Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 12

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Wintersemester 2015–16
Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 12
Abgabe der Lösungen am 05.02.2016 in der Übung
Die Aufgaben sind zum Teil mündlich bzw. mit Kurznotizen vorzubereiten. Bitte geben
Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 12.2 und 12.3 ab; weitere Informationen auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS1516/.
Für alle Aufgaben bezeichne k einen algebraisch abgeschlossenen Körper. In der Vorlesung
wurden einige Beweise zum Teil nur skizziert. In den Aufgaben sollen diese nun im Detail
ausgeführt werden.
Aufgabe 12.1
Sei G eine lineare algebraische Gruppe, und ΩG = Ωk[G]∣k der Differentialmodul der kAlgebra k[G]. Konkret bedeutet das: ΩG = I/I 2 , wobei I ⊴ k[G × G] ≅ k[G] ⊗k k[G]
das Verschwindungsideal der Diagonalen in G × G bezeichnet. Für f ∈ k[G] ist df ∈ ΩG
dann gleich F + I 2 , wobei F ∈ k[G × G] durch F (x, y) = f (x) − f (y) für x, y ∈ G gegeben ist. Der Kotangentialraum (T1 G)∗ sei realisiert als M1 /M12 , wobei M1 ⊴ k[G] das
Verschwindungsideal in 1 = 1G bezeichne. Für f ∈ k[G] sei δf = f − f (1) + M12 ∈ (T1 G)∗ .
Für x ∈ G bezeichne λ(x) bzw. ρ(x) den durch Links- bzw. Rechtstranslation vermittelten Automorphismus der k-Algebra k[G] sowie ebenfalls den entsprechend induzierten
Automorphismus des k-Moduls ΩG .
Beweisen Sie im Detail (vgl. Satz 4.4.2): Es besteht ein Isomorphismus
Φ∶ ΩG → k[G] ⊗k (T1 G)∗
zwischen k[G]-Moduln mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Für alle x ∈ G gelten:
Φ ○ λ(x) ○ Φ−1 = λ(x) ⊗ id und Φ ○ %(x) ○ Φ−1 = %(x) ⊗ (Ad(x))∗ ,
wobei die koadjungierte Abbildung gegeben ist durch
((Ad(x))∗ u)X = u(Ad(x−1 )X) für u ∈ (T1 G)∗ und X ∈ T1 G,
und Ad(x−1 ) = d Int(x−1 )1 das Differential in 1 = 1G des inneren Automorphismus
Int(x−1 )∶ G → G, y ↦ x−1 yx bezeichnet.
(b) Für f ∈ k[G] mit ∆f = ∑i gi ⊗ hi , oder unter der Identifizierung k[G] ⊗k k[G] ≅
k[G × G] entsprechend (∆f )(x, y) = f (xy) = ∑i gi (x)hi (y) für x, y ∈ G, gilt:
Φ(df ) = − ∑ gi ⊗ δhi .
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S. 1/2
Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 12
Aufgabe 12.2
Sei G eine lineare algebraische Gruppe, und sei DG = Derk (k[G], k[G]).
Zeigen Sie zunächst: Zwischen den k[G]-Moduln
S. 2/2
(6 Punkte)
k[G] ⊗k T1 G und Homk[G] (k[G] ⊗k (T1 G)∗ , k[G])
läßt sich ein Isomorphismus herstellen durch die Vorgabe f ⊗X ↦ ϕf,X , wobei ϕf,X (g⊗u) =
u(X)f g für f, g ∈ k[G], X ∈ T1 G und u ∈ (T1 G)∗ gelten soll.
Beweisen Sie dann, unter Verwendung von Aufgabe 12.1 und in Anlehnung an die dort
bereitgestellte Notation, im Detail: Es besteht ein Isomorphismus Ψ∶ DG → k[G] ⊗k T1 G
zwischen k[G]-Moduln mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Für alle x ∈ G gelten
Ψ ○ λ(x) ○ Ψ−1 = λ(x) ⊗ id und Ψ ○ %(x) ○ Ψ−1 = %(x) ⊗ Ad(x).
Hierbei bezeichnen λ(x) und %(x) auf der linken Seite der jeweiligen Gleichung die
von den auf der rechten Seite auftretenden Abbildungen λ(x), %(x)∶ k[G] → k[G]
vermittelten k-linearen Isomorphismen λ(x)∶ DG → DG , D ↦ λ(x) ○ D ○ λ(x)−1 und
%(x)∶ DG → DG , D ↦ %(x) ○ D ○ %(x)−1 .
(b) Für f ∈ k[G] mit ∆f = ∑i gi ⊗ hi , oder gemäß k[G] ⊗k k[G] ≅ k[G × G] entsprechend
(∆f )(x, y) = f (xy) = ∑i gi (x)hi (y) für x, y ∈ G, und X ∈ T1 G gilt:
(Ψ−1 (1 ⊗ X)) (f ) = − ∑ gi ⋅ (Xhi ).
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Aufgabe 12.3
(6 Punkte)
Sei G eine lineare algebraische Gruppe, und sei DG = Derk (k[G], k[G]). Seien
L(G) = {D ∈ DG ∣ ∀x ∈ G ∶ λ(x) ○ D = D ○ λ(x)},
L○ (G) = {D ∈ DG ∣ ∀x ∈ G ∶ %(x) ○ D = D ○ %(x)},
wobei λ(x) bzw. %(x) jeweils den durch Links- bzw. Rechtstranslation mit x vermittelten
Automorphismus der Koordinatenalgebra k[G] bezeichnet.
(a) Zeigen Sie: L(G) und L○ (G) sind Lie-Unteralgebren der k-Lie-Algebra DG .
(b) Sind L(G) und L○ (G) isomorph? In welcher Beziehung stehen sie zueinander?

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