練習問題9 科目名解析入門2C/12月12日）出題者澤野嘉宏氏名

練習問題９科目名解析入門２Ｃ/１２月１２日）
出題者澤野嘉宏
氏名合計点点ノート点検
学修番号 ○ １５１７２０ ○ １５１７５０ ○ １１７（その他）.
1. 留数の計算（２点×２６）
4 + 3z 2 + z 4
について次のものを求めよ．ただし，∞ になる可能性があるの
z8
で，そのときは「存在しない」と答えよ．
lim zf (z), lim z 2 f (z), lim z 3 f (z), lim z 4 f (z), lim z 5 f (z), lim z 6 f (z)
問題 1.1. f (z) =
z→0
z→0
z→0
z→0
z→0
z→0
さらに，この計算を踏まえて f (z) の z = 0 における極の位数 m を求めよ．また，z −1 の係数を
見ることによって，Res(f, 0) を求めよ．
８３ページ例題３６，９４ページ定義５．１４
問題 1.2. 次の関数の z = 0 における留数 Res(f ; 0) と z = 0 の極の位数 m を求めよ．
5 − 8z + 6z 2
4 + 6z + 3z 6
7 + 4z 2 − 8z 3
(1) f (z) =
(2)
f
(z)
=
(3)
f
(z)
=
z3
z7
z4
８３ページ例題３６，９４ページ定義５．１４
問題 1.3. 次の関数の z = 0 における留数 Res(f ; 0) と z = 0 の極の位数を m 求めよ．
1 − cos 6z
sin z
e2z
(1) f (z) =
(2)
f
(z)
=
(3)
f
(z)
=
z5
z3
z6
９４ページ例５．１５，９５ページ例５．１６，９５ページ例５．１７
問題 1.4. 次の関数の z = 2 における留数 Res(f, 2) と z = 2 の極の位数 m を求めよ．
sin z
sin((z − 2) + 2)
tan z
e2z
(1) f (z) =
=
(2) f (z) =
(3) f (z) =
z−2
z−2
z−2
z−2
８４ページ例題３７，９４ページ例５．１５，９５ページ例５．１６，９５ページ例５．１７
問題 1.5. 次の関数の z = 1 における留数 Res(f ; 1) と z = 1 の極の位数 m を求めよ．
1
tan z
2ez
(1) f (z) =
(2) f (z) =
(3) f (z) =
2
2
(z − 1) (z + 3)
(z − 1)
z(z − 1)2
７７ページ定理５．３
問題 1.6. 次の関数 z = 1 の留数 Res(f ; 1) と z = 1 の極の位数 m を求めよ．
7z 2 + z + 4
z8 + z4 + z2 + z + 4
z 8 + 7z + 8
(1) f (z) =
,
(2)
f
(z)
=
,
(3)
f
(z)
=
z6 − 1
z4 − 1
z4 − 1
1
2
練習問題
問題 1.7. 次の関数 z = α の留数 Res(f
m を求めよ．
√ ; α) と z = 1 の極の位数
12
6
8
4
7z + 3z + 2
1 + 3i
z +z +4
1+i
(1) f (z) =
,α=
(2) f (z) =
,α= √
z6 − 1
2
z4 + 1
2
z 8 − 4z 4 + 3
1−i
(3) f (z) =
,α= √
z4 + 1
2
2. 留数と線積分の計算（８点×４）
９８ページ系５．１９，９８ページ命題５．２０，９８ページ例題４４
問題 2.1. 被積分関数を f とする．複素数平面 C 内の f の極をすべて求めよ．積分経路を図示し
て，次の線積分を求めよ．
I
I
√
4dz
dz
(1)
(2)
【積分経路の中心は z = 4 で半径は 13 とする．
】
√
2
2
∂∆(2) z + 6z − 7
∂∆(4; 13) z − 4
９８ページ系５．１９，９８ページ命題５．２０，９８ページ例題４４
問題 2.2. 被積分関数を f とする．複素数平面
C 内の f の極をすべて求めよ．また，積分経路を
I
I
z cos zdz
dz
(2)
図示して，次の線積分を求めよ．(1)
2
z(z
−
1)(z
+
7)
∂∆(4;6) z − 1
∂∆(2)
練習問題
問題 1.1. lim zf (z) = 存在しない,
z→0
lim z 4 f (z) = 4,
z→0
lim z 5 f (z) = 0,
z→0
lim z 2 f (z) = 存在しない,
z→0
3
lim z 3 f (z) = 存在しない,
z→0
lim z 6 f (z) = 0, 4 位の極，Res(f, 0) = 0
z→0
問題 1.2. (1) Res(f ; 0) = 6, m = 3 (2) Res(f ; 0) = 3, m = 7 (3) Res(f ; 0) = −8, m = 4
問題 1.3. (1) Res(f ; 0) = −54, m = 3 (2) Res(f ; 0) = 0, m = 2 (3) Res(f ; 0) =
4
,m=6
15
問題 1.4. 極の位数はすべて 1，(1) Res(f ; 2) = sin 2, (2) Res(f ; 2) = tan 2, (3) Res(f ; 2) = e4
問題 1.5. 極の位数はすべて 2，(1) Res(f ; 1) = −
1
, (2) Res(f ; 1) = tan2 1+1, (3) Res(f ; 1) = 0
16
問題 1.6. 極の位数はすべて 1，(1) Res(f ; 1) = 2, (2) Res(f ; 1) = 2
(3) Res(f ; 1) = 4
問題 1.7. 極の位数はすべて 1，(1) Res(f ; α) = 2α, (2) Res(f ; α) = −α, (3) Res(f ; α) = −2α
問題 2.1. 経路の図示は省略する．(1) z = 1, −7 が極である．Res(f, 1) =
(2) z = 2, −2 が極である．Res(f, 1) =
1
πi
より積分値は
8
4
1
より積分値は πi
2
1
1
問題 2.2. 経路の図示は省略する．(1) z = 0, 1, 5 が極である．Res(f, 0) = − , Res(f, 1) = よ
7
8
πi
cos 1
cos 1
り積分値は −
(2) z = 1, −1 が極である．Res(f, 1) =
, Res(f, −1) =
より積分値
28
2
2
は π cos 1i

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