演習問題2

線形代数 II 演習第 2 回
2016 年 11 月 24 日
問題 1. 次の写像が線形写像であるかどうか調べよ．
([
(i) T : R → R ,
2
2
T
x1
x2
])
[
=
x21 + x2
]
x1 + 2x2
∫
(ii) T : R[x]2 → R[x]3 ,
x
T (f (x)) =
f (x) dx
0
問題 2. 次の線形写像 T の KerT , ImT , rank T , nullT を求めよ．

T : R3 → R3 ,
1
A = −2
1
T (x) = Ax,

−2 0
3 −1
1
3
問題 3. 次の線形写像 TA : R3 → R2 について，以下の問いに答えよ．
[
TA (x) = Ax,
A=
]
1 3 −2
.
−2 4 −1
(i) TA の R3 の標準基 {e1 , e2 , e3 }，R2 の標準基 {e1 , e2 } に関する表現行列を求めよ．
(ii) 次の基に関する，TA の表現行列 B を求めよ．
     
1
1 
 1
R3 の基 −1 , 1 , 0 ,


0
1
1
{[ ] [ ]}
1
1
R の基
,
2
1
2
問題 4. 次の線形変換 T : R[x]2 → R[x]2 の基 {1, x, x2 } に関する表現行列，像と階数，核と退化次数を求
めよ．
(i) T (f (x)) = 2f ′′ (x)x2
(ii) T (f (x)) = f ′ (x)(1 + x)
問題 5. 線形写像 T : U → V の表現行列を A とするとき，rankT = rankA を示せ．
問題 6. f を Rn の線形変換とするとき，次を示せ．
(i) a1 , a2 , · · · , an が 1 次独立であり，Kerf = {0} ならば，f (a1 ), f (a2 ), · · · , f (an ) は 1 次独立である．
(ii) f (a1 ), f (a2 ), · · · , f (an ) が 1 次独立ならば，a1 , a2 , · · · , an も 1 次独立である．
(iii) Kerf = {0} ならば Imf = Rn となる．
(iv) Imf = Rn ならば Kerf = {0} となる．
1
問題 7. R2 から R2 への線形写像 f を
[
f:
x
y
]
[
→
][
a b
c d
x
y
]
(ad − bc ̸= 0)
で定める．平面 R2 上の原点 O とは異なる二点 A, B をとる．
[
A=
a1
a2
]
[
,
B=
b1
b2
]
.
原点 O と点 A を通る直線 OA は次で表される．
L=
{ [
]
}
a1
r
∈ R2 | r ∈ R .
a2
三点 O, A, B は一直線上にないとき，この三点からなる三角形 OAB は次で表せる．
T =
{ [
]
[
]
}
a1
b1
rs
+ r(1 − s)
∈ R2 | 0 ≤ r, s ≤ 1 .
a2
b2
また，三角形 OAB の面積 S は |a1 b2 − a2 b1 |/2 となる．以下の問いに答えよ．
(i) 写像 f は直線 OA を直線 OA′ に写すことを示せ．(難)
(ii) 写像 f は三角形 OAB を三角形 OA′ B ′ に写すことを示せ．(難)
(iii) (ii) の三角形 OA′ B ′ の面積 S ′ は，|ad − bc|S となることを示せ．(難)
[コメント: この問題は試験には無関係である．興味があれば解いてもよい．]
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