平成28年度新潟県公立高校入試解説数学[2]

平成 28 年度新潟県公立高校入試解説数学[2]
★
目標 40 点
★★
目標 60 点
家庭教師のホームティーチャーズ
★★★ 目標 80 点
新潟県の公立入試の数学は、[1][2]をどれだけ速くこなし落とさないかが勝負の分かれ目です。
[2]は、5 点×4 問で 20 点と高配点です。
[1]よりは難しい問題になりますが、取れる問題は取りこぼしの無いように！
（１）
★
とてもオーソドックスな連立方程式の問題です。
入館料を、大人 1 人 𝑥 円高校生 1 人 𝑦 円とすると、
大人 2 人と高校生 6 人で 2100 円 → 2𝑥 + 6𝑦 = 2100 ･･･①
大人 1 人と高校生 2 人で 850 円 → 𝑥 + 2𝑦 = 850 ･･･②
これらを連立方程式として解いて、（省略） 𝑥 = 450 , 𝑦 = 200
大人 450 円高校生 200 円
（２）
★★
1 , 2 , 3 のカードの組み合わせで、数の和が 4 となるのは、1+3 または 2+2 ですが、
見た目が同じ 2 と 2 のカードも、別々の異なるカードとして考えなければなりません！
区別するために、
1A , 1B , 2C , 2D , 3E
としましょう。
5 枚のカードの組み合わせは、
( 1A 1B ) ( 1A 2C ) ( 1A 2D ) ( 1A 3E )
( 1B 2C ) ( 1B 2D ) ( 1B 3E )
( 2C 2D ) ( 2C 3E )
( 2D 3E )
この 10 通り。※
この中で、数の和が 4 となるのは、( 1A 3E )
したがって、求める確率は
( 1B 3E )
( 2C 2D ) の 3 通りです。
3
10
※確率の分母になる場合の数は、同時に取り出すか、連続かによって変わってきます。
連続して取り出す場合は、( 2C→3E )( 3E→2C )と取り出す順番によって別と考えます。
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（３）
𝑦
(-2,
𝑦 = 𝑎𝑥 2
D (2,
) C
O
－2
)
2
𝑥
(-2,
B (2,
) A
)
1
𝑦 = − 𝑥2
2
まずは、問題文を読み、与えられた図に書いていない情報を書き入れましょう。
問題を解く上でヒントになりますので必ずやりましょう！
この場合、2 つの放物線の式と、4 点 ABCD の 𝑥座標を書き入れます。
さらに、式と 𝑥座標が分かっていますので、y座標も計算しておきましょう。
1
A,B は、𝑦 = − 2 𝑥 2 に代入、C,D は、𝑦 = 𝑎𝑥 2 に代入して、
A( -2 , -2 )
B( 2 , -2 )
C( -2 , 4𝒂 )
D( 2 , 4 𝒂 ) と分かります。
① ★
O
(-2,-2) A
(0,0)
B (2,-2)
座標平面やグラフ上の三角形の面積を求めるときは、𝑥軸や𝑦軸上の辺、
または、軸に平行な辺を底辺と見ることが基本です。
そうすることで、底辺も高さも求めやすくなります。
△OAB の場合は、𝑥軸に平行な辺 AB を底辺と見ましょう。
（仮に辺 OA を底辺とすると、底辺も高さが求めにくいことを確かめてみましょう）
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底辺 AB は、点 A と点 B の 𝑥座標の差ですから、
AB= 2 − (−2) = 4
O (0,0)
高さは、点 O と底辺 AB との 𝑦座標の差ですから、
高さ = 0 − (−2) = 2
高さ
A
B (2,-2)
(-2,-2) 底辺
したがって、△OAB = 4 × 2 ÷ 2 = 4
② ★★
(-2,4𝑎) C
四角形 CABD は長方形ですから、その面積は
辺 CA×辺 AB で求められます。
（もちろん DB でも CD でも）
D (2,4𝑎)
辺 CA は、点 C と点 A の 𝑦座標の差ですから、
CA= 4𝑎 − (−2) = 4𝑎 + 2
辺 AB は、①で求めたように、AB=4 です。
B (2,-2)
(-2,-2) A
よって、四角形 CABD= (4𝑎 + 2) × 4 = 16𝑎 + 8
ここで、問題より、四角形 CABD = △OAB×8 とあるので、①と上で求めたものを代入して
16𝑎 + 8 = 4 × 8
この方程式を解いて、（省略）
（４）
𝑎=
となります。
3
2
★★ （手順）直線 OA を結び、点 A を通る直線 OA の垂線を引く
（作図省略）
作図の問題は、
垂直二等分線、角の二等分線、垂線 2 パターンの計 4 つの組み合わせのみです。
垂線①
垂線の作図は 2 パターンあります。
①元の直線上の点 A から引く
②元の直線上にない点 A から引く
どちらも作図できるように！
新潟県発表の正答率 (1)84.6%
(2)72.5%
垂線②
A
元の直線
A
(3)①77.7% ②35.8%
(4)71.9%
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