1 次の問いに答えよ． (4) n P ak k を求めよ． k=1 2 (1) 2m2 ¡ n 2 ¡ mn ¡ m + n = 18 を満たす自然数 m; n を求めよ． tan µ ¼ 1 のとき logcos µ #tan2 µ + + ; = ¡2 を満たす µ を求めよ． (2) 0 < µ < 2 3 cos µ (3) 袋の中に 1; 2; 3; 4; 5 の数字が 1 つずつ書かれた 5 個の玉が入っている．5 人が順にこの袋 の中から玉を 1 個ずつ取り出し ，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべ （ 愛媛大学 2016 ） 4 ての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，1 回目と 2 回目に取り出した玉に 書かれた数字が同じであるという人がちょうど 3 人になる確率を求めよ． Z2 (4) 1 5 x 5 2 とする．関数 f(x) = t ¡ x dt を最小にする x の値を求めよ． 1 空間内の 2 点 A(4; ¡2; 2)，B(2; ¡4; 4) に対して，線分 AB を直径とする球 S の中心を C とする． (1) 球 S の方程式を求めよ． (2) xy 平面と平行な平面 ® のうち S と ® が交わってできる円の半径が最大となるような ® の方程 式を求めよ． （ 愛媛大学 2016 ） (3) 原点 O から最も近い S 上の点 D，および最も遠い点 E の座標をそれぞれ求めよ． 2 放物線 C : y = x2 + 2ax + b について次の問いに答えよ．ただし，a; b は実数とする． (4) (2) で求めた ® と S が交わってできる円上を動く点 P に対して，4CDP の面積を最大とする P の座標をすべて求めよ．ただし，D は (3) で求めた点である． (1) 放物線 C 上の点 (t; t2 + 2at + b) を通る接線の方程式を求めよ． （ 愛媛大学 2016 ） (2) 平面上の点 P(p; q) から C に相異なる 2 本の接線 `1 ; `2 が引けるとする． ‘ p; q は q < p2 + 2ap + b を満たすことを示せ． ’ `1 と `2 が直交するとき，q を a と b を用いて表せ． 5 （ 愛媛大学 2016 ） 3 2 つの数列 fan g と fbn g が a1 = 0，b1 = 1 および W an+1 = an ¡ bn bn+1 = an + 3bn + 1 (n = 1; 2; 3; Ý) によって定められている． 次の問いに答えよ． p 3 1+ 5 < からその整数部分を引いた値を a とするとき，a2 + 4a + 5 の値を求めよ． (1) $ 2 (2) 次の連立方程式を解け． V log2 x ¡ log2 y = 1 x log2 x ¡ y log2 y = 0 (3) s; t を実数とする．座標空間内の同一平面上にある 4 点 O(0; 0; 0)，A(4; s; t)，B(2; 3; 2)， C(0; 5; 1) が ÎAOB = 90± をみたすとき，s; t の値を求めよ． (4) 初項が 3，公比が 4 である等比数列の第 k 項を ak とする．このとき， n2 P k=n (1) cn = an + bn + 1 によって定められる数列 fcn g の一般項を求めよ． (2) an+1 を an と n を用いて表せ． (3) dn = an + 1 によって定められる数列 fdn g の一般項を求めよ． 2n ak を求めよ． （ 愛媛大学 2015 ） 6 原点を O とする座標平面上に 3 点 A(0; 3)，B(4; 0)，C(4; 4) を頂点とする三角形 ABC があ り，線分 AB 上に点 P がある．ただし，P は線分 AB の端点にないものとする．直線 OP によっ て三角形 ABC を 2 つの図形に分けたとき，点 A を含む図形の面積を S とする．線分 AP の長 さを t とするとき，次の問いに答えよ． 8 n を自然数，i を虚数単位とする．集合 I1 ; I2 ; I3 ; I4 ，および A を I1 = fk j k は n 以下の自然数 g I2 = f¡k j k は n 以下の自然数 g I3 = fki j k は n 以下の自然数 g (1) t の値の範囲を求め，点 P の座標を t を用いて表せ． I4 = f¡ki j k は n 以下の自然数 g (2) 直線 OP が線分 AC と共有点をもつような t の値の範囲を求め，その共有点の座標を t を用い A = I1 [ I2 [ I3 [ I4 [ f0g て表せ． とする．集合 A の要素が 1 つずつ書かれたカードが 4n + 1 枚ある．ただし，それぞれのカード (3) S を t を用いて表せ． に書かれている要素は異なるものとする．これらのカード をよくまぜて，左から右に一列に並 （ 愛媛大学 2015 ） べる．左から k 番目のカードに書かれた数を Xk とするとき，次の確率を求めよ． (1) 積 X1 X2 X3 が 0 となる． (2) 積 X1 X2 X3 が実数となる． (3) 和 X1 + X2 が実数となる． (4) X1 (X2 + X3 ) が 0 となる． （ 愛媛大学 2015 ） 7 a を自然数とし，関数 f(x) = x3 + 2x2 + ax + 4 は x = x1 で極大，x = x2 で極小になるも のとする．また，曲線 y = f(x) 上の 2 点 P(x1 ; f(x1 ))，Q(x2 ; f(x2 )) の中点を R とする． (1) a = 1 であることを示せ． (2) 点 P および点 Q の座標を求めよ． (3) 点 R は曲線 y = f(x) 上にあることを示せ． (4) 点 R における曲線 y = f(x) の接線は，点 R 以外に y = f(x) との共有点をもたないことを 示せ． （ 愛媛大学 2015 ）
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