Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. R. Lauterbach
Dr. K. Rothe
SoSe 2014
Differentialgleichungen II für Studierende der
Ingenieurwissenschaften
Lösungen zu Blatt 5
Aufgabe 17:
Für den Kreis sei das innere Neumannsche Randwertproblem gegeben:
∆u = 0
für x2 + y 2 < R2 ,
∂
u(R, ϕ) = v0 (ϕ) für ϕ ∈ [0, 2π[ .
∂r
Z2π
a) Man zeige, dass für die Existenz einer Lösung notwendig
v0 (ϕ)dϕ = 0
0
gelten muss und dass die Lösung die folgende Form besitzt
u(r, ϕ) = C +
∞
X
(Ak cos(kϕ) + Bk sin(kϕ)) rk
k=1
mit einer beliebigen Konstanten C ∈ IR .
b) Man berechne und zeichne die Lösung für das Beispiel R = 2 und
v0 (ϕ) = 2 sin ϕ cos ϕ − 4 cos3 ϕ + 3 cos ϕ
zunächst in Polarkoordinaten und wandle diese dann anschließend um in kartesische Koordinaten.
Lösung:
a) Die Lösung für ∆u = 0 im Kreis x2 + y 2 < R2 in Polarkoordinaten lautet
nach der Methode von Fourier
∞
a0 X
u(r, ϕ) =
+
(ak cos(kϕ) + bk sin(kϕ)) rk .
2
k=1
Differentiation nach r ergibt
∞
X
∂u
(r, ϕ) =
(ak cos(kϕ) + bk sin(kϕ)) krk−1 .
∂r
k=1
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
2
Auf dem Rand, also für r = R gilt dann
∞
X
∂u
(R, ϕ) =
kRk−1 ak cos(kϕ) + kRk−1 bk sin(kϕ)
∂r
k=1
Ein Koeffizientenvergleich mit der Fourier-Reihe von
∞
v0 (ϕ) =
α0 X
+
(αk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)) .
2
k=1
ergibt dann für k = 0
1
α0 =
π
Z2π
v0 (ϕ)dϕ = 0
0
und für k ≥ 1
αk = kRk−1 ak , βk = kRk−1 bk
⇒
ak =
αk
βk
, bk =
.
k−1
kR
kRk−1
Mit C ∈ IR erhält man also die Lösung der Randwertaufgabe
∞ X
αk
βk
u(r, ϕ) = C +
cos(kϕ) +
sin(kϕ) rk .
k−1
k−1
kR
kR
k=1
b) Die Randfunktion kann durch Additionstheoreme umgeformt werden in
v0 (ϕ) = 2 sin ϕ cos ϕ − 4 cos3 ϕ + 3 cos ϕ = sin 2ϕ − cos 3ϕ .
Die von Null verschiedenen Fourier-Koeffizienten lauten also β2 = 1, α3 = −1 .
Die Lösung in Polarkoordinaten für R = 2 ist damit gegeben durch
u(r, ϕ) = C +
r2
r3
sin 2ϕ −
cos 3ϕ .
4
12
Mit Hilfe von Additionstheoremen erhält man wiederum
r2
r3
sin ϕ cos ϕ − (4 cos3 ϕ − 3 cos ϕ)
2
12
p
und mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und r = x2 + y 2 die Lösung in kartesischen
Koordinaten
u(r, ϕ) = C +
1
(r cos ϕ)3 r2 (r cos ϕ)
u = C + (r sin ϕ)(r cos ϕ) −
+
2
3
4
3
2
2
xy x
(x + y )x
xy x3 xy 2
= C+
−
+
= C+
−
+
2
3
4
2
12
4
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
x = r cos(t), y = r sin(t), z = r2 sin(2 t)/4−r3 cos(3 t)/12
2
1.5
1
z
0.5
0
−2
−0.5
−1
−1
0
−1.5
−2
−2
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2
y
Bild 17:
Lösung u(r, ϕ) für C = 0
x
3
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
4
Aufgabe 18:
Man berechne die Lösung der Anfangswertaufgabe
ut = uxx für x ∈ IR und t > 0 ,
u(x, 0) = e4x
für x ∈ IR .
a) unter Verwendung der Fundamentallösung und
b) mit Hilfe eines Produktansatzes.
Lösung:
a) Für die Dimension n = 1 lautet die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung
 −x2 /(4t)

 e√
für x ∈ IR und t > 0 ,
4πt
Φ(x, t) =


0
für x ∈ IR und t < 0 .
Mit der Fundamentallösung kann die Lösung der Wärmeleitungsgleichung für
t > 0 dargestellt werden durch
u(x, t) =
=
=
=
=
=
∞
∞
2
e−(x−y) /(4t) 4y
√
· e dy
4πt
−∞
−∞
Z ∞
1
−(x − y)2 + 16ty
√
exp
dy
4t
4πt −∞
Z ∞
1
−(y 2 − 2(x + 8t)y + x2 )
√
exp
dy
4t
4πt −∞
Z ∞
−((y − (x + 8t))2 + x2 − (x + 8t)2 )
1
√
exp
dy
4t
4πt −∞
Z ∞
1
(y − (x + 8t))2
4x+16t
e
·√
exp −
dy
4t
4πt −∞
Z ∞
Z ∞
4x+16t
4x+16t
Φ(y − (x + 8t), t) dy = e
Φ(p, t) dp
e
Z
Z
Φ(x − y, t) · u(y, 0) dy =
−∞
= e
−∞
4x+16t
b) Der Produktansatz u(x, t) = X(x)T (t) eingesetzt in die Differentialgleichung,
ergibt
T 0 (t)
X 00 (x)
=
=: µ = (konst) .
T (t)
X(x)
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
Man erhält die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen
T 0 − µT = 0
X 00 − µX = 0
⇒
⇒
T (t) = Ceµt ,
√
X(x) = a1 e
µx
√
+ a2 e −
µx
und damit die Lösung aus dem Produktansatz
u(x, t) = Ceµt a1 e
√
µx
√
+ a2 e−
µx
.
Einsetzen der Anfangsbedingung und Koeffizientenvergleich ergibt
√
√ √
e4x = u(x, 0) = C a1 e µx + a2 e− µx
⇒ Ca1 = 1 , µ = 4 , a2 = 0 .
Die Lösung aus dem Produktansatz lautet also
u(x, t) = e4x+16t .
5
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
6
Aufgabe 19: (Klausur WiSe 12/13)
Man berechne die Lösung der Anfangsrandwertaufgabe der Wärmeleitungsgleichung
ut = uxx
für 0 < x < 2 ,
0<t,
u(x, 0) = x(2 − x) für 0 ≤ x ≤ 2 ,
u(0, t) = 0 = u(2, t) für 0 ≤ t
und bestimme deren maximalen Funktionswert und zeichne eine Näherungslösung.
Lösung:
Der maximale Funktionswert von u wird nicht im Inneren angenommen:
umax = u(1, 0) = 1.
Der Produktansatz u(x, t) = X(x)T (t) eingesetzt in die Differentialgleichung, ergibt
X 00 (x)
T 0 (t)
=
=: −λ = (konst) .
T (t)
X(x)
Man erhält die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen
T 0 + λT = 0 und X 00 + λX = 0.
Die Randbedingungen
0 = u(0, t) = X(0)T (t) und 0 = u(2, t) = X(2)T (t)
liefern X(0) = 0 = X(2) .
Die gewöhnliche Randeigenwertaufgabe in X besitzt nur für λ > 0 nichttriviale
Lösungen:
√
√
X(x) = a cos( λx) + b sin( λx) .
Einsetzen des Randwertes X(0) = 0 ergibt a = 0 und X(2) = 0 liefert die
Eigenwerte
k2π2
λk =
4
mit k ≥ 1 und zugehörigen Eigenfunktionen
Xk (x) = bk sin
kπx
.
2
Setzt man λk in die Differentialgleichung für T ein, so erhält man dort die Lösungen
2 2 k π
Tk (t) = exp −
t .
4
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
7
Aus dem Produktansatz und Superposition ergibt sich damit die Lösung
∞
X
2 2 kπx
k π
u(x, t) =
exp −
t .
bk sin
2
4
k=1
Einsetzen der Anfangsbedingung: x(2 − x) = u(x, 0) =
∞
X
bk sin
k=1
Berechnung der Fourier-Koeffizienten mit T = 4 und ω =
bk
4
=
T
= −
2π
π
= :
T
2
Z2
ZT /2
kπx
kπx
dx =
x(2 − x) sin
dx
u(x, 0) sin
2
2
0
0
2x(2 − x)
cos
kπ
2
Z2
kπx
kπx 2
(2 − 2x) cos
+
dx
2 0 kπ
2
0
2
Z2
8
kπx kπx
4(2 − 2x)
sin
sin
dx
+
=
k2π2
2 0 k 2 π 2
2
0
2
16(cos(kπ) − 1)
16
kπx = −
= − 3 3 cos
k π
2 0
k3π3
1
0.75
u
0.5
0.25
0
0
1
0.8
0.6
0.4
0.5
1
x
0.2
1.5
20
Bild 19: Näherungslösung u(x, t)
kπx
2
t
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
8
Aufgabe 20:
Man berechne die Lösung der Anfangsrandwertaufgabe für folgende Wärmeleitungsgleichung mit Hilfe eines Produktansatzes:
ut
=
für (x, y) ∈ ]0, π[ × ]0, π[ , 0 < t ,
∆u
u(0, y, t) = 0 = u(π, y, t)
für
x ∈ [0, π] , 0 ≤ t ,
u(x, 0, t) = 0 = u(x, π, t)
u(x, y, 0) =
y ∈ [0, π] , 0 ≤ t ,
5 sin 3x sin 4y
für
(x, y) ∈ [0, π] × [0, π]
−8 sin x cos x sin y cos y .
1 1
1
, 25
, 5 . Wie verhält sich die Lösung für
Man zeichne die Lösung u für t = 0, 100
t → ∞?
Lösung:
Der Produktansatz u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t) eingesetzt in die Differentialgleichung
ut = uxx + uyy ergibt
T 0 (t)
X 00 (x) Y 00 (y)
=
+
=: −λ = (konst) .
T (t)
X(x)
Y (y)
Für T erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung:
T 0 + λT = 0
⇒
T (t) = Ke−λt .
Nach weiterer Trennung ergeben sich gewöhnliche Differentialgleichungen in X und
Y
X 00 (x)
Y 00 (y)
=−
− λ = −µ = (konst) .
X(x)
Y (y)
Die Randbedingungen
0 = u(0, y, t) = X(0)Y (y)T (t) ,
0 = u(π, y, t) = X(π)Y (y)T (t) ,
0 = u(x, 0, t) = X(x)Y (0)T (t) ,
0 = u(x, π, t) = X(x)Y (π)T (t)
liefern X(0) = 0 = X(π) und Y (0) = 0 = Y (π) .
Die gewöhnliche Randwertaufgabe in X
X 00 (x) + µX(x) = 0 mit X(0) = 0 = X(π)
besitzt nur nichttriviale Lösungen für µ > 0
√
√
X(x) = a cos( µx) + b sin( µx) .
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
9
Einsetzen des Randwertes X(0) = 0 ergibt a = 0 und X(π) = 0 liefert µk = k 2
mit k ≥ 1 und Xk (x) = bk sin(kx) .
Die gewöhnliche Randwertaufgabe in Y
Y 00 (y) + (λ − µ)Y (y) = 0 mit Y (0) = 0 = Y (π)
besitzt nur nichttriviale Lösungen für λ − µ > 0
p
p
Y (y) = c cos( λ − µy) + d sin( λ − µy) .
Einsetzen des Randwertes Y (0) = 0 ergibt c = 0 und Y (π) = 0 liefert λk,j − µk =
j 2 mit j ≥ 1 und Yj (y) = dj sin(jy) .
Setzt man λk,j in die Differentialgleichung für T ein, so erhält man dort die Lösungen
2
2
Tk,j (t) = Ke−(k +j )t .
Aus dem Produktansatz und Superposition ergibt sich damit die Lösung
u(x, y, t) =
∞ X
∞
X
Ak,j e−(k
2 +j 2 )t
sin(kx) sin(jy) .
k=1 j=1
Mit der Anfangsvorgabe ergibt sich
5 sin 3x sin 4y − 8 sin x cos x sin y cos y = u(x, y, 0) =
∞ X
∞
X
Ak,j sin(kx) sin(jy) .
k=1 j=1
Wegen sin 2α = 2 sin α cos α gilt
−8 sin x cos x sin y cos y = −2 sin 2x sin 2y
und man erhält mit einem Koeffizientenvergleich A3,4 = 5, A2,2 = −2 und Ak,j = 0
sonst, also die Lösung
u(x, y, t) = 5e−25t sin(3x) sin(4y) − 2e−8t sin(2x) sin(2y) .
5
u2.5
0
-2.5
-5
0
2
y
1
1
x
2
5
3 u2.5
0
-2.5
-5
0
3
2
y
1
1
x
3 0
Bild 20 a)
u(x, y, 0)
2
3 0
Bild 20 b)
u(x, y, 1/100)
Differentialgleichungen II, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Blatt 5
5
u2.5
0
-2.5
-5
0
2
y
1
5
3 u2.5
0
-2.5
-5
0
3
2
y
1
1
x
2
1
x
2
3 0
Bild 20 c)
Wegen
3 0
u(x, y, 1/25)
lim e−25t = 0 = lim e−8t
t→∞
Abgabetermin:
t→∞
3.6.-6.6.
10
Bild 20 d)
gilt lim u(x, y, t) = 0 .
t→∞
(zu Beginn der Übung)
u(x, y, 1/5)

Einstieg: (Umkehrfunktion) Anna behauptet: „Wie am Einheitskreis

¨Ubungen zu Mathematik II für Dienstag, 3. Mai 2016

¨Ubungen zu Mathematik II für Montag, 2. Mai 2016

Blatt V5 - Fachbereich Mathematik

10 Ableitungen von Nichtpolynomen

Wichtige Werte von Sinus und Kosinus

¨Ubungen – Blatt 6∗

Kurve in Parameterform x(t)

Übung 1 - Workgroup Prof. Saalfrank

Blatt 6 (Stichtag 18.01.2015, 14:30)