¼ 2 - SUUGAKU.JP

年番号
1
複素数平面上に原点 O と 3 点 A(5)，B(¡10 ¡ 5i)，C(3 + 4i) をとる．4OAB を，点 O が点
4
C に重なるように平行移動し，さらに点 C のまわりに µ だけ回転した．このとき，点 A は点
¼
¼
A0 (®) に，点 B は点 B0 (¯) に移った．ただし，¡
<µ5
とし，®; ¯ は複素数とする．
2
2
3 点 O，C，A0 が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．
氏名
複素数平面上の点 0 を中心とする半径 2 の円 C 上に点 z がある．a を実数の定数とし，
w = z2 ¡ 2az + 1
とおく．
(1) ®; sin µ の値を求めよ．
(1) w
(2) ¯ の値を求めよ．
(2) 点 z が C 上を一周するとき， w の最小値を a を用いて表せ．
(3)
ÎB0 OA0
2
を z の実部 x と a を用いて表せ．
の大きさを求めよ．
（北海道大学 2016 ）
（和歌山大学 2016 ）
2
y2
x2
+
= 1 に 2 本の接線 `1 ; `2 を引き，それぞれの接点の座標
3
4
を (a; b)，(c; d) とする．ただし，a < c とする．次の問いに答えよ．
点 P(3; 2) から楕円 C :
(1) 接点の座標 (a; b)，(c; d) を求めよ．
(2) C の x = 0 の部分を曲線 C0 とするとき，C0 と `1 および `2 で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
（和歌山大学 2015 ）
5
z = cos
2¼
2¼
+ i sin
（ i は虚数単位）とおく．
7
7
(1) z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 を求めよ．
(2) ® = z + z2 + z4 とするとき，® + ®，®® および ® を求めよ．ただし，® は ® の共役複素数で
3
2
) に最も近い
a
C 上の点を Q とする．また，点 R(0; ¡a) を通る直線が点 S で C に接している．このとき，次
双曲線 x2 ¡ y2 = 1 の x > 0 の部分を C とする．a を正の定数とし，点 P(0;
ある．
(3) (1 ¡ z)(1 ¡ z2 )(1 ¡ z3 )(1 ¡ z4 )(1 ¡ z5 )(1 ¡ z6 ) を求めよ．
（千葉大学 2016 ）
の問いに答えよ．
(1) 点 Q の座標および直線 PQ の傾きを a を用いて表せ．
(2) 点 S の座標および直線 RS の傾きを a を用いて表せ．
(3) 3 点 P，Q，R を通る円の直径を a を用いて表せ．
（和歌山大学 2010 ）
6
8
数列 fan g と fbn g は
a1 = b1 = 2;
p
p
[
2
6
an ¡
b ;
an+1 =
4
4 n
bn+1 =
p
p
6
2
an +
b
4
4 n
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすものとする．an を実部とし bn を虚部とする複素数を zn で表すとき，次の問いに答えよ．
i を虚数単位とするとき，次の各問に答えよ．
(1) 複素数 c = 1 + i について，c と共役な複素数 c および c 2 をそれぞれ求めよ．
1
が実数であることを証明せよ．
(2) 複素数 z が z = 1 を満たすとする．このとき，z +
z
(3) ®; ¯ を複素数として ® の実部と虚部がともに正であるとする．また， ® = ¯ = 1 とする．
i
; ¯ で表される複素数平面上の 3 点が，ある正三角形の 3 頂点であるとき，®; ¯
複素数 i®;
®
をそれぞれ求めよ．
(1) zn+1 = wzn を満たす複素数 w と，その絶対値 w を求めよ．
（静岡大学 2016 ）
(2) 複素数平面上で，点 zn+1 は点 zn をどのように移動した点であるかを答えよ．
(3) 数列 fan g と fbn g の一般項を求めよ．
(4) 複素数平面上の 3 点 0; zn ; zn+1 を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図
形を Tn とする．このとき，複素数平面上で T1 ; T2 ; Ý; Tn ; Ý によって黒く塗りつぶされる
領域の面積を求めよ．
（金沢大学 2016 ）
9
i を虚数単位，r を 1 より大きい実数とし，w = r #cos
fzn g を次の式で定める．
z1 = w;
7
zn+1 = zn wn+2
¼
¼
; とおく．また，数列
+ i sin
24
24
(n = 1; 2; 3; Ý)
P0 ，Q0 を複素数平面上の異なる点とする．自然数 k に対して，平面上の点 Pk ，Qk を以下の条
このとき，次の問いに答えよ．
件 ‘，’ を満たすものとして定める．
‘ 線分 Pk¡1 Qk¡1 を Pk¡1 を中心として角 µ だけ回転させた線分が Pk¡1 Qk となる．
(1) z2 を r を用いて表せ．
’ 線分 Pk¡1 Qk を Qk を中心として角 µ0 だけ回転させた線分が Qk Pk となる．
(2) zn の偏角の 1 つを n を用いて表せ．
以下の問いに答えよ．
(1) Qk+2 = Qk となるための，µ と µ0 に関する条件を求めよ．
(2) 0 5 µ < 2¼，µ = ¡µ0 ， Q0 P0 = 1 とする．Q0 を中心とし，半径が r の円を C とする．Pn¡1
は C の内部，Qn は C の外部にあるという．このとき，r2 が取り得る値の範囲を n と µ を用い
て表せ．
（信州大学 2016 ）
(3) 複素数平面で原点を O，zn で表される点を Pn とする．7 5 n 5 48 のとき，4Pn OPn+1 が
¼
ÎO =
を満たす直角三角形となるような n と r をそれぞれ求めよ．また，そのときの zn の
3
偏角 µ を 0 5 µ < 2¼ の範囲で求めよ．
（静岡大学 2015 ）
10 i を虚数単位，r を 1 より大きい実数とし，w = r #cos
fzn g を次の式で定める．
z1 = w;
¼
¼
; とおく．また，数列
+ i sin
24
24
12 座標平面上の 3 点 O(0; 0)，A(x1 ; y1 )，B(x2 ; y2 ) を頂点とする 4OAB を考える．
® = x1 + y1 i;
zn+1 = zn wn+2
(n = 1; 2; 3; Ý)
¯ = x2 + y 2 i
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，i は虚数単位である．
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 4OAB の面積 S は
(1) z2 を r を用いて表せ．
S=
(2) zn の偏角の 1 つを n を用いて表せ．
(3) 複素数平面で原点を O，zn で表される点を Pn とする．7 5 n 5 48 のとき，4Pn OPn+1 が
¼
ÎO =
を満たす直角三角形となるような n と r をそれぞれ求めよ．また，そのときの zn の
3
偏角 µ を 0 5 µ < 2¼ の範囲で求めよ．
1
®¯ ¡ ®¯
4
で表されることを示しなさい．ただし，®，¯ はそれぞれ ®; ¯ と共役な複素数である．
(2) k を 2 より大きい定数とする．®; ¯ が
®2 + ¯2 = 1 かつ
（静岡大学 2015 ）
®¡1 + ®+1 =k
を満たすとき，次の各値は ®; ¯ によらず一定であることを示しなさい．
‘ ®
2
+ ¯
2
’ 4OAB の面積 S
（山口大学 2016 ）
11 複素数平面上の点 P0 ; P1 ; P2 ; Ý を表す複素数をそれぞれ z0 ; z1 ; z2 ; Ý とする．原点 O お
¼
を満たす．また，ÎPk OPk+1 = µ とする．た
よび整数 k (k = 0) に対して ÎOPk Pk+1 =
2
¼
だし，µ は 0 < µ <
を満たす定数とする．次の問いに答えよ．
2
(1) zk+1 を zk で表せ．
13 次の整式を文字 x について降べきの順に並べて整理せよ．
(2) z0 = a（ a は正の実数）であるとき，三角形 OPk Pk+1 の面積 sk を a; µ で表せ．
n¡1
P
(3) 三角形の面積の和 An =
sk を a; µ で表せ．
k=0
（名古屋市立大学 2016 ）
(1) 2x2 + 3 ¡ x3 ¡ x2 ¡ 2
(2) ax + a + bx + x2 ¡ b
(3) x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx
（スタンダード 2013 ）

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