French - Laboratoire Jacques

Optimisation géométrique et topologique en mécanique
des fluides
Marc Albertelli 1 Pascal Frey 2 et Yannick Privat 3
Dans cette thèse, on souhaite s’intéresser à des problèmes d’optimisation de forme s’écrivant
inf J(Ω, uΩ ),
Ω∈Oad
où Oad est un ensemble de formes admissibles (par exemple un sous-ensemble des ouverts connexes dont la
frontière est C 1 ), et uΩ , la solution d’une équation de la mécanique des fluides de type Navier-Stokes, par
exemple :
−µ∆uΩ + ∇p + uΩ ∇uΩ = f,
où µ désigne la viscosité du fluide, uΩ sa vitesse, p sa pression en tout point de Ω et f un second membre
modélisant une force appliquée au fluide.
L’objectif principal de cette thèse est de concevoir une méthode numérique d’optimisation de forme qui
jouit d’une description exacte (i.e. au moyen d’un maillage) de la forme à chaque itération du processus, tout
en bénéficiant des avantages de la méthode des lignes de niveaux lorsqu’il s’agit de suivre leur évolution.
Dans un premier temps, on se consacrera à l’étude de la fonctionnelle de forme
Z
1
|∇uΩ |2 dx,
J(Ω, uΩ ) =
2 Ω
où | · | désigne la norme euclidienne de IRn .
Dans un second temps à des problème motivés par des applications industrielles et biomédicales, à savoir :
- le dimensionnement de conduits de climatisation ou de dégivrage de véhicules. Le sujet est
tiré par des applications industrielles issues entre autres du secteur automobile. Dans le périmètre moteur, on
peut notamment citer les conduits d’admission, les répartiteurs, l’arrosage du catalyseur et autres collecteurs.
Dans le périmètre véhicule, les conduits de climatisation ou de dégivrage sont également des cas-tests intéressants. Le premier critère de dimensionnement est la perte de charge qui sous certaines conditions correspond
justement à la dissipation d’énergie mentionnée plus haut. Après avoir réalisé un premier démonstrateur
d’optimisation, l’objectif de ce travail de thèse serait d’élargir peu à peu le champ d’application en intégrant
de nouveaux critères utilisés par les industriels (ex : uniformiser le profil de vitesse en sortie de conduit,
maximiser la recirculation d’air dans la chambre de combustion, etc). Si on élargit également les physiques
en jeu, notamment en rajoutant des considérations énergétiques, on peut chercher à maximiser les échanges
thermiques.
- la modélisation d’un inhalateur à poudre sèche et l’optimisation du transport particulaire.
La question revient alors à déterminer la forme optimale d’un inhalateur utilisé pour soigner des maladies
respiratoires telles que l’asthme ou la broncho-pneumopathie chronique obstructive. La forme sera choisie de
sorte que :
— la dose médicamenteuse soit répartie au mieux dans l’arbre bronchique et qu’elle puisse agir en tout
point du système pulmonaire.
— les particules constituant la poudre sèche se scindent durant la phase de transport en sous-éléments
de taille inférieure, par le biais de collisions inter-particulaires ou avec les parois.
Cette thèse vise à explorer des voies théoriques (étude de la différentiabilité de forme des fonctionnelles
considérées, existence dans des classes géométriques adaptées et propriétés qualitatives de l’optimum le cas
échéant, étude des phénomènes de relaxation/homogénéisation), et numériques (mise en œivre de la méthode
de lignes de niveau, adaptation de maillage, optimisation robuste).
1. RENAULT, Technocentre (service "Méthodes & outils simulation numérique") , 1 avenue du golf, 78280 Guyancourt cedex
2. Université Pierre et Marie Curie (Univ. Paris 6), UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions, F-75005, Paris, France
([email protected]).
3. CNRS, Université Pierre et Marie Curie (Univ. Paris 6), UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions, F-75005, Paris,
France ([email protected]).
1
La liste de références ci-dessous constitue une base bibliographique sur l’optimisation de forme, topologique, et les méthodes numériques sous-jacentes.
Mots clefs : optimisation, variation de forme, équation de Stokes/Navier-Stokes, convergence au sens de
Hausdorff, dérivée de forme/topologique, méthodes de gradient/level set, adaptation de maillage, méthodes
d’éléments/volumes finis.
Références
[1] G. Allaire. Conception optimale de structures. Mathématiques et Applications. Springer, 2006.
[2] C. Bui, C. Dapogny, P. Frey. An accurate anisotropic adaptation method for solving the level set advection
equation. Int. J. Numer. Methods in Fluids, Volume 70, Issue 7, pp. 899 ?922 (2012).
[3] X. Dubois De La Sablonière, B. Mauroy, and Y. Privat. Shape minimization of the dissipated energy in
dyadic trees. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 16(3) :767–799, 2011.
[4] Antoine Henrot, Michel Pierre, Variation et optimisation de formes (French) [Shape variation and optimization] Une analyse géométrique. [A geometric analysis], Math. & Appl. 48, Springer, Berlin, 2005.
[5] B. Mohammadi and O. Pironneau. Applied Shape Optimization for Fluids. Numerical Mathematics and
Scientific Computation. Oxford University Press, USA, 2001.
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