1G 定理 3.1(vii) 第 1 式 X U Y = Y U X ) U Z = X U (Y U Z

レポート課題第 12 回【7/12 10:20a.m. 締切】
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1 定理 3.1(vii) 第 1 式 X ∪ Y = Y ∪ X または，(viii) 第 1 式 (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z) を証明せよ．
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2 逆像とはどのようなものか説明せよ．
解答. ⃝
1 (vii) 第 1 式 X ∪ Y = Y ∪ X の証明．
和集合の定義より，
X ∪ Y = {u ∈ U |u ∈ X ∨ u ∈ Y }
ここで，定理 2.4(ii)【交換律】より，P ∨ Q ⇄ Q ∨ P がトートロジーでなので，
u∈X ∨u∈Y ⇄u∈Y ∨u∈X
がトートロジー．ゆえに，
X ∪ Y = {u ∈ U |u ∈ X ∧ u ∈ Y } = {u ∈ U |u ∈ Y ∧ u ∈ X} = Y ∪ X
（証明終わり）
(viii) 第 1 式 (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z) の証明．
和集合の定義より，
(X ∪ Y ) ∪ Z = {u ∈ U |u ∈ (X ∪ Y ) ∨ u ∈ Z}
u ∈ (X ∪ Y ) ∨ u ∈ Z ⇄ (u ∈ X ∨ u ∈ Y ) ∨ u ∈ Z がトートロジー
(∵ 和集合の定義)
ここで，定理 2.4(iii) より，P ∨ (Q ∨ R) ⇄ (P ∨ Q) ∨ R がトートロジーでなので，
⇄ u ∈ X ∨ (u ∈ Y ∨ u ∈ Z) がトートロジー
⇄ u ∈ X ∨ u ∈ Y ∪ Z がトートロジー
⇄ u ∈ X ∪ (Y ∪ Z) がトートロジー
(∵ 和集合の定義)
(∵ 和集合の定義)
ゆえに，
(X ∪ Y ) ∪ Z = {u ∈ U |u ∈ (X ∪ Y ) ∨ u ∈ Z} = {u ∈ U |u ∈ X ∪ (Y ∪ Z)}X ∪ (Y ∪ Z)
（証明終わり）
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