2, P, r1 et α.
3. Établir l’équation différentielle vérifiée par T(r) pour r < r1. Exprimer T(0) en fonction de T2, P, λ1, r1 et α.
Calculer numériquement T(0).
❒ 3. Boule radioactive dans un liquide Une boule radioactive de rayon R émet, au total, dans l’ensemble de son volume et de manière uniforme, une
puissance thermique P . Elle est plongée dans un liquide qui, à grande distance de la boule, est maintenu à la
température T0 . On désigne par λ1 la conductivité thermique de la boule, par λ2 la conductivité thermique du
liquide, par h le coefficient de conducto-convection à l’interface boule-liquide. On suppose le régime
permanent.
1. Exprimer le vecteur densité de conduction thermique dans chaque milieu.
2. Déterminer la température en tout point du liquide, préciser la température du liquide à l'interface bouleliquide.
3. Déterminer la température en tout point de la boule, préciser la température de la boule en son centre.
MP* Fénelon 2014-2015
❒ 4. Ailette de refroidissement Pour éviter un échauffement trop important d’un composant électrique, dû à l'effet Joule, on munit son
boîtier d'ailettes de refroidissement métalliques. Chaque ailette est parallélépipédique, de dimensions:
épaisseur : a = 2,0 mm ; largeur : b = 10 cm et longueur : c = 20 cm. On pourra admettre que a est
négligeable devant b. En fonctionnement, le boîtier de l'appareil sera maintenu à la température TM = 60°C.
L'air extérieur, qui circule, est de température constante et uniforme TA = 20°C, sauf au voisinage immédiat
de l'ailette, entourée d'une couche limite d'air thermiquement peu conductrice dont la température reste
localement voisine de celle de la surface de l'ailette.
Dans, l'ailette, on admettra que le transfert thermique, de type conductif, peut être considéré comme
unidimensionnel dans la direction de l'axe Ox, et qu’il obéit à la loi de Fourier, l’ailette possède une
conductivité thermique λ = 16 W.K–1.m–1.Le flux thermique entre la surface latérale dS de l'élément d'ailette
de longueur dx et l'air ambiant est de la forme : dP = h[T(x) – TA]dS où h = 150 SI est un coefficient
uniforme et constant.
1- Donner la dimension du coefficient h. Quelle est son unité dans le s
2- Écrire le bilan des échanges d'énergie pour la tranche d'ailette comprise entre les abscisses x et x + dx, en
régime permanent stationnaire d'échange thermique.
On posera L =
!"
!"
et on donnera la valeur numérique de L ainsi que son unité.
! ! !(!)
!
En déduire que la température T(x) est solution de l'équation différentielle:
− ! 𝑇 𝑥 − 𝑇! = 0.
!! !
!
3- Résoudre cette équation différentielle pour déterminer l'expression de T(x). On vérifiera que c >> L et on
pourra donc considérer c comme infini pour simplifier les conditions aux limites et obtenir une expression
simple de T(x).
4a -Donner l'expression de la puissance thermique dP sortant de la surface latérale dS de la tranche d'ailette
comprise entre les abscisses x et x + dx.
4b- En déduire l'expression de la puissance thermique totale P évacuée par l'ailette, ainsi que sa valeur
numérique.
4c- Exprimer et calculer la puissance thermique transmise du boîtier de l'appareil à l'ailette en x = 0.
Conclure.
4d- Combien faudrait-il fixer d'ailettes sur le boîtier pour évacuer un flux thermique total de 0,9 kW ?
4e- La taille de chaque ailette peut-elle être réduite sans changer notablement l'ensemble des résultats
précédents ? Si oui, expliquez comment et pourquoi.
❒ 5. Diffusion thermique dans une barre en régime quasi stationnaire On étudie la conduction thermique à pression constante dans un barreau de longueur L, de section droite
carrée de surface S dont le côté est très inférieur à L. Ce barreau est entouré par une enveloppe adiabatique.
On considère que la température est uniforme sur une section droite du barreau et ne dépend que de son
abscisse x et éventuellement du temps t. On désigne par λ la conductivité thermique, par m la masse
volumique et par C la capacité thermique massique à pression constante.
On désigne par Φ(x,t) le flux thermique c’est-à-dire la quantité de chaleur traversant la section d’abscisse x
par unité de temps. Φ(x,t)) est compté positivement dans le sens des x croissants.
1. Faire un bilan enthalpique, pour un système élémentaire que l'on précisera et retrouver l’équation aux
dérivées partielles dont T(x,t) est solution.
2. En régime dépendant du temps, pour une diffusion thermique sur une distance L, il faut une durée de
l’ordre de τd.
• A partir des grandeurs λ, m, c et L, construire une grandeur homogène à une durée notée τd.
• Commenter la dépendance de ce temps caractéristique de diffusion thermique avec L.
En réalité, le barreau est relié à deux sources de chaleur dont les températures T1(t) et T2(t) sont uniformes
mais dépendent du temps. On note C1 et C2 les capacités thermiques respectives à pression constante de ces
sources
A l’instant t = 0, on a T1(0) = T01 et T2(0) = T02.
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On se place dans l’approximation des régimes quasi stationnaires: la température dans la barre évolue
suffisamment lentement pour que l’on puisse conserver à chaque instant l’expression donnant Φ(t) en
fonction de T1(t) et T2(t).
Φ=
T1 − T2
R th
3. En considérant la source 1, établir une autre relation pour Φ(t) en fonction de T1(t). Idem établir une
troisième relation pour Φ(t) en fonction de T2(t).
4. En déduire l’équation différentielle vérifiée par Φ(t). Quelle est la constante de temps τ caractéristique de
l’évolution de ce système? Résoudre pour trouver Φ(t).
5. Exprimer alors T1(t) et T2(t). Tracer les graphes donnant T1(t) et T2(t) lorsque C1 = C2 (on suppose
T01>T02).
6. Trouver une analogie électrocinétique pour ce problème.
7. En comparant τ et td établir une condition sur m, c, S, L, C1 et C2 pour que l’approximation des régimes
quasi-stationnaires soit correcte. Interpréter qualitativement cette condition.
MP* Fénelon 2014-2015

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