Exercices : di usion thermique

MP 2013-2014
Parc des loges
Exercices : diusion thermique
1 Sensation de chaud
Le but de l'exercice est d'expliquer l'observation suivante : lorsqu'on pose la main sur une table en bois
puis sur une table en acier à la même température, le bois semble plus chaud que l'acier.
On adopte le modèle suivant : deux cylindres isolés latéralement, de même section S, de même axe Ox,
de conductivités thermiques λ1 et λ2 , de longueurs L1 et L2 sont mis bout à bout, le contact s'établissant
en x = 0. On maintient les extrémités x = −L1 et x = L2 aux températures T1 et T2 . On étudie un régime
stationnaire pour lequel la température ne dépend que de x et on néglige toute perte latérale.
Table
Main
T2
T1
x = −L1
x=0
x = L2
1. Etablir l'expression de T(x) dans les deux cylindres en fonction de T1 , T2 , x, L1 , L2 et de la température
Tc en x = 0.
2. Que peut-on dire du vecteur densité de ux thermique en x = 0 ? En déduire la température Tc en
fonction des données du problème.
3. La température de la main est T1 =37◦ C et celle de la table (acier ou bois) est T2 =20◦ C. Les
conductivités thermiques sont λ1 = 10W.m−1 .K−1 pour la main, λ2 = 1W.m−1 .K−1 pour le bois
et λ′2 = 100W.m−1 .K−1 pour l'acier. On prendra L1 = L2 .
Calculer Tc pour un contact main/bois puis pour un contact main/acier. Conclure.
4. Déterminer la valeur de la résistance thermique de la main, de la table, de l'ensemble.
Quel théorème de l'électrocinétique peut-on utiliser pour déterminer, par analogie, Tc ?
2 Isolation thermique
On considère le mur extérieur d'une maison constitué de briques que l'on souhaite doubler d'un matériau
isolant à base de laine de verre. Ce mur sépare une pièce à la température θ1 =20◦ C de l'extérieur à la
température θ2 =5◦ C. La surface du mur de briques est S=20m2 , sa conductivité est λ1 = 1, 16W.m−1 .K−1
et son épaisseur e1 =15 cm. La conductivité thermique de l'isolant est λ2 = 4.10−2 W.m−1 .K−1 .
On ne considère que les échanges thermiques par conduction et on suppose le problème unidirectionnel
et en régime stationnaire.
1. Calculer littéralement puis numériquement le ux thermique qui traverse le mur de briques non doublé.
2. Déterminer littéralement puis numériquement l'épaisseur e2 du matériau isolant utilisé pour diviser
par 5 les pertes thermiques. On pourra utiliser la notion de résistance thermique.
3. Dans la pièce, se trouve aussi une fenêtre de résistance thermique Rth = 0, 01W−1 .K. Le tout est
chaué par un radiateur délivrant une puissance thermique Pth . Déterminer le schéma électrique
équivalent du système et la puissance thermique délivrée par le radiateur.
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Exercices : diusion thermique
3 Résistances thermiques en symétrie cylindrique
R2
On considère un tuyau cylindrique de conductivité thermique λ, de capacité thermique massique
c, de masse volumique ρ, de longueur L, de rayon
intérieur R1 et de rayon extérieur R2 . La paroi intérieure est portée à la température T1 et la paroi
extérieure à la température T2 <T1 .
T1
R1
T2
1. Eectuer un bilan énergétique entre r et r + dr pour montrer l'équation diérentielle :
−
∂
∂T
(rj th (r)) = ρc r
∂r
∂t
−−→
En déduire l'équation diérentielle vériée par T(r, t) dans le tuyau sachant que grad f (r) =
2. On donne les formules d'analyse vectorielle pour un problème à symétrie cylindrique :
−
→ 1 ∂
div F =
(rFr )
r ∂r
1 ∂
et ∆f =
r ∂r
∂f −
→
ur .
∂r
(
)
∂f
r
∂r
Retrouver simplement les résultats de la question précédente.
3. On se place en régime permanent. Déterminer :
a) la température T(r) en tout point du matériau
b) la puissance thermique transférée à travers un cylindre de rayon r ∈ [R1 ; R2 ] et de longueur
L. Verier que ce ux thermique est constant quelque soit r ∈ [R1 ; R2 ] . Le ux thermique est
conservatif en régime permanent.
c) la résistance thermique du conducteur.
4 Conductivité thermique et eet Joule
Un matériau de conductivité thermique λ, de conductivité électrique γ , contenu entre les plans x = 0 et
−
→
→
−
x = L est parcouru par un courant électrique de vecteur densité de courant électrique j el = jel uy uniforme.
Le long du plan x = 0 s'écoule un uide à la température T0 avec lequel les échanges thermiques obéissent
à la loi dite de Newton : la puissance échangée par unité de surface est h(T(0) − T0 ). On se place en régime
permanent.
1. Rappeler l'expression de la résistance électrique d'un matériau de conductivité électrique γ , de longueur e et de section S. En déduire que la puissance Joule volumique dissipée dans un matériau est
PV =
jel2
(cette puissance est fournie par le générateur au matériau)..
γ
2. En déduire à l'aide d'un bilan énergétique l'équation
λ
d2 T
jel2
=
−
dx2
γ
3. Déterminer la température T(x) dans le matériau en fonction notamment de T0 et T(0).
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5 Ailette de refroidissement
Une ailette est une pièce que l'on adjoint à un système an d'améliorer son refroidissement. L'ailette est
xée à une paroi de température Ta et baigne dans un milieu (l'air) de température T0 . Elle est constituée
d'un matériau homogène et isotrope de conductivité thermique λ. L'ailette est de forme parallélépipédique
d'épaisseur b, de largeur c et de longueur L. On supposera que le régime est stationnaire et le problème
unidimensionnel (T fonction de x).
T0
Ta
x
b
L
On admettra que la puissance perdue par unité de surface à l'abscisse x au niveau de la surface de contact
avec l'air de température T0 se met sous la forme ; h(T(x)−T0 ) où T(x) représente la température de l'ailette
à l'abscisse x (loi de Newton).
1. Etablir l'équation diérentielle vériée par T(x). Introduire une longueur caractéristique a.
2. En déduire le champ des températures T(x) pour L ≫ a. On précisera les conditions aux limites
utilisées pour résoudre l'équation diérentielle. Tracer le graphe de T(x).
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Brioche chauée au micro-ondes (ESIM 2003 PC)
Une petite brioche ( industrielle ) sèche est placée au centre d'un four à micro-ondes de puissance P=850W.
On admet qu'environ 30% de la puissance est transmise à la pate ( considérée comme homogène ). La brioche
a une forme à peu près sphérique, son rayon est R = 5 cm, sa conductivité thermique h = 0,5 S.I., sa masse
m = 40 g et sa capacité thermique massique cm = 2.103 J.K−1 .kg−1 . Le four est réglé à pleine puissance et
le temps de fonctionnement est d'environ ∆t = 90s. A sa sortie du four la brioche a son aspect de départ.
On la coupe en deux, le centre est carbonisé. On se propose d'expliquer ce phénomène. On ne considérera
que les échanges thermiques conductifs.
On suppose que la puissance volumique PV reçue par la brioche est uniforme.
1. Déterminer PV .
2. Rappeler et commenter la loi de Fourier pour la conduction thermique. Donner les unités de chacun
des termes.
→
3.
a) Du fait de la puissance reçue du four un ux thermique radial de vecteur unitaire −
ur , s'établit.
Faire le bilan thermique entre deux sphères de rayon r et r + dr inférieur à R. On note T(r, t) la
température en un point de la pate.
T0
r + dr
r
R
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Exercices : diusion thermique
b) En déduire que I'équation diérentielle en T(r, t) est de la forme :
1 ∂
r2 ∂r
(
)
PV
∂T(r, t)
2 ∂T(r, t)
r
+
=A
∂r
h
∂t
Donner l'expression de A en fonction de cm , h et ρ ( masse volumique de la brioche ).
c) Donner la dimension de A. Calculer le temps caractéristique traduisant l'évolution temporelle
du système.
d) Dans le cas étudié, on fait l'hypothèse que l'on se trouve en régime permanent. Cette hypothèse
vous semble-t-elle justiée ?
4. Donner l'expression de T(r), sachant que la température en R est T(R) = T0 = 300K
5. Déterminer l'expression de la température au centre de la brioche. Faire l'application numérique.
Conclure.
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Gel d'un lac
Lorsque l'air au-dessus d'un lac de surface S est √
à la température Ta < TF , on constate que l'épaisseur e(t)
de la couche de glace croît lentement avec e(t) ∼ t. On note TF la température de l'eau liquide supposée
uniforme, et T(z, t) la température de la glace pour 0 ⩽ z ⩽ e(t). On suppose que le prol des température
T(z, t) est le même que si le régime était stationnaire (régime quasi-stationnaire).
La chaleur latente massique de fusion de la glace est ℓF , sa masse volumique est ρ, sa capacité thermique
massique c et sa conductivité thermique λ.
On suppose que l'air impose sa température Ta à la surface du lac c'est-à-dire que T(z = 0, t) = Ta .
atmosph`ere `a Ta
0
glace `a T(z, t)
e(t)
eau liquide `a TF
z
1. Exprimer le ux thermique Φ traversant la couche de glace dans le sens des z décroissants en fonction
de λ, e(t), S, Ta et TF .
2. En faisant un bilan énergétique pour la couche de glace qui gèle entre t et t + dt, montrer que e(t)
vérie l'équation diérentielle suivante :
e(t)
λ(TF − Ta )
de
=
dt
ρℓF
3. En déduire e(t) en considérant une couche initiale de glace d'épaisseur e0 .
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