微分積分 3 演習問題 担当：桔梗宏孝
1. 次の不定積分を求めよ．
∫
∫
1
dx
(x − 1)2 (x + 2)
∫
1
(4)
dx
cos x + 2 sin x
∫
x
√
(6)
dx
1 − x2
1
dx
(1)
1 − x4
∫
1
√
(3)
dx
2
1
+
x
∫
1
√
(5)
dx
1 − x2
(2)
2. 次の定積分を計算せよ．
∫
∫
π/2
5
(1)
sin x dx
0
3. ベータ関数
+∞
(2)
e−x sin 2x dx
0
∫
1
tx−1 (1 − t)y−1 dt
B(x, y) =
(x > 0, y > 0)
0
に対し，次の等式を証明せよ．
(1)
B(x, y) =
y−1
B(x + 1, y − 1)
x
(2)
B(x, y) =
y−1
B(x, y − 1)
x+y−1
4. B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y) などを利用して，Γ(1/2) を求めよ．これから，次の定積分を求めよ．
ただし，c は定数．
∫
+∞
e−cx dx
2
−∞
5. 次の不等式を証明せよ．
π
<
4
∫
1
0
√
π
1 − x4 dx < √
2 2
6. 関数 f , g が積分可能なとき，次の不等式 (Schwarz の不等式) を証明せよ．
(∫
)2
b
f (x)g(x)dx
a
(∫
) (∫
b
≤
f (x)2 dx
a
)
b
g(x)2 dx
a

線形代数学入門レポート問題 担当：桔梗宏孝

線形代数学 2 レポート問題 担当：桔梗宏孝

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139 定積分計算の演習問題(3)レベル5～6

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