Exercices : Thermodynamique

MP 2013/2014
Exercices : Thermodynamique
Transferts thermiques - Conduction thermique
TH304 : Expérience d'Ingen Housz
Cette expérience permet de comparer les conductivités thermiques de divers solides.
Considérons deux ailettes cylindriques de même rayon r, l'une en cuivre et l'autre en aluminium. Elles sont soudées
à leur extrémité inférieure à un récipient contenant de l'eau en ébullition (T0=373 K). L'atmosphère environnante
est à la température Ta=293 K. Le coefficient d'échange convectif entre la tige et l'air est h (enW.m-2.K-1).
Chacune des ailettes est enduite d'une couche mince de paraffine, dont la température de fusion est Tf=333 K.
On constate que sur la tige de cuivre, la paraffine est fondue jusqu'à l'abscisse x1=14,4 cm alors que sur la tige
d'aluminium, elle n'est fondue que jusqu'à l'abscisse x2=11,2 cm.
a) Montrer que, si l'ailette est assez longue, la température y décroît exponentiellement.
b) Sachant que la conductivité thermique du cuivre est λ1=390 W.m-1.K-1, déterminer celle de l'aluminium.
TH310 :. conduction de la chaleur dans une plaque
On considère une plaque métallique de largeur 2d qui est plongée dans un
fluide dont la température est maintenue à Tf. On appelle θ =T-Tf l'écart
de température, ρ la masse volumique de la plaque, c sa chaleur massique
et λ sa conductivité thermique. On posera a=λ/(ρc) la diffusivité
thermique et on notera jQ le vecteur densité de courant de chaleur.
a) Donner les variables dont dépend θ et déterminer l'équation
différentielle qu'il vérifie.
b) On suppose que θ peut se mettre sous la forme : θ(x,t)=f(x).g(t).
Quelles sont les équations vérifiées par f et g ? Trouver l'allure
générale de g(t), puis de f(x). Si à t=0, θ(x,0)=θ1cos(πx/(2d)),
déterminer complètement θ(x, t) .
y
Tf
Tf
-d
O
d
TH314 :. échange de chaleur à travers une paroi
On considère une paroi séparant de la fumée à T0=1000°C et de l'eau à T3=200°C. On note λ la conductivité
thermique de la paroi et α1 et α2 les coefficients conducto-convectifs d'échange en surface (α1 pour l'interface
fumée/paroi à la température T1 et α2 pour celle paroi/eau à la température T2).
a) L'épaisseur de paroi étant L, déterminer T(x) à l'intérieur de la paroi en fonction de T1, T2, L et x.
b) Déterminer T1, T2 et le flux surfacique à travers la paroi en fonction de T0 et T3 et des coefficients.
TH317 :Ailettes de refroidissement
Pour éviter un échauffement trop important d'un appareil électrique, dû à l’effet Joule, on munit
l'arrière de son boîtier d'ailettes de refroidissement métalliques.
Chaque ailette est parallélépipédique,d'épaisseur a = 2,0 mm , de largeur b = 10 cm et de longueur c
= 12 cm. Dans les calculs on admet a<<b.
En fonctionnement permanent, le boîtier de l'appareil maintient une température TM = 60 °C. L'air extérieur, qui
circule, est à une température constante et uniforme TA = 20 °C, sauf au voisinage immédiat de l'ailette, entourée
d'une couche limite d'air thermiquement peu conductrice dont la température reste localement voisine de celle de
la surface de l'ailette.
Thermodynamique
© JM DUCRET
page 1/4
Dans l'ailette, on admet une conduction thermique unidimensionnelle ; la température
est T(x) , la loi de Fourier s'applique et la conductivité est λ = 20 W.m- 1 °C - 1
Il existe par ailleurs un transfert thermique de l'ailette vers l'air ambiant, à travers la couche limite. Le
flux thermique entre la surface latérale dS (en gris sur la figure) de l'élément d ' ailette de longueur dx et
l'air ambiant est de la f o r m e :
d P = h ( T x ) - T A ) d S où h=180 W.m- 2 °C - 1
a) Écrire le bilan en régime stationnaire permanent des échanges thermiques de la tranche d'ailette de
largeur dx. En déduire que la température T(x) est solution de
l'équation différentielle :
d2 T
1
.(T(x) − TA ) = 0
dx
L2
en précisant l'expression de L ainsi que sa valeur numérique et son unité.
b) Résoudre cette équation et donner l'expression simplifiée de T(x) compte tenu de l'inégalité entre
L et c .
c) Exprimer et calculer numériquement la puissance thermique totale P évacuée par l'ailette, puis la
puissance thermique P ' transmise par le boîtier de l'appareil à l'ailette en x = 0 et commenter.
Combien faudrait-il fixer d'ailettes sur le boîtier pour évacuer une puissance totale P t o t = 200 W ?
2
−
TH318 :Diffusion thermique et effet Joule
Un barreau cylindrique calorifugé de longueur L = 25 cm est parcouru par un courant de densité j= 5.10 5
A.m -2 ; sa conductivité électrique est σ = 7,7.10 5 Ω -1 .m -1 . L'énergie thermique dégagée par effet Joule
s ' évacue par conduction dans le conducteur de conductivité thermique λ = 50 W. m- 1 °C - 1
a) Etablir l'équation d'évolution de la température T(x,t).
b) En déduire, en régime permanent, le profil de température T(x) lorsqu'aux extrémités T(0) et T ( L ) sont
imposées ; le flux thermique est-il indépendant de x ?
c) Trouver, en régime quasi stationnaire, l'endroit où démarre la fusion sachant que le
barreau est maintenu a une différence de température T(L)- T(0) = 50°C.
TH319 :Conduction radiale dans un tube cylindrique
Un tube cylindrique creux de rayon intérieur
conductivité thermique
λ = 0,9 S.I.
Ri et de rayon extérieur Re est constitué d'un matériau de
supposée indépendante de la température du matériau.
1- Dans le système d'unités international (S.I.), donner l’unité de la conductivité thermique
λ.
Ti et Te < Ti .
Le tube est le siège d'un transport d'énergie interne (ou thermique) caractérisé par le vecteur jth ( r ) = jth ( r ) er
où er est un vecteur unitaire radial en un point P quelconque du matériau situé à une distance Ri < r < Re de
2- Les surfaces cylindriques intérieure et extérieure du tube sont respectivement aux températures
l'axe du tube. Déterminer jth(r) en régime permanent.sachant qu’il n’existe aucun phénomène physique dans le
matériau qui puisse donner lieu à une production d’énergie interne.
3- Exprimer la loi d'évolution
T ( r ) de la température dans le matériau en fonction de la distance r à l'axe du
tube.
4- Exprimer la puissance thermique Pth échangée avec le milieu extérieur au niveau de la surface cylindrique
extérieure par une longueur
de matériau.
5- Exprimer la résistance thermique Rth d'une longueur
. de matériau.
6- Le matériau considéré précédemment constitue la gaine d'un conducteur ohmique cylindrique de rayon Ri et de
résistivité
ρ . Ce conducteur est parcouru par un courant continu d'intensité I
. Exprimer la puissance thermique
Pth , calculée précédemment en fonction de I.
Thermodynamique
© JM DUCRET
page 2/4
7- En déduire la température
Ti , à la jonction gaine conducteur.
TH327 :Baleine à babord
TH 334 : Estimation de l’âge de la Terre par Lord Kelvin
On néglige la sphéricité et les sources radioactives de la planète, mais on ne se place pas en régime
permanent. On admet que la température dépend de t et de la profondeur z comptée positivement. Elle
vérifie l’équation de diffusion :
∂T
∂ 2T
ρ .c p .
= λ. 2
∂t
∂z
où ρ est la masse volumique, c p la capacité thermique massique à pression constante et λ la conductivité
thermique.
1. Démontrer l’équation différentielle vérifiée par q (puissa n ce surfacique) :
∂q
∂ 2q
= D. 2
∂t
∂z
dans la quelle on notera D la diffusivité thermique. Déduire l’expression de D.
Au milieu du X I X ème siècle, Sir William Thomson (Lord Kelvin) a imaginé que la Terre avait été formée à une
température élevée T1 uniforme à la date t = 0. Il a proposé d’autre part qu’à cette même date, sa surface
avait été soumise instantanément à une température T S . Depuis ce temps-là, la planète se refroidirait. Lord
Kelvin a modélisé le refroidissement pour en déduire l’âge de la Terre. La densité de flux thermique est donc
une fonction de la profondeur et du temps q ( z , t ) .
2.
Da n s l’hypothèse de Lord Kelvin, quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique en z = 0
lorsque t tend vers zéro et lorsqu’il tend vers l’infini ? Quelle doit être la valeur de la densité de flux
thermique à une profondeur z non nulle lorsque t tend vers zéro et lorsqu’il tend vers l’infini ?
3.
Vérifier que la solution proposée par Lord Kelvin :
Thermodynamique
© JM DUCRET
page 3/4
q( z, t ) = −
 z2 
A

. exp −
Dt
 4 Dt 
où t est le temps écoulé depuis la formation de la Terre est bien la bonne. Dessiner schématiquement la
valeur absolue de la densité de flux thermique en fonction de la profondeur pour deux époques différentes.
4. Les paramètres du problème sont T1-T S , λ , ρ et c p. On suppose que A s’exprime par :
A=
1
π
.(T1 − TS )α .λβ .ρ γ .c δp
Déterminer par analyse dimensionnelle, les valeurs des exposants de cette loi.
5.
Exprimer la valeur du gradient thermique en surface de la Terre dT/dz. Lord Kelvin a admis que T1-T S était
de l’ordre de 1000 à 2000K et que D est proche de 10-6 m2 s-1. Sachant que l’augmentation de température mesurée
dans les mines indiquait un gradient proche de 30 K km-1, quel âge de la Terre Lord Kelvin a-t-il déduit de son
modèle ?
6.
Que pensez-vous de l’estimation précédente ? Quel est le ou les ingrédients que Lord Kelvin n’aurait pas
dû négliger ?
THERMO 336 : Modélisation d'une tasse de café
On considère une tasse cylindrique de rayon a et d'épaisseur e contenant du café à T = 80°C; on donne la
conductivité λ le coefficient conducto-convectif avec l'air h et on néglige les effets de bord.
Quelle doit être l'épaisseur de la tasse si l'on ne veut pas se brûler, c'est à dire pour que la température de sa face
extérieure n'excède pas θmax = 40°C?
On donne : a =0,1 m; Text = T0 = 20°C; h = 20 W.m-2.K-1; λ = 1 W.m-1.K-1
Thermodynamique
© JM DUCRET
page 4/4

Download Report